In stappen berekenen

In deze paragraaf leiden we een regel af waarmee je de afgeleide van een ketting kunt berekenen als je die van de schakels kent.
Bijvoorbeeld: de functie y = 1 x 2 + 1 is de ketting x u y , met y = 1 u en u = x 2 + 1 .
Van de schakels x u en y = 1 u kennen we de afgeleide. De vraag is, hoe vind je hieruit de afgeleide van y = 1 x 2 + 1 ?

1

Een Hyundai i20 rijdt 1 op 20 . Eurobenzine kost 1,70 per liter (prijzen van 2013). Als je weet hoeveel km ( R ) een reis lang is, kun je berekenen hoeveel liter ( B ) benzine die reis kost. Vervolgens kun je de benzinekosten K (in euro) van de reis berekenen. Er zijn twee stappen: R B en B K en daarmee vind je R K .

a

Geef een formule voor B , uitgedrukt in R .

b

Geef een formule voor K , uitgedrukt in B .

c

Geef een formule voor K , uitgedrukt in R .

2

Van een kubus noemen we de ribbe r (in cm), de totale oppervlakte (dus van zes grensvlakken) O (in cm 2 ) en de inhoud V (in cm 3 ).

a

Druk O en V uit in r .

b

Bereken r en vervolgens O exact als V = 5 en daarna in twee decimalen.

Als je V weet, kun je r uitrekenen, en met r kun je dan O uitrekenen: V r O

c

Laat zien dat O = 6 V 2 3 .

Omgekeerd: als je O kent, kun je via r de waarde van V uitrekenen, volgens de ketting: O r V .

d

Bereken r en vervolgens V exact als O = 5 en daarna in twee decimalen.

e

Geef een formule voor V in de vorm: V = a O b , met a en b in twee decimalen.

3

Gegeven is het verband u = 2 x + 1 en y = u 2 . Als je x kent, kun je u berekenen en daaruit y .
Dit geeft de ketting x u y .

a

Bereken y als x = 3 .
Druk y uit in x . Schrijf je antwoord zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

b

Doe hetzelfde voor de ketting x u y , waarbij u = 2 x en y = u 3 .

c

Doe hetzelfde voor de ketting x u y , waarbij u = 2 x 2 en y = u 2 .

Bij een ketting hebben we meer variabelen. In opgave 14a bijvoorbeeld x , u en y . Als ik y opschrijf, is niet duidelijk of ik de afgeleide van de ketting u y of x y bedoel.
In het eerste geval krijg ik 2 u en in het tweede geval 8 x + 4 en dat is niet hetzelfde. Daarom hebben we behoefte aan een nieuwe notatie.

Met d y d u bedoelen we de afgeleide van y als functie van u ; met d y d x bedoelen we de afgeleide van y als functie van x .
In opgave 14a is dus d y d u = 2 u en d y d x = 8 x + 4 .

4

In opgave 14 hebben we drie kettingen bekeken.

  • u = 2 x + 1 , y = u 2 , dus y = 4 x 2 + 4 x + 1 ;

  • u = 2 x , y = u 3 , dus y = 8 x 3 ;

  • u = 2 x 2 , y = u 2 , dus y = 4 x 4 .

Voor de eerste ketting geldt: d u d x = 2 , d y d u = 2 u en d y d x = 8 x + 4 .

Bereken d u d x , d y d u en d y d x ook voor de andere twee kettingen.

De kettingregel bewijzen
5

Gegeven is de ketting x u y waarbij u = 1 2 x 2 + 2 1 2 en y = 1 2 u 2 1 . De grafiek van u als functie van x en van y als functie van u staan in de figuur hieronder. Als x = 1 dan u = 2 en als u = 2 , dan y = 1 .

De raaklijn aan de grafiek van de functie x u in A ( 1,2 ) en de raaklijn aan de grafiek van u y in B ( 2,1 ) zijn getekend. In de laatste twee plaatjes zie je alleen de raaklijnen.

a

Geef een formule voor d u d x (uitgedrukt in x ) en voor d y d u (uitgedrukt in u ).

b

Wat is de helling van de raaklijn in A ? En in B ?

Neem x = 1 . We veranderen x met Δ x een klein beetje tot x 1 . Dan verandert u een beetje met Δ u tot u 1 . Daardoor verandert y met Δ y tot y 1 .
Neem Δ x = 0,001 en vervolgens Δ x = 0,002 .

c

Wat is dan Δ u en Δ y ongeveer?

d

Hoe vind je Δ u uit Δ x , Δ y uit Δ u en dus Δ y uit Δ x ?

De manier waarop we in opgave 16 te werk zijn gegaan, kun je algemeen toepassen.

Kettingregel
Gegeven is de ketting x u y , dan d y d x = d y d u d u d x .

