In stappen berekenen

In deze paragraaf leiden we een regel af waarmee je de afgeleide van een ketting kunt berekenen als je die van de schakels kent.
Bijvoorbeeld: de functie $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ is de ketting $x \to u \to y$ , met $y = \frac{1}{u}$ en $u = x^{2} + 1$ .
Van de schakels $x \to u$ en $y = \frac{1}{u}$ kennen we de afgeleide. De vraag is, hoe vind je hieruit de afgeleide van $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ ?

Een Hyundai i20 rijdt $1$ op $20$ . Eurobenzine kost $1,70$ per liter (prijzen van 2013). Als je weet hoeveel km ( $R$ ) een reis lang is, kun je berekenen hoeveel liter ( $B$ ) benzine die reis kost. Vervolgens kun je de benzinekosten $K$ (in euro) van de reis berekenen. Er zijn twee stappen: $R \to B$ en $B \to K$ en daarmee vind je $R \to K$ .

Geef een formule voor $B$ , uitgedrukt in $R$ .

Geef een formule voor $K$ , uitgedrukt in $B$ .

Geef een formule voor $K$ , uitgedrukt in $R$ .

Van een kubus noemen we de ribbe $r$ (in cm), de totale oppervlakte (dus van zes grensvlakken) $O$ (in ${cm}^{2}$ ) en de inhoud $V$ (in ${cm}^{3}$ ).

Druk $O$ en $V$ uit in $r$ .

Bereken $r$ en vervolgens $O$ exact als $V = 5$ en daarna in twee decimalen.

Als je $V$ weet, kun je $r$ uitrekenen, en met $r$ kun je dan $O$ uitrekenen: $V \to r \to O$ .

Laat zien dat $O = 6 \cdot V^{\frac{2}{3}}$ .

Omgekeerd: als je $O$ kent, kun je via $r$ de waarde van $V$ uitrekenen, volgens de ketting: $O \to r \to V$ .

Bereken $r$ en vervolgens $V$ exact als $O = 5$ en daarna in twee decimalen.

Geef een formule voor $V$ in de vorm: $V = a \cdot O^{b}$ , met $a$ en $b$ in twee decimalen.

Gegeven is het verband $u = 2 x + 1$ en $y = u^{2}$ . Als je $x$ kent, kun je $u$ berekenen en daaruit $y$ .
Dit geeft de ketting $x \to u \to y$ .

Bereken $y$ als $x = 3$ .
Druk $y$ uit in $x$ . Schrijf je antwoord zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

Doe hetzelfde voor de ketting $x \to u \to y$ , waarbij $u = ‐ 2 x$ en $y = u^{3}$ .

Doe hetzelfde voor de ketting $x \to u \to y$ , waarbij $u = 2 x^{2}$ en $y = u^{2}$ .

Bij een ketting hebben we meer variabelen. In opgave 14a bijvoorbeeld $x$ , $u$ en $y$ . Als ik $y^{'}$ opschrijf, is niet duidelijk of ik de afgeleide van de ketting $u \to y$ of $x \to y$ bedoel.
In het eerste geval krijg ik $2 u$ en in het tweede geval $8 x + 4$ en dat is niet hetzelfde. Daarom hebben we behoefte aan een nieuwe notatie.

Met $\frac{d y}{d u}$ bedoelen we de afgeleide van $y$ als functie van $u$ ; met $\frac{d y}{d x}$ bedoelen we de afgeleide van $y$ als functie van $x$ .
In opgave 14a is dus $\frac{d y}{d u} = 2 u$ en $\frac{d y}{d x} = 8 x + 4$ .

In opgave 14 hebben we drie kettingen bekeken.

$u = 2 x + 1$ , $y = u^{2}$ , dus $y = 4 x^{2} + 4 x + 1$ ;
$u = ‐ 2 x$ , $y = u^{3}$ , dus $y = ‐ 8 x^{3}$ ;
$u = 2 x^{2}$ , $y = u^{2}$ , dus $y = 4 x^{4}$ .

Voor de eerste ketting geldt: $\frac{d u}{d x} = 2$ , $\frac{d y}{d u} = 2 u$ en $\frac{d y}{d x} = 8 x + 4$ .

