1

a

$y = x$ , dus $\frac{d y}{d x}$ $= 1$ .

b

Uit $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ volgt: $1 = 5 u^{4} \cdot \frac{d u}{d x}$ , dus $\frac{d u}{d x} = \frac{1}{5 u^{4}} = \frac{1}{5} u^{‐ 4} = \frac{1}{5} x^{‐ \frac{4}{5}}$

c

Voor $a = \frac{1}{5}$ .

2

a

$y = x^{\frac{3}{5}}$

b

Het eerste volgt uit $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ en $\frac{d y}{d u} = 3 u^{2}$ .
En $3 u^{2} \cdot \frac{1}{5} x^{‐ \frac{4}{5}} = 3 \cdot x^{\frac{2}{5}} \cdot \frac{1}{5} \cdot x^{‐ \frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \cdot x^{‐ \frac{2}{5}}$ .

c

$a = \frac{3}{5}$

3

a

$y = x^{‐ \frac{3}{5}}$

b

Uit $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ volgt: $\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5} x^{‐ \frac{2}{5}} \cdot ‐ u^{‐ 2} = ‐ \frac{3}{5} \cdot x^{‐ \frac{2}{5}} \cdot x^{‐ \frac{6}{5}} = ‐ \frac{3}{5} \cdot x^{‐ 1 \frac{3}{5}}$ .

4

a

Neem $a = \frac{1}{2}$ , dan $x^{a} = \sqrt{x}$ en $y^{'} (x) = a \cdot x^{a - 1} = \frac{1}{2} x^{‐ \frac{1}{2}}$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

b

Dat de constante functie $y = 1$ afgeleide $0$ heeft.

5

$y = 4 x^{1 \frac{1}{3}}$ , dus $y^{'} = 5 \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}} = 5 \frac{1}{3} \sqrt[3]{x}$	$y = \frac{1}{4} x^{‐ 1 \frac{1}{3}}$ , dus $y^{'} = ‐ \frac{1}{3} x^{‐ 2 \frac{1}{3}} = ‐ \frac{1}{3 x^{2} \cdot \sqrt[3]{x}}$
$y = 3 x^{‐ 1} + 4 x^{‐ 2}$ dus	$y = 2 x^{‐ 1 \frac{1}{2}} + x^{‐ 2}$ , dus
$y^{'} = ‐ 3 x^{‐ 2} - 8 x^{‐ 3} = \frac{‐ 3}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}$	$y^{'} = ‐ 3 x^{‐ 2 \frac{1}{2}} - 2 x^{‐ 3} = \frac{‐ 3}{x^{2} \sqrt{x}} - \frac{2}{x^{3}}$ .
$y = x^{1 \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}$ , dus	$y = 9 x^{2 \frac{2}{3}}$ , dus
$y^{'} = 1 \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{‐ \frac{1}{2}} = 1 \frac{1}{2} \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$y^{'} = 24 x^{1 \frac{2}{3}} = 24 x \sqrt[3]{x^{2}}$

6

$f$ is de ketting $x \to u \to y$ met $u = 2 x + 1$ en $y = \sqrt[3]{u}$ , dus $f^{'} (x) = \frac{1}{3} u^{‐ \frac{2}{3}} \cdot 2 =$ $\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}}$ .
$g = p + q$ , met $p (x) = \sqrt{2 x}$ en $q (x) = \sqrt{2 x + 2}$ .
$p$ is de ketting $x \to u \to y$ met $y (u) = \sqrt{u}$ en $u (x) = 2 x$ , dus $p^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2 x}}$ ; verder is $q^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x + 2}}$ , dus $g^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x}} + \frac{1}{\sqrt{2 x + 2}}$ .
$h$ is de ketting $x \to u \to y$ met $u (x) = x^{2} + 2 x$ en $y = u^{‐ \frac{1}{2}}$ , dus
$h^{'} (x) = ‐ \frac{1}{2} u^{‐ 1 \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 2)$ $= ‐ \frac{x + 1}{\sqrt[]{{(x^{2} + 2 x)}^{3}}}$ .
$k^{'} (x) = 3 \sqrt{x} - \frac{x + 1}{\sqrt[]{{(x^{2} + 2 x)}^{3}}}$

