1

Een gelijkzijdige driehoek heeft een omgeschreven cirkel met middelpunt $M (0,2)$ . Twee hoekpunten van de driehoek liggen op de $x$ -as.

a

Bereken de straal van de cirkel exact.

b

Bereken de coördinaten van de hoekpunten van de driehoek exact.

Een cirkel met middelpunt $M$ heeft afstand $1$ tot de driehoek.

c

Bereken de straal van de cirkel exact als de driehoek binnen de cirkel ligt.

d

Bereken de straal van de cirkel exact als de driehoek buiten de cirkel ligt.

2

Van driehoek $O A B$ is gegeven dat $A = (8,4)$ , $∠ B O A = 30 °$ en $∠ O B A = 135 °$ .

a

Bereken $A B$ exact.

b

Bereken $O B$ langs algebraïsche weg in twee decimalen nauwkeurig.

c

Bereken de oppervlakte van driehoek $A O B$ in één decimaal nauwkeurig.

d

Bereken de hellingshoek van lijn $O B$ in graden nauwkeurig.

3

$O A B C$ is een trapezium met hoekpunten $O (0,0)$ , $A (25,0)$ , $B (24,18)$ en $C (11 \frac{1}{2},18)$ .

a

Bereken de oppervlakte van het trapezium exact.

b

Bereken exact de lengte van de diagonalen van het trapezium. Vereenvoudig je antwoorden.

Het snijpunt van de diagonalen van het trapezium is $S$ .
De driehoeken $O S A$ en $B S C$ zijn gelijkvormig.

c

Bepaal de vergrotingsfactor en daarmee de coördinaten van $S$ .

d

Toon aan dat de diagonalen van het trapezium loodrecht op elkaar staan.

4

De gegevens zijn als in de vorige opgave.

a

Bereken $A B$ exact, vereenvoudig je antwoord.

b

Bereken $\cos (∠ O B A)$ exact en daarna hoek $O B A$ in graden nauwkeurig.

5

We gaan verder met het trapezium van de vorige opgaven.
De cirkel met middellijn $O A$ gaat ook door $S$ .

a

Laat dat langs algebraïsche weg zien.

b

Geef de exacte afstand van deze cirkel tot lijn $B C$ .

6

Aan de cirkel met middelpunt $(2,0)$ en straal $1$ worden vanuit $O (0,0)$ raaklijnen getekend.

Toon aan dat de raaklijnen exact een hoek van $60 °$ met elkaar maken.

7

Gegeven is driehoek $A B C$ met $A (‐5,5)$ , $B (1,7)$ en $C (7,1)$ .

a

Bereken de zijden van driehoek $A B C$ exact, vereenvoudig je antwoorden.

b

Bereken de afstand van $O (0,0)$ tot de hoekpunten van driehoek $A B C$ exact.

c

Bereken hoek $A O B$ in graden nauwkeurig.

$c$ is de cirkel met middelpunt $O$ die door $A$ , $B$ en $C$ gaat.

d

Geef een vergelijking van die cirkel.

e

Voor welke waarden van $a$ raakt $c$ de lijn met vergelijking $x - y = a$ ?

8

In driehoek $A B C$ is $A B = 6$ en $∠ C A B = 45 °$ .
Op lijnstuk $A B$ ligt $D$ zó, dat $A D = 2$ . De lijn door $D$ evenwijdig aan $B C$ snijdt $A C$ in $S$ , zie figuur. Er geldt: $∠ A B S = 30 °$ .

Bereken $B C$ in één decimaal nauwkeurig. (Daar heb je enkele tussenstappen voor nodig.)

9

$c$ is de cirkel met vergelijking ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ en $k$ de lijn met vergelijking $y - 4 x = 1$ .

a

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $c$ en $k$ exact.

De straal van de cirkel wordt zó verkleind totdat hij $k$ raakt.

b

Bereken die verkleinde straal.

10

In het plaatje zijn in een assenstelsel drie cirkels getekend.

