1

a

De hoekpunten van de driehoek zijn $A$ , $B$ en $C$ . Driehoek $M B O$ is een $30 - 60 - 90 -$ graden driehoek, dus de straal van de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ is $B M = 2 \cdot O M = 4$ .

b

$O B = \sqrt{3} \cdot O M = 2 \sqrt{3}$ . Dus: $A (‐2 \sqrt{3},0)$ , $B (2 \sqrt{3},0)$ en $C (0,6)$ .

c

Het kortste verbindingslijnstuk van die cirkel gaat naar een hoekpunt bijvoorbeeld naar $A$ , de straal is $5$ .

d

Een kortste verbindingslijnstuk van die cirkel gaat naar het midden van een zijde, dus de straal is $1$ .

2

a

We passen de sinusregel in driehoek $O A B$ toe. $\frac{\sin (30 °)}{A B} = \frac{\sin (135 °)}{O A}$ , dus $\frac{\frac{1}{2}}{A B} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{4 \sqrt{5}}$ , dus $A B = 2 \sqrt{10}$ .

b

We passen weer de sinusregel toe in driehoek $O A B$ .
$\frac{\sin (15 °)}{O B} = \frac{\sin (135 °)}{O A} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{4 \sqrt{5}}$ , dus $O B \approx 3,27$ .

c

Oppervlakte $Δ O A B = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B \cdot \sin (30 °) \approx 7,3$ .

d

Lijn $O A$ heeft hellingshoek $\tan^{‐ 1} (\frac{1}{2}) \approx 27 °$ , dus lijn $O B$ heeft hellingshoek $27 ° + 30 ° = 57 °$ .

3

a

De oppervlakte van het trapezium $=$
oppervlakte $Δ O A C$ $+$ oppervlakte $Δ A B C =$ $\frac{1}{2} \cdot O A \cdot 18 + \frac{1}{2} \cdot B C \cdot 18 = 337,5$

b

$O B = 30$ en $A C = 22 \frac{1}{2}$ .

c

De vergrotingsfactor is $\frac{O A}{B C} = 2$ , dus $O S = \frac{2}{3} \cdot O B$ , dus $S = (\frac{2}{3} \cdot 24, \frac{2}{3} \cdot 18) = (16,12)$ .

d

Richtingscoëfficiënt $O B = \frac{3}{4}$ en richtingscoëfficiënt $A C = ‐ 1 \frac{1}{3}$ . Het product van de richtingscoëfficiënten is $‐1$ .

4

a

$5 \sqrt{13}$

b

Pas de cosinusregel in driehoek $O A B$ toe, dit geeft $\cos (∠ O B A) = \frac{2}{13} \sqrt{13}$ , dus $∠ O B A = \cos^{‐ 1} (\frac{2}{13} \sqrt{13}) \approx 56 °$ .

5

a

De cirkel met middellijn $O A$ heeft straal $\frac{1}{2} O A = 12 \frac{1}{2}$ , dit is ook de afstand van $S$ tot het midden $(12 \frac{1}{2},0)$ van $O A$ .

b

$5 \frac{1}{2}$

6

Noem het middelpunt van de cirkel $M$ en de raakpunten $R$ en $S$ . Dan zijn de driehoeken $O R M$ en $O S M$ rechthoekig met een rechthoekszijde $1$ en schuine zijde $2$ , dus $30 - 60 - 90 -$ graden driehoeken. De hoek tussen de raaklijnen is $60 °$ .

7

a

$A B = 2 \sqrt{10}$ , $B C = 6 \sqrt{2}$ en $A C = 4 \sqrt{10}$ .

b

Die zijn alle drie $5 \sqrt{2}$ .

c

Met de cosinusregel:
${(2 \sqrt{10})}^{2} = {(5 \sqrt{2})}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2} - 2 \cdot 5 \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{2} \cdot \cos (∠ A O B)$
dus $\cos (∠ A O B) = 0,6$ , dus $∠ A O B \approx 53 °$ .

d

$x^{2} + y^{2} = 50$

e

Het raakpunt ligt dan op de lijn $y = ‐ x$ , één van de raakpunten is dus $A$ , het andere is $(5, ‐ 5)$ , dus $a = 10$ of $a = ‐10$ .

