Helling

In het hoofdstuk Differentiëren 1 is de afgeleide functie aan de orde geweest. Hiermee kun je de snelheid waarmee de functie groeit berekenen. In het genoemde hoofdstuk heb je geleerd hoe de afgeleide van een veeltermfunctie bepaalt, de functie differentieert. In dit hoofdstuk leer je een grotere categorie functies differentiëren, bijvoorbeeld de functies y = 2 x + 1 of y = 1 x 2 + 1 .

1

Met een schaar knip je meestal recht. Als je bijvoorbeeld een cirkel uit wilt knippen, valt dat niet mee: je moet continu de kniprichting veranderen. Hieronder staat de grafiek van een functie. Stel dat je de grafiek uit wilt knippen. Dan moet je steeds van kniprichting veranderen. Elke plaats van de grafiek heeft zijn eigen kniprichting.

Op de grafiek zijn drie punten aangegeven: A , B en C .

a

Geef op het werkblad de kniprichting aan in elk van die punten.

Er is een punt op de grafiek waar de kniprichting dezelfde is als in punt A (een ander punt dan A ).

b

Zoek die plaats zo goed mogelijk op het werkblad.

De kniprichting kun je in een getal uitdrukken: dat is de helling van de grafiek in het betreffende punt. De helling bepaal je op de bekende manier als verhouding Δ y Δ x .

c

Bepaal zo goed mogelijk de hellingen van de grafiek op de punten A , B en C .

2

Een parachutist springt op 2000 meter uit een vliegtuig. De eerste 10 seconden maakt hij een vrije val van 50 meter. Dan trekt hij zijn parachute open. Vanaf dat moment wordt zijn val afgeremd. Maar het afremmen wordt steeds minder: na 30 seconden verandert zijn snelheid niet meer. In de figuur is de grafiek getekend van de hoogte van de parachutist boven de grond gedurende de eerste 30 seconden dat zijn parachute open is. De hoogte in meters, de tijd in seconden.

a

Teken de grafiek na de 30 -ste seconde op het werkblad.

b

Met welke snelheid ongeveer daalt de parachutist na de 30 -ste seconde?

3

Een pijl wordt op tijdstip t = 0 recht omhoog geschoten. Hij komt weer op dezelfde plek neer. De hoogte na t seconden is h meter. Er geldt: h = 20 t 5 t 2 . Hiernaast staat de grafiek van h als functie van t .

a

Bereken exact hoeveel tijd de pijl in de lucht is geweest.

(hint)
Bereken de tijdstippen waarop de hoogte 0 is.
b

Hoe hoog komt de pijl exact?

c

Hoe groot is de snelheid van de pijl in het hoogste punt?

d

Bereken exact de gemiddelde snelheid van de pijl op het tijdsinterval [ 1,1 1 2 ] .

e

Bereken ook exact de gemiddelde snelheid op het tijdsinterval [ 1 ; 1,001 ] .

f

Hoe groot is, denk je, de snelheid van de pijl op t = 1 ?

De snelheid v ( t ) van de pijl op tijdstip t is de afgeleide h ( t ) van de functie h op tijdstip t .

g

Geef een formule voor v ( t ) en bereken hiermee de exacte snelheid van de pijl als t = 1 .

Het idee hoe de snelheidsfunctie te bepalen bij een afstandsfunctie, brengen we over op 'andere' functies, we spreken dan over de groeisnelheid van een functie. In het hoofdstuk Differentiëren 1 hebben we het volgende gezien.
Gegeven is een functie f . De gemiddelde groeisnelheid van f op het interval [ a , b ] is: f ( b ) f ( a ) b a . Het is de helling van de lijn door de punten A met eerste coördinaat a en B met eerste coördinaat b .
Als je b steeds dichter bij a neemt, komt het punt B dichter bij het punt A en wordt lijn A B de raaklijn in A en het getal f ( b ) f ( a ) b a nadert de helling van die raaklijn. Die helling noteren we met f ( a ) . Het is de groeisnelheid van f ( x ) in a .
In plaats van f ( b ) f ( a ) schrijven we vaak Δ y en in plaats van b a schrijven we Δ x .

Regels voor differentiëren
Voor de functies f en g en voor elke constante c geldt:

  • Somregel
    Als s = f + g , dan s = f + g .

  • Veelvoudregel
    Als v = c f , dan v = c f .

  • Als y = x n , dan y = n x n 1 , voor positieve gehele getallen n .

  • De afgeleide van een constante functie is de 0 -functie.