De cirkels raken elkaar en bovendien raken ze alle drie de $x$ -as. De linker cirkel heeft middelpunt $M$ en straal $r$ . Punt $M$ ligt op de $y$ -as.
De middelste cirkel heeft middelpunt $T$ en straal $t$ .
De rechter cirkel heeft middelpunt $N$ en straal $s$ .
Verder is $r \geq s > t$ .
De vragen a en b hebben betrekking op de situatie waarin geldt: $r = 9$ , $s = 2 \frac{1}{4}$ en $t = 1$ .

a

Bereken $∠ M T N$ . Geef je antwoord in een geheel aantal graden.

b

Stel een vergelijking op van de lijn door $M$ en $T$ .

Voor de stralen van de drie cirkels geldt: $\frac{1}{\sqrt{t}} = \frac{1}{\sqrt{s}} + \frac{1}{\sqrt{r}}$
De vragen c en d hebben betrekking op de situatie waarin $r = s = 2$ . In deze situatie geldt: $t = \frac{1}{2}$ .

c

Toon aan dat in deze situatie inderdaad geldt: $t = \frac{1}{2}$ .

d

Bereken de oppervlakte van driehoek $M N T$ .

11

In het plaatje zijn in een assenstelsel twee cirkels getekend. De linker cirkel heeft middelpunt $M$ en straal $r$ . Punt $M$ ligt op de $y$ -as.
De cirkel raakt de $x$ -as in de oorsprong $O$ .
De rechter cirkel heeft middelpunt $N$ en straal $s$ . Deze cirkel raakt de $x$ -as in punt $Q$ .
Er geldt: $r > s$ .
De cirkels raken elkaar in punt $R$ .
Er geldt: $O Q = \sqrt{{(r + s)}^{2} - {(r - s)}^{2}}$ .

a

Toon dit aan.

Bovenstaande formule is te herleiden tot een formule van de vorm $O Q = a \sqrt{r s}$ .

b

Bereken de waarde van $a$ .

Neem $r = 4$ en $s = 1$ .
Lijn $l$ is de raaklijn aan de beide cirkels in het punt $R$ .

c

Bereken exact de richtingscoëfficiënt van lijn $l$ .

12

In het plaatje staan de cirkel met middelpunt $O$ en straal $2$ en de cirkel met middelpunt $M (3,4)$ en straal $4$ .

De snijpunten van de cirkels zijn $P$ en $Q$ . Vierhoek $O Q M P$ is een vlieger (want lijn OM is symmetrieas). We gaan de lengte van de diagonaal $P Q$ van de vlieger uitrekenen zonder de coördinaten van de snijpunten van de cirkels uit te rekenen.
$S$ is het snijpunt van de diagonalen van de vlieger. We noemen $O S = p$ en $P S = q$ .

a

Toon aan: $p^{2} + q^{2} = 4$ en ${(5 - p)}^{2} + q^{2} = 16$ .

b

Los het volgende stelsel in $p$ en $q$ op:
${\begin{cases} p^{2} + q^{2} = 4 \\ {(5 - p)}^{2} + q^{2} = 16 \end{cases}$ .

13

In het plaatje zijn getekend de punten $A (‐1,‐3)$ , $B (2,0)$ , lijn $m$ door $A$ en $B$ en lijn $k$ door $C (2,4)$ evenwijdig met $m$ .

a

Bereken de afstand van $k$ tot $m$ exact.

Er is nog een lijn $n$ evenwijdig aan $m$ die dezelfde afstand tot $m$ heeft als $k$ .

b

Geef een vergelijking van die lijn.

c

Bereken met behulp van a de oppervlakte van driehoek $A B C$ exact.

d

Laat zien dat voor elk punt $X$ op $k$ geldt:
oppervlakte driehoek $A B X =$ oppervlakte driehoek $A B C$ .

$D$ is een punt met eerste coördinaat $15$ waarvoor geldt:
oppervlakte driehoek $A B C =$ oppervlakte driehoek $A B D$ .

e

Bereken de tweede coördinaat van $D$ (twee mogelijkheden).

