In deze paragraaf komen niet alleen opgaven voor die op dit hoofdstuk betrekking hebben.

1

Een gelijkzijdige driehoek heeft een omgeschreven cirkel met middelpunt M ( 0,2 ) . Twee hoekpunten van de driehoek liggen op de x -as.

a

Bereken de straal van de cirkel exact.

b

Bereken de coördinaten van de hoekpunten van de driehoek exact.

Een cirkel met middelpunt M heeft afstand 1 tot de driehoek.

c

Bereken de straal van de cirkel exact als de driehoek binnen de cirkel ligt.

d

Bereken de straal van de cirkel exact als de driehoek buiten de cirkel ligt.

2

Van driehoek O A B is gegeven dat A = ( 8,4 ) , B O A = 30 ° en O B A = 135 ° .

a

Bereken A B exact.

b

Bereken O B langs algebraïsche weg in twee decimalen nauwkeurig.

c

Bereken de oppervlakte van driehoek A O B in één decimaal nauwkeurig.

d

Bereken de hellingshoek van lijn O B in graden nauwkeurig.

3

O A B C is een trapezium met hoekpunten O ( 0,0 ) , A ( 25,0 ) , B ( 24,18 ) en C ( 11 1 2 ,18 ) .

a

Bereken de oppervlakte van het trapezium exact.

b

Bereken exact de lengte van de diagonalen van het trapezium. Vereenvoudig je antwoorden.

Het snijpunt van de diagonalen van het trapezium is S .
De driehoeken O S A en B S C zijn gelijkvormig.

c

Bepaal de vergrotingsfactor en daarmee de coördinaten van S .

d

Toon aan dat de diagonalen van het trapezium loodrecht op elkaar staan.

4

De gegevens zijn als in de vorige opgave.

a

Bereken A B exact, vereenvoudig je antwoord.

b

Bereken cos ( O B A ) exact en daarna hoek O B A in graden nauwkeurig.

5

We gaan verder met het trapezium van de vorige opgaven.
De cirkel met middellijn O A gaat ook door S .

a

Laat dat langs algebraïsche weg zien.

b

Geef de exacte afstand van deze cirkel tot lijn B C .

6

Aan de cirkel met middelpunt ( 2,0 ) en straal 1 worden vanuit O ( 0,0 ) raaklijnen getekend.

Toon aan dat de raaklijnen exact een hoek van 60 ° met elkaar maken.

7

Gegeven is driehoek A B C met A ( ‐5,5 ) , B ( 1,7 ) en C ( 7,1 ) .

a

Bereken de zijden van driehoek A B C exact, vereenvoudig je antwoorden.

b

Bereken de afstand van O ( 0,0 ) tot de hoekpunten van driehoek A B C exact.

c

Bereken hoek A O B in graden nauwkeurig.

c is de cirkel met middelpunt O die door A , B en C gaat.

d

Geef een vergelijking van die cirkel.

e

Voor welke waarden van a raakt c de lijn met vergelijking x y = a ?

8

In driehoek A B C is A B = 6 en C A B = 45 ° .
Op lijnstuk A B ligt D zó, dat A D = 2 . De lijn door D evenwijdig aan B C snijdt A C in S , zie figuur. Er geldt: A B S = 30 ° .

Bereken B C in één decimaal nauwkeurig. (Daar heb je enkele tussenstappen voor nodig.)

9

c is de cirkel met vergelijking ( x + 2 ) 2 + ( y 1 ) 2 = 25 en k de lijn met vergelijking y 4 x = 1 .

a

Bereken de coördinaten van de snijpunten van c en k exact.

De straal van de cirkel wordt zó verkleind totdat hij k raakt.

b

Bereken die verkleinde straal.

10

In het plaatje zijn in een assenstelsel drie cirkels getekend.

De cirkels raken elkaar en bovendien raken ze alle drie de x -as. De linker cirkel heeft middelpunt M en straal r . Punt M ligt op de y -as.
De middelste cirkel heeft middelpunt T en straal t .
De rechter cirkel heeft middelpunt N en straal s .
Verder is r s > t .
De vragen a en b hebben betrekking op de situatie waarin geldt: r = 9 , s = 2 1 4 en t = 1 .

a

Bereken M T N . Geef je antwoord in een geheel aantal graden.

b

Stel een vergelijking op van de lijn door M en T .

Voor de stralen van de drie cirkels geldt: 1 t = 1 s + 1 r
De vragen c en d hebben betrekking op de situatie waarin r = s = 2 . In deze situatie geldt: t = 1 2 .

c

Toon aan dat in deze situatie inderdaad geldt: t = 1 2 .

d

Bereken de oppervlakte van driehoek M N T .