Bereken $\frac{d u}{d x}$ , $\frac{d y}{d u}$ en $\frac{d y}{d x}$ ook voor de andere twee kettingen.

De kettingregel bewijzen

Gegeven is de ketting $x \to u \to y$ waarbij $u = ‐ \frac{1}{2} x^{2} + 2 \frac{1}{2}$ en $y = \frac{1}{2} u^{2} - 1$ . De grafiek van $u$ als functie van $x$ en van $y$ als functie van $u$ staan in de figuur hieronder. Als $x = 1$ dan $u = 2$ en als $u = 2$ , dan $y = 1$ .

De raaklijn aan de grafiek van de functie $x \to u$ in $A (1,2)$ en de raaklijn aan de grafiek van $u \to y$ in $B (2,1)$ zijn getekend. In de laatste twee plaatjes zie je alleen de raaklijnen.

Geef een formule voor $\frac{d u}{d x}$ (uitgedrukt in $x$ ) en voor $\frac{d y}{d u}$ (uitgedrukt in $u$ ).

Wat is de helling van de raaklijn in $A$ ? En in $B$ ?

Neem $x = 1$ . We veranderen $x$ met $Δ x$ een klein beetje tot $x_{1}$ . Dan verandert $u$ een beetje met $Δ u$ tot $u_{1}$ . Daardoor verandert $y$ met $Δ y$ tot $y_{1}$ .
Neem $Δ x = 0,001$ en vervolgens $Δ x = 0,002$ .

Wat is dan $Δ u$ en $Δ y$ ongeveer?

Hoe vind je $Δ u$ uit $Δ x$ , $Δ y$ uit $Δ u$ en dus $Δ y$ uit $Δ x$ ?

De manier waarop we in opgave 16 te werk zijn gegaan, kun je algemeen toepassen.

Kettingregel
Gegeven is de ketting $x \to u \to y$ , dan $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ .

In opgave 15 was sprake van drie kettingen $x \to u \to y$ .
Voor de eerste ketting geldt: $\frac{d u}{d x} = 2$ , $\frac{d y}{d u} = 2 u$ en $\frac{d y}{d x} = 8 x + 4$ , dus $\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = 2 u \cdot 2 = 8 x + 4$ .
Dus voor de eerste ketting geldt: $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ .

Controleer ook voor de andere twee kettingen dat
$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ .

Voorbeeld:

Gevraagd wordt de afgeleide van de functie $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Deze functie is de ketting: $x \to u \to y$ , met $u (x) = x^{2} + 1$ en $y (u) = \frac{1}{u}$ . Er geldt: $u^{'} (x) = 2 x$ en $y^{'} (u) = ‐ \frac{1}{u^{2}}$ ,
dus $y^{'} (x) = ‐ \frac{1}{u^{2}} \cdot 2 x = ‐ \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

Voorbeeld
Gevraagd wordt de afgeleide van de functie $y = {(x^{3} + 4 x)}^{10}$ .
De functie is de ketting: $x \to u \to y$ , met $u (x) = x^{3} + 4 x$ en $y (u) = u^{10}$ .
$u^{'} (x) = 3 x^{2} + 4$ en $y^{'} (u) = 10 u^{9}$ , dus
$y^{'} (x) = y^{'} (u) \cdot u^{'} (x) = 10 (3 x^{2} + 4) {(x^{3} + 4 x)}^{9}$ .

Differentieer de functies $f$ , $g$ , $h$ en $k$ met

$f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{3}$	$g (x) = \frac{1}{x^{10}}$
$h (x) = \frac{1}{2 x + 1}$	$k (x) = \frac{2}{1 - 2 x}$

Je hoeft niet te vereenvoudigen.

In de vorige opgave heb je gezien:
$g (x) = \frac{1}{x^{10}} = x^{‐ 10}$ geeft $g^{'} (x) = \frac{‐ 10 x^{9}}{{(x^{10})}^{2}}$ .
Ga na dat je dit kunt vereenvoudigen tot $g^{'} (x) = ‐ 10 x^{‐ 11}$ .
Dus de regel dat de afgeleide van de functie $x \to x^{n}$ gelijk is aan $x \to n \cdot x^{n - 1}$ , is ook juist voor $n = ‐ 10$ .
Om dit in te zien moet je de rekenregels voor het rekenen met machten wel kennen. We herhalen ze uit het hoofdstuk Functies in samenhang.