14

Gegeven zijn de cirkel $c$ met vergelijking ${(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ en het punt $P (3,3)$ . $M$ is het middelpunt van $c$ .
Zie het linker plaatje.

a

Bereken de exacte afstand van punt $P$ tot cirkel $c$ .

Cirkel $c$ raakt de $x$ -as in het punt $A$ en snijdt de $y$ -as in de punten $B$ en $C$ , waarbij $C$ boven $B$ ligt.
Lijn $k$ gaat door $B$ en $P$ en lijn $l$ gaat door $A$ en $C$ . Zie het rechter plaatje.

b

Bereken in graden nauwkeurig de scherpe hoek waaronder $k$ en $l$ elkaar snijden.

15

Hoe dichter je bij een cirkel komt, hoe groter de hoek is waaronder je hem ziet.
Neem aan dat de cirkel straal $1$ heeft.

Hoe ver ben je van het middelpunt verwijderd als de hoek waaronder je de cirkel ziet $40 °$ is?
Bereken die afstand langs algebraïsche weg in één decimaal.

16

Een cirkel met straal $2$ raakt de $y$ -as en gaat door $(3,4)$ .

Bereken de coördinaten van het middelpunt exact.

17

We bekijken het volgende stelsel in $x$ en $y$ : ${\begin{cases} y = a x + 1 \\ 2 x = (a + 1) y + a - 3 \end{cases}$ ,
voor alle mogelijke waarden van $a$ .

a

Voor welke waarden van $a$ heeft het stelsel oneindig veel oplossingen?

b

Voor welke waarden van $a$ heeft het stelsel geen oplossingen?

Gegeven zijn de lijnen
$k_{a} : y = a x + 1$ en $m_{a} : 2 x = (a + 1) y + a - 3$ .

c

Bereken exact de waarde van $a$ waarvoor $k_{a}$ en $m_{a}$ loodrecht op elkaar staan.

18

Vanuit $A (‐12,0)$ worden raaklijnen aan de getekende cirkel getrokken.
De raaklijnen snijden de $y$ -as in $B$ en $C$ zó, dat $B C = 10$ . $D (4,0)$ is het punt van de cirkel dat het dichtst bij $A$ ligt.

Bereken de straal van de cirkel exact.

19

In driehoek $A B C$ is $A B = 7$ , $A C = 5$ en $B C = 4 \frac{1}{5}$ .
De deellijn van hoek $C A B$ (de lijn die hoek $C A B$ in twee even grote hoeken verdeelt) snijdt $B C$ in $S$ .
Op de deellijn ligt $D$ zó, dat driehoek $A C D$ gelijkbenig is.

a

Waarom zijn de lijnen $A B$ en $C D$ evenwijdig?

b

Bereken $C S$ exact.

20

Van driehoek $A B C$ is gegeven: $A B = 12$ , $∠ C A B = 15 °$ en $∠ A B C = 45 °$ .

a

Bereken $A C$ exact.

b

Bereken $B C$ in één decimaal nauwkeurig.

21

De cirkel $c$ heeft middelpunt $M$ . $M$ ligt op de lijn met vergelijking $x - 3 y - 1 = 0$ . Verder raakt $c$ de $x$ -as in $R (7,0)$ .

a

Wat is de straal van $c$ ?

b

Geef een vergelijking van $c$ .

De raaklijnen vanuit $A (1,0)$ aan $c$ raken de cirkel in $R$ en $S$ .

c

Bereken de coördinaten van $S$ exact.

(hint)

Geef een vergelijking van lijn $S R$ .

Een cirkel met straal $4$ raakt de lijnen $A S$ en $A R$ .

d

Bereken de coördinaten van het middelpunt exact.

22

Gegeven zijn de punten $A (2,0)$ en $B (8,0)$ , de cirkel $c$ met vergelijking $x^{2} - 10 x + y^{2} - 8 y + 16 = 0$ en de cirkel $d$ met middellijn $A B$ .

a

Toon aan dat de cirkel $c$ door de punten $A$ en $B$ gaat en de $y$ -as raakt.