11

In het plaatje zijn in een assenstelsel twee cirkels getekend. De linker cirkel heeft middelpunt M en straal r . Punt M ligt op de y -as.
De cirkel raakt de x -as in de oorsprong O .
De rechter cirkel heeft middelpunt N en straal s . Deze cirkel raakt de x -as in punt Q .
Er geldt: r > s .
De cirkels raken elkaar in punt R .
Er geldt: O Q = ( r + s ) 2 ( r s ) 2 .

a

Toon dit aan.

Bovenstaande formule is te herleiden tot een formule van de vorm O Q = a r s .

b

Bereken de waarde van a .

Neem r = 4 en s = 1 .
Lijn l is de raaklijn aan de beide cirkels in het punt R .

c

Bereken exact de richtingscoëfficiënt van lijn l .

12

In het plaatje staan de cirkel met middelpunt O en straal 2 en de cirkel met middelpunt M ( 3,4 ) en straal 4 .

De snijpunten van de cirkels zijn P en Q . Vierhoek O Q M P is een vlieger (want lijn OM is symmetrie-as). We gaan de lengte van de diagonaal P Q van de vlieger uitrekenen zonder de coördinaten van de snijpunten van de cirkels uit te rekenen.
S is het snijpunt van de diagonalen van de vlieger. We noemen O S = p en P S = q .

a

Toon aan: p 2 + q 2 = 4 en ( 5 p ) 2 + q 2 = 16 .

b

Los het volgende stelsel in p en q op:
{ p 2 + q 2 = 4 ( 5 p ) 2 + q 2 = 16 .

13

In het plaatje zijn getekend de punten A ( ‐1,‐3 ) , B ( 2,0 ) , lijn m door A en B en lijn k door C ( 2,4 ) evenwijdig met m .

a

Bereken de afstand van k tot m exact.

Er is nog een lijn n evenwijdig aan m die dezelfde afstand tot m heeft als k .

b

Geef een vergelijking van die lijn.

c

Bereken met behulp van a de oppervlakte van driehoek A B C exact.

d

Laat zien dat voor elk punt X op k geldt:
oppervlakte driehoek A B X = oppervlakte driehoek A B C .

D is een punt met eerste coördinaat 15 waarvoor geldt:
oppervlakte driehoek A B C = oppervlakte driehoek A B D .

e

Bereken de tweede coördinaat van D (twee mogelijkheden).

14

Gegeven zijn de cirkel c met vergelijking ( x 4 ) 2 + ( y 5 ) 2 = 25 en het punt P ( 3,3 ) . M is het middelpunt van c .
Zie het linker plaatje.

a

Bereken de exacte afstand van punt P tot cirkel c .

Cirkel c raakt de x -as in het punt A en snijdt de y -as in de punten B en C , waarbij C boven B ligt.
Lijn k gaat door B en P en lijn l gaat door A en C . Zie het rechter plaatje.

b

Bereken in graden nauwkeurig de scherpe hoek waaronder k en l elkaar snijden.

15

Hoe dichter je bij een cirkel komt, hoe groter de hoek is waaronder je hem ziet.
Neem aan dat de cirkel straal 1 heeft.

Hoe ver ben je van het middelpunt verwijderd als de hoek waaronder je de cirkel ziet 40 ° is?
Bereken die afstand langs algebraïsche weg in één decimaal.

16

Een cirkel met straal 2 raakt de y -as en gaat door ( 3,4 ) .

Bereken de coördinaten van het middelpunt exact.

17

We bekijken het volgende stelsel in x en y : { y = a x + 1 2 x = ( a + 1 ) y + a 3 ,
voor alle mogelijke waarden van a .

a

Voor welke waarden van a heeft het stelsel oneindig veel oplossingen?

b

Voor welke waarden van a heeft het stelsel geen oplossingen?

Gegeven zijn de lijnen
k a : y = a x + 1 en m a : 2 x = ( a + 1 ) y + a 3 .

c

Bereken exact de waarde van waarvoor k a en m a loodrecht op elkaar staan.

18

Vanuit A ( ‐12,0 ) worden raaklijnen aan de getekende cirkel getrokken.
De raaklijnen snijden de y -as in B en C zó, dat B C = 10 . D ( 4,0 ) is het punt van de cirkel dat het dichtst bij A ligt.

Bereken de straal van de cirkel exact.

19

In driehoek A B C is A B = 7 , A C = 5 en B C = 4 1 5 .
De deellijn van hoek C A B (de lijn die hoek C A B in twee even grote hoeken verdeelt) snijdt B C in S .
Op de deellijn ligt D zó, dat driehoek A C D gelijkbenig is.

a

Waarom zijn de lijnen A B en C D evenwijdig?

b

Bereken B S exact.

