8.2 Afstanden en cirkels >

Hoofdstukken > Berekeningen in het platte vlak

Afstanden

In het plaatje staan de punten $A (0,1)$ , $M (2,1)$ en $P (6,4)$ .

Getekend is de cirkel met middelpunt $M$ die door $A$ gaat. $Q$ is het punt op de cirkel dat het dichtst bij $P$ ligt.

Neem het plaatje over op roosterpapier en teken het punt $Q$ .

Bereken $P M$ exact.

Wat is de afstand van $P$ tot de cirkel?

Opmerking:

In de vorige opgave heb je waarschijnlijk voor $Q$ het snijpunt van $M P$ met de cirkel genomen. Dit is inderdaad het punt op de cirkel dat het dichtst bij $P$ ligt. Dat kun je als volgt inzien.
De rode weg van $M$ naar $P$ is langer dan de gele (de kortste verbinding van twee punten is recht). De blauwe beginstukken $M Q$ en $M R$ zijn even lang, dus het verschil zit hem in het tweede stuk.

Gegeven is een cirkel met middelpunt $M$ en een punt $X$ niet op de cirkel. Het punt op de cirkel dat het dichtst bij $X$ ligt, ligt op lijn $M X$ .

In het plaatje hiernaast is $Q$ het punt op de cirkel dat het dichtst bij $P$ ligt en $T$ het punt op de cirkel dat het dichtst bij $S$ ligt.

De afstand van een punt tot een cirkel is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk van dat punt tot de cirkel.

Gegeven de punten $P (7,6)$ en $Q (2,2)$ en de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 y + 14 = 0$ .

Wat is de afstand van de cirkel tot $P$ ?

Bereken exact de afstand van $Q$ tot de cirkel.

Als je alle punten tekent die afstand $1$ tot de cirkel hebben, wat krijg je dan?

Twee plaatjes met de letter U (groen) en V (blauw), in het tweede plaatje is de V wat breder.

De letters bestaan uit lijnstukken.

Wat is het kortste verbindingslijnstuk van de twee letters in het linker plaatje?

In het rechter plaatje moeten we rekenen.
Er komen drie lijnstukjes in aanmerking voor het kortste verbindingslijnstuk (waarvan er twee even lang zijn).

Welke zijn dat?

Eén van de verbindingslijnstukjes is $1$ .
De loodrechte projectie van $A$ op lijnstuk $P Q$ noemen we $S$ .

Bereken $A S$ exact.

(hint)

Je kunt het op de 'standaard' manier doen door het snijpunt van lijn $P Q$ en de lijn door $A$ loodrecht op lijn $P Q$ te bepalen, maar mooier is misschien de volgende manier.
Neem $T (2,5)$ , dan zijn de driehoeken $P T Q$ en $P S A$ gelijkvormig.

Afspraak
Met de afstand van twee gebieden bedoelen we de lengte van het kortste verbindingslijnstuk van twee gebieden.

Zo is de afstand van de letter U tot de letter V in het linker plaatje van de vorige opgave $1$ en in het rechter plaatje $\frac{2}{5} \sqrt{5}$ .

De afstand van een lijn tot een cirkel

Gegeven een cirkel met middelpunt $M$ en een lijn $k$ die de cirkel niet snijdt.

Schets zo'n plaatje en teken hierin precies het kortste verbindingslijnstuk $k$ met de cirkel.
Beschrijf je werkwijze.

Hiernaast staat de cirkel met middelpunt $M (3,4)$ die door $P (4,3)$ gaat en de lijn met vergelijking $x + y = 3$ .
De afstand van de $x$ -as tot de cirkel is $4 - \sqrt{2}$ .

Leg dat uit.

Wat zijn de coördinaten van het punt op $k$ dat het dichtst bij de cirkel ligt?
Wat is de afstand van lijn $k$ tot de cirkel exact?

Het kortste verbindingslijnstuk van een lijn met een cirkel
Gegeven is een cirkel met middelpunt $M$ en een lijn $k$ .
Het kortste verbindingslijnstuk van $k$ met de cirkel vind je als volgt.
Laat een loodlijn vanuit $M$ neer op $k$ . Die loodlijn snijdt $k$ in $P$ en de cirkel in $Q$ . Dan is lijnstuk $P Q$ het kortste verbindingslijnstuk van $k$ met de cirkel.

Hiernaast staat de cirkel met middelpunt $M (‐1,3)$ en straal $\sqrt{5}$ en de lijn $k$ met vergelijking $x - 2 y = 1$ . We gaan de afstand van $k$ tot de cirkel berekenen.
$m$ is de lijn door $M$ loodrecht op $k$ .