8

$B S$ kun je berekenen met de sinusregel in driehoek $A B S$ .
Vervolgens bereken je met de cosinusregel $D S$ in driehoek $D B S$ , dan heb je ook $B C$ , want: $B C = 3 \cdot B S$ .
$\frac{\sin (45 °)}{B S} = \frac{\sin (75 °)}{A B}$ , dus $B S = \frac{\sin (45 °)}{\sin (105 °)} \cdot A B = 4,39...$ .
$D S^{2} = 4^{2} + {4,39...}^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4,39... \cdot \cos (30 °)$ , dus $D S = 2,2$ en $B C = 6,6$ .

9

a

Voor $y = 4 x + 1$ in de vergelijking ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ invullen geeft: ${(x + 2)}^{2} + 16 x^{2} = 25 \Leftrightarrow 17 x^{2} + 4 x - 21 = 0 \Leftrightarrow$ $x = 1$ of $x = ‐ \frac{21}{17}$ , de snijpunten zijn: $(1,17)$ en $(‐1 \frac{4}{17}, ‐3 \frac{16}{17})$ .

b

Als je voor $y = 4 x + 1$ invult in ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}$ , krijg je een vergelijking met discriminant $0$ .
${(x + 2)}^{2} + 16 x^{2} = r^{2} \Leftrightarrow 17 x^{2} + 4 x - r^{2} + 4 = 0$ , dus: $16 - 4 \cdot 17 \cdot (4 - r^{2}) = 0 \Leftrightarrow r^{2} =$ $\frac{64}{17}$ , dus de straal is $\frac{8}{17} \sqrt{17}$ .

10

a

Met de cosinusregel in driehoek $M N T$ .

Er geldt: $M N = 9 + 2 \frac{1}{4} = 11 \frac{1}{4}$ ,
$M T = 9 + 1 = 10$ en $N T = 1 + 2 \frac{1}{4} = 3 \frac{1}{4}$ .
${(11 \frac{1}{4})}^{2} =$
$10^{2} + {(3 \frac{1}{4})}^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 3 \frac{1}{4} \cdot \cos (∠ M T N)$ , dus $\cos (∠ M T N) = ‐ \frac{16}{65}$ en $∠ M T N = 104 °$ .

b

De projectie van $T$ op de $x$ -as is $P$ en die op de $y$ -as is $Q$ .
$T P = 1$ , $M Q = 8$ en $M T = 10$ , dus $T Q = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6$ , dus $T = (6,1)$ en $M = (0,9)$ .
Een vergelijking van $M T$ is: $y = ‐1 \frac{1}{3} x + 9$ .

c

$\frac{1}{\sqrt{t}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ , dus (kwadrateren) $\frac{1}{t} = 2$ , dus $t = \frac{1}{2}$ .

d

Oppervlakte rechthoek $O A N M = 8$ , oppervlakte oker driehoek is $1 \frac{1}{2}$ , oppervlakte blauwe rechthoek is $2$ , dus oppervlakte driehoek $M N T =$
$8 - 2 - 1 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{2} = 3$ .

11

a

$P$ is de loodrechte projectie van $N$ op de $y$ -as.
Dan is $M N = r + s$ en $P M = r - s$ . Pas de stelling van Pythagoras toe.

b

$O Q = \sqrt{{(r + s)}^{2} - {(r - s)}^{2}} = \sqrt{r^{2} + 2 r s + s^{2} - (r^{2} - 2 r s + s^{2})} = \sqrt{4 r s} = 2 \sqrt{r s}$ dus $a = 2$

c

Dan $P N = 2 \sqrt{4} = 4$ en $M N = 5$ , dus lijn $M N$ heeft richtingscoëfficiënt $‐ \frac{3}{4}$ , dus de raaklijn (die loodrecht op lijn $M N$ staat), heeft richtingscoëfficiënt $1 \frac{1}{3}$ .

12

a

Het eerste volgt uit de stelling van Pythagoras in driehoek $O P S$ en het tweede uit de stelling van Pythagoras in driehoek $P S M$ , want $O M = 5$ en
$M S = 5 - p$ .

b

${\begin{cases} p^{2} + q^{2} = 4 \\ {(5 - p)}^{2} + q^{2} = 16 \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} q^{2} = 4 - p^{2} \\ {(5 - p)}^{2} + 4 - p^{2} = 16 \end{cases}$ .
${(5 - p)}^{2} + 4 - p^{2} = 16 \Leftrightarrow p = 1 \frac{3}{10}$ .
Dus $q = \frac{1}{10} \sqrt{231}$ en $P Q = \frac{1}{5} \sqrt{231}$ .