6

In opgave 15 was sprake van drie kettingen x u y .
Voor de eerste ketting geldt: d u d x = 2 , d y d u = 2 u en d y d x = 8 x + 4 , dus d y d u d u d x = 2 u 2 = 8 x + 4 .
Dus voor de eerste ketting geldt: d y d x = d y d u d u d x .

Controleer ook voor de andere twee kettingen dat
d y d x = d y d u d u d x .

Voorbeeld:

Gevraagd wordt de afgeleide van de functie y = 1 x 2 + 1 .

Deze functie is de ketting: x u y , met u ( x ) = x 2 + 1 en y ( u ) = 1 u . Er geldt: u ( x ) = 2 x en y ( u ) = 1 u 2 ,
dus y ( x ) = 1 u 2 2 x = 2 x ( x 2 + 1 ) 2 .

Voorbeeld
Gevraagd wordt de afgeleide van de functie y = ( x 3 + 4 x ) 10 .
De functie is de ketting: x u y , met u ( x ) = x 3 + 4 x en y ( u ) = u 10 .
u ( x ) = 3 x 2 + 4 en y ( u ) = 10 u 9 , dus
y ( x ) = y ( u ) u ( x ) = 10 ( 3 x 2 + 4 ) ( x 3 + 4 x ) 9 .

7

Differentieer de functies f , g , h en k met

f ( x ) = ( x + 1 x ) 3

g ( x ) = 1 x 10

h ( x ) = 1 2 x + 1

k ( x ) = 2 1 2 x

Je hoeft niet te vereenvoudigen.

In de vorige opgave heb je gezien:
g ( x ) = 1 x 10 = x 10 geeft g ( x ) = 10 x 9 ( x 10 ) 2 .
Ga na dat je dit kunt vereenvoudigen tot g ( x ) = 10 x 11 .
Dus de regel dat de afgeleide van de functie x x n gelijk is aan x n x n 1 , is ook juist voor n = 10 .
Om dit in te zien moet je de rekenregels voor het rekenen met machten wel kennen. We herhalen ze uit het hoofdstuk Functies in samenhang.

Rekenregels voor machten

Rekenregels voor machten

  1. a p a q = a p + q

  2. a p : a q = a p q

  3. ( a p ) q = a p q

  4. ( a b ) p = a p b p

  5. a p b p = ( a b ) p

Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.


Verder:

  • x 1 n = x n voor gehele getallen n

  • a p q = a p q = a q p voor a 0 , p en q geheel en positief

  • g p = 1 g p voor g > 0

  • ( a b ) 1 = b a

Voorbeeld:

In het volgende gebruiken we deze rekenregels voor machten.
( a 1 6 ) 4 a a 3 = a 1 6 4 a a 1 3 = a 4 6 a 1 1 3 = a 4 6 1 1 3 = a 2 3

8

Vereenvoudig als in het voorbeeld.

( a 3 ) 1 6 ( a 1 6 ) 2

b 2 b 3 4 ( b 2 ) 1 3

( 1 c 2 ) 3 ( 1 c 3 ) 4

d 1 2 d 2 3 d 3 4 ( ( d 1 2 ) 2 3 ) 3 4

Voorbeeld:

x x 4 3 = x ( x 4 ) 1 3 = x x 4 3 = x 7 3 = x 2 1 3

9

Schrijf zo ook zonder worteltekens als macht van x :

x x 3

1 x x 2 5

x 3

1 x 2 3

10
a

Leg uit dat voor elke x 0 geldt: x 1 1 2 = x x .

b

Schrijf als x + x

( 2 x x ) 2 + x 2 4 x

2 x + x 2 x x 2

Voorbeeld:

Voorbeeld
4 -2 = 1 4 2 = 1 16
8 2 3 = ( 2 3 ) 2 3 = 2 3 2 3 = 2 2 = 1 2 2 = 1 4

11

Bereken zonder rekenmachine, gebruik de rekenregels.
(Werk van links naar rechts.)

4 1 2

4 1 1 2

( 1 9 ) 1 2

( 1 9 ) 1 1 2

0,001 2 3

0,001 2 3

( 2 1 2 ) 1

( ( 1 2 ) 4 ) 1 2

12

Schrijf de volgende vormen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

a

( 1 3 x 2 ) 3 ( 3 x ) 1

( x x x 3 ) 6

b

( 2 x ) 3 2 x 3

( 2 x ) 2 2 x 3

Opmerking:

Je kunt nog meer oefenen met de applet mini-loco - Rekenregels voor machten .

Opmerking:

In andere boeken, bijvoorbeeld bij vervolgstudies, kom je vaak de volgende notatie tegen van de kettingregel:
d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) g ' ( x )
Ga na dat dit overeenkomt met wat je deze paragraaf geleerd hebt.