Geef een vergelijking van $m$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt van $m$ en $k$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $m$ en de cirkel.

Bereken de afstand van $k$ tot de cirkel exact.

Hiernaast staat weer de cirkel met middelpunt $M (‐1,3)$ en straal $\sqrt{5}$ en de lijn $k$ met vergelijking $x −2 y = 1$ , zie de vorige opgave.
Er is een aantal lijnen getekend evenwijdig aan $k$ , elke heeft een vergelijking van de vorm $x - 2 y = a$ , voor een of ander getal $a$ . Er zijn twee waarden van $a$ waaroor de lijn met vergelijking $x - 2 y = a$ de cirkel raakt.
In de vorige opgave heb je de raakpunten al berekend, want die liggen op de lijn door $M$ loodrecht op $k$ .

Voor welke waarden van $a$ raakt de lijn met vergelijking $x - 2 y = a$ de cirkel?

Voor welke $a$ is de afstand van de cirkel tot de lijn $x - 2 y = a$ gelijk aan $\sqrt{5}$ ?

(hint)

Dan is de afstand tot het middelpunt ... .

Voorbeeld:

In de vorige opgave heb je de volgende vraag opgelost.
Voor welke waarden van $a$ raakt de lijn met vergelijking $x - 2 y = a$ de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 5 = 0$ ?

Oplossing 1
Het raakpunt ligt op de lijn door het middelpunt van de cirkel loodrecht op de lijn met vergelijking $x - 2 y = a$ , dus op de lijn $2 x + y = 1$ .
De snijpunten van deze lijn met de cirkel vind je door het onderstaande stelsel op te lossen:
${\begin{cases} 2 x + y = 1 \\ x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 5 = 0 \end{cases}$ .
Vul voor $y = 1 - 2 x$ in de vergelijking van de cirkel in: $x^{2} + {(1 - 2 x)}^{2} + 2 x - 6 (1 - 2 x) + 5 = 0 \Leftrightarrow$ $5 x^{2} + 10 x = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0 of x = ‐2$ , dus het raakpunt is $(0,1)$ of $(‐2,5)$ .
Dus $a = ‐2$ of $a = ‐12$ .

Oplossing 2
De lijn $x - 2 y = a$ raakt de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 5 = 0$ als het volgende stelsel één oplossing heeft.
${\begin{cases} x - 2 y = a \\ x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 5 = 0 \end{cases}$
Vul voor $x = 2 y + a$ in de vergelijking van de cirkel in:
${(2 y + a)}^{2} + y^{2} + 2 (2 y + a) - 6 y + 5 = 0 \Leftrightarrow$
$5 y^{2} + (4 a - 2) y + a^{2} + 2 a + 5 = 0$ .
Omdat de lijn de cirkel raakt is er maar één gemeenschappelijk punt, dus deze vergelijking moet één oplossing hebben, dus de discriminant is $0$ .
${(4 a - 2)}^{2} - 20 (a^{2} + 2 a + 5) = 0 \Leftrightarrow$ $‐4 a^{2} - 56 a - 96 = 0 \Leftrightarrow a^{2} + 14 a + 24 = 0 \Leftrightarrow a = ‐2 of a = ‐12$ .

Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 8 x - 4 y + 10 = 0$ en lijnen door de oorsprong $O (0,0)$ van de vorm: $y = a x$ voor alle mogelijke waarden van $a$ .
Er zijn twee waarden van $a$ waarvoor de lijn $y = a x$ de cirkel raakt.

Bereken die waarden exact.

Gegeven de cirkel met vergelijking ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 10$ en de lijnen $m_{a}$ met vergelijking $x + 3 y = a$ voor alle mogelijke waarden van $a$ .

Voor welke waarden van $a$ raakt $m_{a}$ de cirkel?

(hint)

Je kunt de situatie in GeoGebra tekenen om een idee van de oplossing te krijgen.

Voor welke waarden van $a$ heeft de lijn met vergelijking $x + 3 y = a$ afstand $\sqrt{10}$ tot de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 40$ ?

Gegeven de lijn $k$ met vergelijking $x + y = 20$ .
We bekijken alle mogelijke cirkels met middelpunt $(2,3)$ . Deze hebben een vergelijking van de vorm: ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2}$ met $r > 0$ .

Voor welke waarden van $r$ raakt de cirkel lijn $k$ ?

Gegeven de lijn $m$ met vergelijking $y = \frac{1}{2} x + 1$ .
Lijn $m$ is raaklijn aan een cirkel met middelpunt $(3,5)$ .

Maak een schets en bereken exact de straal van de cirkel.

(hint)

De straal is gelijk aan de afstand van het middelpunt van de cirkel tot lijn $m$ .