20

Van driehoek A B C is gegeven: A B = 12 , C A B = 15 ° en A B C = 45 ° .

a

Bereken A C exact.

b

Bereken B C in één decimaal nauwkeurig.

21

De cirkel c heeft middelpunt M . M ligt op de lijn met vergelijking x 3 y 1 = 0 . Verder raakt c de x -as in R ( 7,0 ) .

a

Wat is de straal van c ?

b

Geef een vergelijking van c .

De raaklijnen vanuit A ( 1,0 ) aan c raken de cirkel in R en S .

c

Bereken de coördinaten van S exact.

(hint)

Geef een vergelijking van lijn S R .

Een cirkel met straal 4 raakt de lijnen A S en A R .

d

Bereken de coördinaten van het middelpunt exact.

22

Gegeven zijn de punten A ( 2,0 ) en B ( 8,0 ) , de cirkel c met vergelijking x 2 10 x + y 2 8 y + 16 = 0 en de cirkel d met middellijn A B .

a

Toon aan dat de cirkel c door de punten A en B gaat en de y -as raakt.

Het punt P ( 8,8 ) ligt op de cirkel c . De lijn l raakt de cirkel c in het punt P .

b

Stel een vergelijking op van deze raaklijn l .

A B is de middellijn van cirkel d .
Twee raaklijnen aan de cirkel d gaan door de oorsprong O ( 0,0 ) .

c

Bereken de hoek die deze raaklijnen met elkaar maken in graden. Rond je antwoord af op één decimaal.

23

Van driehoek A B C is gegeven: A C = 7 en B C = 10 .
M is het midden van B C en A M = 4 .
Verder zie plaatje.

a

Bereken cos ( α ) exact.

b

Wat is cos ( β ) exact?

c

Bereken A B exact.

24

Gegevens zie plaatje.

Bereken A B exact.

(hint)

Bereken eerst sin ( A D B ) exact met de sinusregel in driehoek B C D .

25

De zijden van driehoek A B C zijn 13 , 14 en 15 , zie plaatje. Het hoogtelijnstuk h uit C snijdt A B in D . We gaan de oppervlakte van driehoek A B C exact berekenen.

a

Bereken exact cos ( C A B ) .

b

Bereken exact de zijden van driehoek A C D .

c

Bereken exact de oppervlakte van driehoek A B C .

In onderdeel b heb je h berekend. Je kunt dat ook anders doen. Als volgt.
We noemen A D = x .

d

Leg uit dat 15 2 x 2 = 13 2 ( 14 x ) 2 .

e

Bereken x exact door de vergelijking uit het vorige onderdeel op te lossen en vervolgens h .

26

k a is de lijn met vergelijking y = a x + a + 2 . Hierbij kan a alle mogelijke waarden aannemen.

a

Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van k 1 en k 2 .

Alle lijnen k a hebben een gemeenschappelijk punt.

b

Toon dat aan.

c

Bereken de hoek waaronder k 1 en k 2 elkaar snijden in graden nauwkeurig.

27

Gegeven is de cirkel met middelpunt M ( 0,2 ) en straal 4 .

Bereken exact de oppervlakte van het deel van de cirkel dat onder de x -as ligt,

28

Een cirkel met straal 3 raakt een cirkel met straal 5 uitwendig. A is een punt van waaruit twee lijnen getekend kunnen worden die beide cirkels raken.

Bereken exact hoe ver A van het middelpunt van de kleine cirkel afligt.

29

Gegeven is de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 + 4 x + 2 y 4 = 0 en de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 + 6 x y + 7 = 0 .

a

Bepaal van beide cirkels exact het middelpunt en de straal.

De vergelijking x 2 + y 2 + 6 x y + 7 = x 2 + y 2 + 4 x + 2 y 4 is te herleiden tot de vergelijking 2 x 3 y + 11 = 0 . Deze laatste vergelijking is de vergelijking van een lijn.

b

Leg uit dat dit de lijn door de snijpunten van de twee cirkels moet zijn, zonder die snijpunten uit te rekenen.

30

Voor elke positieve waarde van a is c a de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2 a x 4 a y + 4 a 2 = 0 .

a

Druk het middelpunt en de straal van c a in a uit.

b

Geef een vergelijking van de lijn waarop de middelpunten van de cirkels c a liggen. Licht je antwoord toe.

De cirkel c a snijdt de lijn y = x in twee punten.

c

Druk de coördinaten van die punten in a uit. (Dit kan zonder al te veel te rekenen!)

d

Voor welke waarden van a raakt c a de lijn y = 9 ?