13

a

$n$ is de lijn door $C$ loodrecht op $m$ . Lijn $m$ heeft richtingscoëfficiënt $1$ , dus $n$ heeft richtingscoëfficiënt $‐1$ , dus $n : y = ‐ x + 6$ .
Het snijpunt van $n$ en $m$ is $D (4,2)$ . De afstand van $k$ tot $m$ is $C D = 2 \sqrt{2}$ .

b

Noem die lijn $p$ . Het spiegelbeeld van $C$ in $m$ is $(6,0)$ . Dit punt ligt op $p$ , dus vergelijking $p : y = x - 6$ .

c

Als je $A B$ als basis neemt is de afstand van $k$ tot $m$ de bijbehorende hoogte. De oppervlakte is dus: $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot 2 \sqrt{2} = 6$ .

d

Als je $A B$ als basis neemt is de bijbehorende hoogte de afstand van $m$ tot $k$ .

e

$D$ ligt op $k$ of op $p$ , dus de tweede coördinaat is $17$ of $9$ .

14

a

$M P = \sqrt{5}$ , dus de afstand is $5 - \sqrt{5}$ .

b

$A = (4,0)$ en de coördinaten van $B$ en $C$ vind je door $c$ met de lijn $x = 0$ te snijden:
$x = 0$ invullen in ${(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ geeft: ${(y - 5)}^{2} = 9$ , dus $y = 5 + 3 = 8$ of $y = 5 - 3 = 2$ , dus $B = (0,2)$ en $C = (0,8)$ .

figuur bij opgave 14

De richtingscoëfficiënt van $k$ is $\frac{1}{3}$ en de richtingscoëfficiënt van $l$ is $‐2$ .
$α = \tan^{‐ 1} (\frac{1}{3}) = 18,43 °$ en $β = \tan^{‐ 1} (2) = 63,43 °$ .
De gevraagde hoek is $γ = α + β = 82 °$ .

15

Het middelpunt van de cirkel noemen we $M$ , het punt van waaruit je kijkt $A$ en één van de punten waar de raaklijn uit $A$ de cirkel raakt $R$ . De gevraagde afstand is dan $A M$ .
Driehoek $A M R$ is rechthoekig in $R$ , $∠ R A M = 20 °$ en $R M = 1$ , dus $A M = \frac{1}{\sin (20 °)} = 2,9$ .

16

Het middelpunt van de cirkel is $M (2, y)$ en de afstand van $M$ tot $(3,4)$ is $2$ , dus: $1 + {(4 - y)}^{2} = 4 \Leftrightarrow {(4 - y)}^{2} = 3 \Leftrightarrow y = 4 \pm \sqrt{3}$ . Dus $M = (2,4 \pm \sqrt{3})$ .

17

a

Dan moeten de lijnen $y = a x + 1$ en $2 x = (a + 1) y + a - 3$ samenvallen.
Ze moeten dan in ieder geval dezelfde helling hebben. Dit is zo als $a = \frac{2}{a + 1} \Leftrightarrow a^{2} + a - 2 = 0$ , dus als $a = 1$ of $a = ‐ 2$ .
Als $a = 1$ kunnen beide vergelijkingen herschreven worden als: $y = x + 1$ en zijn er dus oneindig veel oplossingen.
Als $a = ‐ 2$ , zijn de lijnen evenwijdig.

b

Zie vorig onderdeel: als $a = ‐ 2$ .

c

Dan $a \cdot \frac{2}{a + 1} = ‐ 1 \Leftrightarrow a = ‐ \frac{1}{3}$ .

18

Lijn $A R$ raakt de cirkel in $R$ . Het middelpunt van de cirkel is $M$ en de straal is $r$ .
De driehoeken $A R M$ en $A O B$ zijn gelijkvormig, dus $\frac{O B}{A B} = \frac{R M}{A M} \Leftrightarrow$
$\frac{5}{13} = \frac{r}{r + 16}$ .
Dus $13 r = 80 + 5 r \Leftrightarrow r = 10$ .