Rekenregels voor machten

Rekenregels voor machten

$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$
$a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$
${(a^{p})}^{q} = a^{p \cdot q}$
${(a \cdot b)}^{p} = a^{p} \cdot b^{p}$
$\frac{a^{p}}{b^{p}} = {(\frac{a}{b})}^{p}$

Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.

Verder:

$x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$ voor gehele getallen $n$
$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}} = {\sqrt[q]{a}}^{p}$ voor $a \geq 0$ , $p$ en $q$ geheel en positief
$g^{‐ p} = \frac{1}{g^{p}}$ voor $g > 0$
${(\frac{a}{b})}^{‐ 1} = \frac{b}{a}$

Voorbeeld:

In het volgende gebruiken we deze rekenregels voor machten.
$\frac{{(a^{\frac{1}{6}})}^{4}}{a \sqrt[3]{a}} = \frac{a^{\frac{1}{6} \cdot 4}}{a \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{4}{6}}}{a^{1 \frac{1}{3}}} = a^{\frac{4}{6} - 1 \frac{1}{3}} = a^{‐ \frac{2}{3}}$

Vereenvoudig als in het voorbeeld.

$\frac{{(a^{3})}^{\frac{1}{6}}}{{(a^{\frac{1}{6}})}^{2}}$

$b^{2} \cdot \frac{b^{\frac{3}{4}}}{{(b^{‐ 2})}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{{(\frac{1}{c^{2}})}^{3}}{{(\frac{1}{c^{3}})}^{4}}$

$\frac{d^{\frac{1}{2}} \cdot d^{\frac{2}{3}} \cdot d^{\frac{3}{4}}}{{({(d^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}}}$

Voorbeeld:

$x \sqrt[3]{x^{4}} = x \cdot {(x^{4})}^{\frac{1}{3}} = x \cdot x^{\frac{4}{3}} = x^{\frac{7}{3}} = x^{2 \frac{1}{3}}$

Schrijf zo ook zonder worteltekens als macht van $x$ :

$x \sqrt{x^{3}}$

$\frac{1}{x} \sqrt[5]{x^{2}}$

$\sqrt[3]{\sqrt{x}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}}}$

Leg uit dat voor elke $x \geq 0$ geldt: $x^{1 \frac{1}{2}} = x \sqrt{x}$ .

Schrijf als $\dots x^{\dots} + \dots x^{\dots}$

$\frac{{(2 x \sqrt{x})}^{2} + x^{2}}{4 \sqrt{x}}$

$\frac{2 \sqrt{x} + x \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Voorbeeld:

$4^{-2} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}$
$8^{‐ \frac{2}{3}} = {(2^{3})}^{‐ \frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot ‐ \frac{2}{3}} = 2^{‐ 2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

Bereken zonder rekenmachine, gebruik de rekenregels.
(Werk van links naar rechts.)

$4^{‐ \frac{1}{2}}$	$4^{‐ 1 \frac{1}{2}}$
${(\frac{1}{9})}^{‐ \frac{1}{2}}$	${(\frac{1}{9})}^{‐ 1 \frac{1}{2}}$
${0,001}^{‐ \frac{2}{3}}$	${0,001}^{‐ 1 \frac{2}{3}}$
${(2 \frac{1}{2})}^{‐ 1}$	${({(\frac{1}{2})}^{4})}^{‐ \frac{1}{2}}$

Schrijf de volgende vormen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

$\frac{{(\frac{1}{3} x^{2})}^{3}}{{(3 x)}^{‐ 1}}$

${(x \sqrt{x} \sqrt[3]{x})}^{6}$

${(2 x)}^{3} \cdot 2 x^{3}$

${(2 x)}^{‐ 2} \cdot 2 x^{3}$

Opmerking:

Je kunt nog meer oefenen met de applet mini-loco - Rekenregels voor machten .

Opmerking:

In andere boeken, bijvoorbeeld bij vervolgstudies, kom je vaak de volgende notatie tegen van de kettingregel:
$\frac{d}{d x} f (g (x)) = f' (g (x)) \cdot g' (x)$
Ga na dat dit overeenkomt met wat je deze paragraaf geleerd hebt.