Hoofdstukken > Berekeningen in het platte vlak

Cirkels die elkaar raken

Twee verschillende cirkels hebben twee, één of geen gemeenschappelijke punten. Zo heeft cirkel 1 geen gemeenschappelijke punten met de andere cirkels in het plaatje. De cirkels 2 en 3 raken elkaar uitwendig in $R$ en de cirkels 4 en 5 raken elkaar inwendig in $S$ . De cirkels 2 en 4 hebben twee gemeenschappelijke punten.

Als twee cirkels elkaar raken, liggen hun middelpunten en het raakpunt op één lijn.

Een cirkel met middelpunt op de $x$ -as en straal $3$ raakt de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 25$ .

Geef het middelpunt van die cirkel (vier mogelijkheden).

Een cirkel $c$ met straal $\sqrt{10}$ raakt de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 40$ uitwendig.
De mogelijke punten waar het middelpunt van de cirkel kan liggen vormen een figuur.

Hoe ziet die figuur eruit?
Geef een vergelijking van die figuur.

Neem aan dat het raakpunt van de cirkels $(2 \sqrt{5},2 \sqrt{5})$ is.

Bereken de coördinaten van het middelpunt van $c$ .

$c$ is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 40$ en $P$ het punt $(8,‐4)$ . Er zijn twee raaklijnen door $P$ aan $c$ . De raakpunten noemen we $R$ en $S$ .

Bereken de zijden van driehoek $O P R$ .

Waarom is vierhoek $O S P R$ een vierkant?

Geef een vergelijking van lijn $S R$ .

Bereken de coördinaten van $R$ en $S$ exact.

De afstand van twee cirkels

Gegeven is de cirkel met middelpunt $(3,0)$ en straal $2$ en de cirkel met middelpunt $(10,0)$ en straal $3$ .

Wat (denk je) is de afstand van de twee cirkels?

Gegeven is de cirkel met middelpunt $(3,1)$ en straal $\sqrt{2}$ en de cirkel met middelpunt $(10,0)$ en straal $2 \sqrt{2}$ .

Wat (denk je) is de exacte afstand van de twee cirkels?

Gegeven is de cirkel met middelpunt $(3,0)$ en straal $20$ en de cirkel met middelpunt $(10,0)$ en straal $3$ .

Wat (denk je) is de afstand van de twee cirkels?

Het kortste verbindingslijnstuk van twee cirkels ligt op de lijn door de middelpunten van de cirkels.

In het plaatje is het kortste verbindingslijnstuk tussen de twee cirkels dik getekend.

Bereken exact de afstand van de cirkels met vergelijking:

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y + 4 = 0$ en $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0$ ;

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y = 0$ en $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 0$ ;

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y = 0$ en $x^{2} + y^{2} - 10 x - 2 y = 102$ .

Een cirkel met straal $2$ en middelpunt op de $y$ -as heeft afstand $2$ tot een cirkel met straal $1$ en middelpunt $(2,0)$ .

Bepaal het middelpunt van die cirkel exact.

Een cirkel met middelpunt $(1,5)$ en straal $4$ heeft afstand $8$ tot een cirkel met middelpunt $N$ op de $x$ -as en straal $1$ .

Bereken de eerste coördinaat van $N$ exact.