7

a

De oppervlakte van het stuk dat aan de voorkant onder water staat is $a^{2}$ dm. De lengte van de bak is $10$ dm. Er zit dan $10 a^{2}$ dm³ water in.

b

Na $t$ minuten, zit er $2 t + 40$ liter in de bak, dus $10 h^{2} = 2 t + 40$ , dus $h = \sqrt{0,2 t + 4}$ .

c

$h$ is de ketting $t \to u \to h$ , met $u = 0,2 t + 4$ en $h = \sqrt{u}$ ,
dus $h^{'} (t) = 0,2 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{u}} = \frac{1}{10 \sqrt{0,2 t + 4}} (= \frac{0,1}{\sqrt{0,2 t + 4}})$ .

d

Dan $\sqrt{0,2 t + 4} = 2,5$ ,
dus $h^{'} (t) = \frac{1}{10 \cdot 2,5} = 0,04$ , dus met $4$ mm/min.

8

a

-

b

$f (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 3) (x + 1) = 0$ , dus $x = 3$ of $x = ‐ 1$ .

c

$f^{'} (x) = \frac{3}{64} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} \cdot (2 x - 2)$

d

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0 of 2 x - 2 = 0$ , dus in de punten met eerste coördinaat $x = ‐ 1$ , $x = 1$ of $x = 3$

e

$f (1 + a) = \frac{1}{64} {(a^{2} - 4)}^{3}$ , dus $f (1 - a) = \frac{1}{64} {({(‐ a)}^{2} - 4)}^{3}$ en dat is hetzelfde.

f

De lijn $x = 1$ is symmetrieas van de grafiek.

9

a

$f_{28} (x) = 0 \Leftrightarrow (x^{2} - 11 x + 28) \sqrt{x} = 0$ $\Leftrightarrow (x - 7) (x - 4) \sqrt{x} = 0$ , dus $x = 0$ , $x = 4$ of $x = 7$ .

b

$(x^{2} - 11 x + 28) \sqrt{x} = x^{2 \frac{1}{2}} - 11 x^{1 \frac{1}{2}} + 28 x^{\frac{1}{2}}$ , dus
$f_{28}' (x) = 2 \frac{1}{2} x^{1 \frac{1}{2}} - 11 \cdot 1 \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} + 28 \cdot \frac{1}{2} x^{‐ \frac{1}{2}}$ .
$2 \frac{1}{2} x^{1 \frac{1}{2}} - 11 \cdot 1 \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} + 28 \cdot \frac{1}{2} x^{‐ \frac{1}{2}} = 0$ als (vermenigvuldig met $2 x^{\frac{1}{2}}$ )
$5 x^{2} - 33 x + 28 = 0 \Leftrightarrow x = 1 of x = 5 \frac{3}{5}$ .
$A$ is de eerste top, dus $x = 1$ . Dus $A$ is het punt $(1,18)$ .

c

$f_{c} (x) = 0 \Leftrightarrow$ $(x^{2} - 11 x + c) \sqrt{x} = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} = 0 of x^{2} - 11 x + c = 0$ , dus de vergelijking $x^{2} - 11 x + c = 0$ heeft één oplossing.
Dat is als $11^{2} - 4 c = 0$ , dus $c = 30 \frac{1}{4}$ .
Of met differentiëren:
Noem de eerste coördinaat van het raakpunt $a$ . Dan is $f_{c} (a) = 0$ en $f_{c}' (a) = 0$ , dus $(a^{2} - 11 a + c) \sqrt{a} = 0$ en $2 \frac{1}{2} a^{1 \frac{1}{2}} - 11 \cdot 1 \frac{1}{2} a^{\frac{1}{2}} + c \cdot \frac{1}{2} a^{‐ \frac{1}{2}} = 0$ .
Dus: $a^{2} - 11 a + c = 0$ en $5 a^{2} - 33 a + c = 0$ .
Uit de laatste twee vergelijkingen volgt (trek ze van elkaar af): $4 a^{2} - 22 a = 0$ , dus $a = 5 \frac{1}{2}$ en $c = ‐ a^{2} + 11 a = 30 \frac{1}{4}$ .