19

a

Driehoek $A C D$ is gelijkbenig, dus hoek $A D C =$ hoek $C A D$ . Maar ook hoek $D A B =$ hoek $C A D$ , dus hoek $A D C =$ hoek $D A B$ , dus de lijnen $A B$ en $C D$ zijn evenwijdig (z-hoeken).

b

Uit het vorige onderdeel volgt dat de driehoeken $A S B$ en $D S C$ gelijkvormig zijn, dus: $\frac{C S}{B S} = \frac{C D}{A B} = \frac{5}{7}$ , dus $C S = \frac{5}{12} \cdot 4 \frac{1}{5} = 1 \frac{3}{4}$ .

20

a

$∠ A C B = 120 °$ dus $\frac{\sin (45 °)}{A C} = \frac{\sin (120 °)}{12} \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{A C} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{3}}{12} \Leftrightarrow A C = \frac{12 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{6}$ .

b

$\frac{\sin (15 °)}{B C} = \frac{\sin (120 °)}{12} \Leftrightarrow \frac{0,2588...}{B C} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{3}}{12}$ , dus $B C = 0,2588... \cdot 12 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 3,6$ .

21

a

De eerste coördinaat van $M$ is $7$ . Omdat $M$ op de lijn $x - 3 y - 1 = 0$ ligt is de tweede coördinaat $2$ . Dat is ook de straal van de cirkel.

b

${(x - 7)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$

c

Lijn $A M$ is symmetrieas van driehoek $A S R$ , dus lijn $S R$ staat loodrecht op lijn $A M$ dus lijn $S R$ heeft richtingscoëfficiënt $‐3$ , een vergelijking van lijn $S R$ $y = ‐3 x + 21$ .
We berekenen de snijpunten van de lijn $y = ‐3 x + 21$ met de cirkel
${(x - 7)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ .
Vul in ${(x - 7)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ voor $y = ‐3 x + 21$ in.
Je krijgt ${(x - 7)}^{2} + {(‐ 3 x + 21 - 2)}^{2} = 4 \Leftrightarrow 10 x^{2} - 128 x + 406 = 0$ , dus $x = 7$ of $x = \frac{29}{5} = 5 \frac{4}{5}$ .
Dus $S = (5 \frac{4}{5},3 \frac{3}{5})$ .

d

Die cirkel krijg je door de gegeven cirkel met $2$ of $‐2$ vanuit $A$ te vermenigvuldigen.
Van $A$ naar $M$ moet je $6$ naar rechts en $2$ naar boven, dus het gevraagde middelpunt is $(1 + 2 \cdot 6,2 \cdot 2) = (13,4)$ of $(1 - 2 \cdot 6, ‐2 \cdot 2) = (‐11, ‐4)$ .
Of: het gevraagde middelpunt ligt op de lijn $x - 3 y - 1 = 0$ en heeft tweede coördinaat $4$ of $‐4$ is dus: $(13,4)$ of $(‐11,‐4)$ .

22

a

Vul de coördinaten van $A$ en $B$ maar in.
$x^{2} - 10 x + y^{2} - 8 y + 16 = 0 \Leftrightarrow {(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ , dus het middelpunt van de cirkel is $(5,4)$ en de straal is $5$ .
De afstand van het middelpunt $M$ tot de $y$ -as is $5$ en dat is ook de straal.

b

Lijn $M P$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{4}{3}$ , dus $l$ heeft richtingscoëfficiënt $‐ \frac{3}{4}$ en gaat door $P$ , dus een vergelijking van $l$ is: $y = ‐ \frac{3}{4} x + 14$ .

c

Het middelpunt van de cirkel is $N (5,0)$ . $R$ is een van de raakpunten. Driehoek $O R N$ is rechthoekig in $R$ , en $O N = 5$ , dus $\sin (∠ R O N) = \frac{3}{5}$ .
De gevraagde hoek is $2 \cdot \sin^{‐ 1} (0,6) = 73,7 °$ .

23

a

We passen de cosinusregel toe in driehoek $A B M$ .
$7^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos (α) \Leftrightarrow \cos (α) = ‐ \frac{1}{5}$ .

b

$\cos (β) = \frac{1}{5}$

c

Met de cosinusregel:
$A B^{2} = 5^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{5} = 33$ , dus $A B = \sqrt{33}$ .