4

Geef van de functies f , g , h en k de afgeleide.

f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2

g ( x ) = 2 x 3 + 3 ( x + 1 ) 2

h ( x ) = ( 2 x + 1 ) 2 ( 2 x 1 ) 2

k ( x ) = ( 2 x + 1 ) 2 ( 2 x 1 ) 2 x

5

In opgave 1 stond de grafiek van de functie y = 0,1 x 3 x + 2 .
B is het punt op de grafiek met eerste coördinaat 1 . P is het punt op de grafiek met eerste coördinaat 1,001 .

a

Bereken de helling Δ y Δ x van de lijn door B en P .

Deze helling is nagenoeg gelijk aan de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt B .

b

Klopt dat met wat jij in opgave 1 hebt geantwoord?

Je kunt de helling van de raaklijn in B precies berekenen met de afgeleide.

c

Doe dat.

d

Geef een exacte vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in B .

De afgeleide van de functie Omgekeerde

Zoals bekend: de functie Omgekeerde is de functie y = 1 x .

6

In de figuur hieronder staat de grafiek van de functie y = 1 x .

Als x = 2 , dan y = 1 2 . Als x toeneemt, verandert y . We willen weten hoeveel keer zo snel y verandert als x .

a

Bepaal de groeisnelheid van y ten opzichte van x op de
Δ y Δ x -manier. Controleer je antwoord in de grafiek.
Dezelfde opdracht als x = 1 2 . En als x = 10 .

Anneke heeft de groeisnelheid op deze manier voor een groot aantal waarden van x bepaald. Ze zette haar resultaten in een tabel.

x

1

3

5

8

20

Δ y Δ x

1

1 9

1 25

1 64

1 400

Op grond hiervan gokt Anneke een algemene formule voor de groeisnelheid y ( x ) , uitgedrukt in x .

b

Welke formule denk je?

De afgeleide van de functie y = 1 x is y ( x ) = 1 x 2 .

Voorbeeld:

Als y = 3 x , dan y = 3 x 2 , want 3 x = 3 1 x .
Als y = 1 2 x , dan y = 1 2 x 2 , want 1 2 x = 1 2 1 x .
Als y = x 2 + 1 x , dan y = 1 1 x 2 , want y = x 2 + 1 x = x + 1 x .

7

Geef van de functies f , g , h en k de afgeleide.

f ( x ) = x 2 1 x

g ( x ) = ( x + 1 ) 2 + 1 x

h ( x ) = ( 2 x ) 2 + x ( 2 x ) 2

k ( x ) = ( 1 x + 1 ) ( 1 x 1 )

8

Hiernaast staat de grafiek van de functie f : x 4 x . We bekijken alle mogelijke verbindingslijnstukken van de oorsprong O ( 0,0 ) met punten op de grafiek van f . In de figuur zijn er drie getekend.
X is het punt op de grafiek van f met eerste coördinaat x .

a

Bereken de lengte van O X exact als x = 4 .

Het lijnstuk O X heeft minimale lengte als x 2 + 16 x minimaal is.

b

Toon dat aan.

c

Bereken de waarde van x waarvoor lijnstuk O X minimale lengte heeft exact.

9

Gegeven is de functie y = 1 x .

a

Bereken exact de helling van de grafiek in het punt P met eerste coördinaat 2 .

b

Geef een vergelijking van de raaklijn in P .

c

Bereken de oppervlakte van de driehoek die wordt ingesloten door de raaklijn in P , de x -as en de y -as.

10

Voor de bouw van een supermarkt wil men een perceel grond kopen. De vloeroppervlakte van de supermarkt moet 1200 m2 zijn. Naast en achter het gebouw moet een strook van 6 meter breed onbebouwd blijven en voor het gebouw een strook van 10 meter breed.
De volgende vraag doet zich nu voor: bij welke afmetingen van de supermarkt heeft het benodigde perceel een minimale oppervlakte?
Noem de lengte van de voorzijde van de supermarkt x (meter).

a

Druk de lengte en de breedte van het perceel uit in x .

(hint)
Druk eerst de lengte van het gebouw uit in x .
b

Toon aan dat voor de oppervlakte O ( x ) van het perceel geldt: O ( x ) = 16 x + 1392 + 14.400 x .

Hoe groot zijn de afmetingen van het perceel met minimale oppervlakte?

c

Bereken die afmetingen langs algebraïsche weg.

11

We bekijken blikken met een inhoud van 1 liter ( 1 dm3); h is de hoogte en r de straal van de grondcirkel in dm.
Van een cirkel met straal r is de oppervlakte π r 2 en de omtrek 2 π r .
Omdat onze blikken inhoud 1 liter hebben, geldt: π r 2 h = 1 .
De totale oppervlakte van het blik (in dm2) noemen we O .

a

Toon aan O = 2 r + 2 π r 2 .

b

Geef een formule voor O ( r ) .

c

Toon aan dat O minimaal is als r = 1 2 π 3 .