Het punt $P (8,8)$ ligt op de cirkel $c$ . De lijn $l$ raakt de cirkel $c$ in het punt $P$ .

b

Stel een vergelijking op van deze raaklijn $l$ .

$A B$ is de middellijn van cirkel $d$ .
Twee raaklijnen aan de cirkel $d$ gaan door de oorsprong $O (0,0)$ .

c

Bereken de hoek die deze raaklijnen met elkaar maken in graden. Rond je antwoord af op één decimaal.

23

Van driehoek $A B C$ is gegeven: $A C = 7$ en $B C = 10$ .
$M$ is het midden van $B C$ en $A M = 4$ .
Verder zie plaatje.

a

Bereken $\cos (α)$ exact.

b

Wat is $\cos (β)$ exact?

c

Bereken $A B$ exact.

24

Gegevens zie plaatje.

Bereken $A B$ exact.

(hint)

Bereken eerst $\sin (∠ A D B)$ exact met de sinusregel in driehoek $B C D$ .

25

De zijden van driehoek $A B C$ zijn $13$ , $14$ en $15$ , zie plaatje. Het hoogtelijnstuk $h$ uit $C$ snijdt $A B$ in $D$ . We gaan de oppervlakte van driehoek $A B C$ exact berekenen.

a

Bereken exact $\cos (∠ C A B)$ .

b

Bereken exact de zijden van driehoek $A C D$ .

c

Bereken exact de oppervlakte van driehoek $A B C$ .

In onderdeel b heb je $h$ berekend. Je kunt dat ook anders doen. Als volgt.
We noemen $A D = x$ .

d

Leg uit dat $15^{2} - x^{2} = 13^{2} - {(14 - x)}^{2}$ .

e

Bereken $x$ exact door de vergelijking uit het vorige onderdeel op te lossen en vervolgens $h$ .

26

$k_{a}$ is de lijn met vergelijking $y = a x + a + 2$ . Hierbij kan $a$ alle mogelijke waarden aannemen.

a

Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van $k_{1}$ en $k_{2}$ .

Alle lijnen $k_{a}$ hebben een gemeenschappelijk punt.

b

Toon dat aan.

c

Bereken de hoek waaronder $k_{1}$ en $k_{2}$ elkaar snijden in graden nauwkeurig.

27

Gegeven is de cirkel met middelpunt $M (0,2)$ en straal $4$ .

Bereken exact de oppervlakte van het deel van de cirkel dat onder de $x$ -as ligt.

28

Een cirkel met straal $3$ raakt een cirkel met straal $5$ uitwendig. $A$ is een punt van waaruit twee lijnen getekend kunnen worden die beide cirkels raken.

Bereken exact hoe ver $A$ van het middelpunt van de kleine cirkel afligt.

29

Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y - 4 = 0$ en de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 6 x - y + 7 = 0$ .

a

Bepaal van beide cirkels exact het middelpunt en de straal.

De vergelijking $x^{2} + y^{2} + 6 x - y + 7 = x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y - 4$ is te herleiden tot de vergelijking $2 x - 3 y + 11 = 0$ . Deze laatste vergelijking is de vergelijking van een lijn.

b

Leg uit dat dit de lijn door de snijpunten van de twee cirkels moet zijn, zonder die snijpunten uit te rekenen.

30

Voor elke positieve waarde van $a$ is $c_{a}$ de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 4 a y + 4 a^{2} = 0$ .

a

Druk het middelpunt en de straal van $c_{a}$ in $a$ uit.

b

Geef een vergelijking van de lijn waarop de middelpunten van de cirkels $c_{a}$ liggen. Licht je antwoord toe.

De cirkel $c_{a}$ snijdt de lijn $y = x$ in twee punten.

c

Druk de coördinaten van die punten in $a$ uit. (Dit kan zonder al te veel te rekenen!)

d

Voor welke waarden van $a$ raakt $c_{a}$ de lijn $y = 9$ ?