24

Hoek $C D B$ noemen we $α$ en hoek $A D B$ noemen we $β$ .
Dan (sinusregel in driehoek $C B D$ ):
$\frac{\sin (α)}{7} = \frac{\sin (30 °)}{4}$ , dus $\sin (α) = 7 \cdot \frac{\sin (30 °)}{4} = \frac{7}{8}$ , dus $\sin (β) = \frac{7}{8}$ .
Sinusregel in driehoek $A B D$ :
$\frac{\sin (β)}{A B} = \frac{\sin (45 °)}{9}$ , dus $A B = 9 \cdot \frac{7}{8} \cdot \sqrt{2} = 7 \frac{7}{8} \sqrt{2}$ .

25

a

Hoek $C A B$ noemen we $α$ . Dan:
$13^{2} = 14^{2} + 15^{2} - 2 \cdot 14 \cdot 15 \cdot \cos (α)$ , dus $\cos (α) = \frac{3}{5}$ (cosinusregel in driehoek $A B C$ .)

b

$\frac{A D}{A C} = \cos (α) = \frac{3}{5}$ , dus $A D = 9$ . Met de stelling van Pythagoras vind je dan: $C D =$ $h = 12$ .

c

De oppervlakte is: $\frac{1}{2} \cdot h \cdot A B = 84$ .

d

Stelling van Pythagoras in driehoek $A C D$ geeft:
$h^{2} = 15^{2} - x^{2}$ en in driehoek $B C D$ :
$h^{2} = 13^{2} - {(14 - x)}^{2}$ .

e

$15^{2} - x^{2} = 13^{2} - {(14 - x)}^{2} \Leftrightarrow 225 - x^{2} = 169 - 196 + 28 x - x^{2}$ , dus $x = 9$ en dus $h = 12$ (door invullen in $h^{2} = 15^{2} - x^{2}$ ).

26

a

$(‐ 1,2)$

b

Dat moet het punt uit onderdeel a zijn. Als je dat in de vergelijking van $k_{a}$ invult, valt $a$ uit de vergelijking weg en vind je $2 = 2$ en dat klopt voor alle $a$ .

c

$\tan^{‐ 1} (1) = 45 °$ en $\tan^{‐ 1} (2) = 63,43... °$ . De gevraagde hoek is $18 °$ .

27

De snijpunten van de cirkel met de $x$ -as noemen we $A$ en $B$ . Dan zijn de driehoeken $A M O$ en $B M O$ $30 ‐ 60 ‐ 90 ‐$ driehoeken, dus $∠ A M B = 120 °$ , dus de oppervlakte van cirkelsector $∠ A M B$ is het derde deel van de oppervlakte van de hele cirkel, dus $5 \frac{1}{3} π$ . De oppervlakte van driehoek $A M B$ is $2 \cdot 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ , dus de gevraagde oppervlakte is $5 \frac{1}{3} π - 4 \sqrt{3}$ .

28

Noem het middelpunt van de kleine cirkel $M$ en van de grote cirkel $N$ . Het raakpunt op de kleine cirkel noemen we $R$ en op de grote cirkel $S$ .
De driehoeken $A R M$ en $A S N$ zijn gelijkvormig want ze hebben twee hoeken gelijk (een rechte hoek en hoek $A$ .)
Voor het gemak noemen we de gevraagde afstand $x$ . Uit de gelijkvormigheid volgt: $\frac{x + 8}{x} = \frac{A N}{A M} = \frac{S N}{R M} = \frac{5}{3}$ , dus $x = 12$ .

29

a

De eerste $(‐ 2, ‐ 1)$ en straal $3$ , de tweede middelpunt $(‐ 3, \frac{1}{2})$ en straal $1 \frac{1}{2}$ .

b

Als je de coördinaten van een snijpunt invult in $x^{2} + y^{2} + 6 x - y + 7$ vind je $0$ en ook als je ze invult in $x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y - 4$ .
Dus een snijpunt voldoet aan de vergelijking $x^{2} + y^{2} + 6 x - y + 7 = x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y - 4$ (want invullen geeft $0 = 0$ ).

30

a

Het middelpunt is $(a,2 a)$ en de straal is $a$ .

b

$y = 2 x$ , want aan deze vergelijking voldoet $(a,2 a)$ .

c

Het 'onderste' punt van $c_{a}$ is $(a, a)$ en het meest 'rechtse' punt van $c_{a}$ is $(2 a,2 a)$ . Beide voldoen aan de vergelijking $y = x$ .

d

Het laagste punt van de cirkel is $(a, a)$ en het hoogste $(a,3 a)$ . Eén van deze punten moet $y$ -coördinaat $9$ hebben, dus $a = 3$ of $a = 9$ .