1

Hiernaast staat de grafiek van de functie $f$ met $f (x) = \frac{4}{4 x - 2}$ .

a

Geef een vergelijking van de asymptoten van de grafiek van $f$ .

b

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ .

Op de assen liggen de punten $A (1 \frac{1}{2},0)$ en $B (0,6)$ .

c

Toon aan dat lijnstuk $A B$ de grafiek van $f$ raakt.

d

Toon aan dat je de grafiek van $f$ krijgt door de standaardhyperbool, deze heeft vergelijking $y = \frac{1}{x}$ , $\frac{1}{2}$ eenheid naar rechts te schuiven.

Lijn $A B$ heeft vergelijking $y = ‐ 4 x + 6$ .

e

Voor welke $x$ geldt: $f (x) > ‐ 4 x + 6$ ?

2

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{3 x - 3}{‐ x + 2}$ . Hiernaast is de grafiek getekend. Die heeft twee asymptoten. Die zijn in de figuur gestippeld.

a

Geef een vergelijking van elk van de asymptoten.

Er zijn getallen $p$ en $q$ , zó, dat $f (x) = p + \frac{q}{‐ x + 2}$ .

b

Bepaal die getallen.

(hint)

Onder één noemer brengen:

p + \frac{q}{‐ x + 2} = \frac{‐ p x + 2 p + q}{‐ x + 2}

c

Bepaal $f^{'} (x)$ , gebruik de schrijfwijze voor $f (x)$ die je in het vorige onderdeel gevonden hebt.

d

Bereken langs algebraïsche weg de hoek waaronder de grafiek van $f$ de $x$ -as snijdt.

De grafiek van $f$ wordt $2$ eenheden naar links geschoven. Je krijgt de grafiek van een functie. Die noemen we $g$ .

e

Geef een formule van de functie $g$ .

3

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x + \frac{1}{x}$ . Hiernaast is de grafiek getekend.

a

Bereken de coördinaten van de punten op de grafiek van $f$ met een horizontale raaklijn exact.

Naarmate je verder naar rechts of naar links gaat, nadert de grafiek van $f$ steeds meer de gestippelde lijn in de figuur.

b

Geef een vergelijking van die lijn en verklaar waarom de grafiek van $f$ die lijn nadert.

c

Bereken exact de coördinaten van de punten op de grafiek van $f$ waar de raaklijn een hoek van $45 °$ met de $x$ -as maakt.

Een horizontale lijn snijdt de grafiek van $f$ in twee punten $A$ en $B$ , waarbij $A$ links van $B$ ligt. Er geldt: $A B = 2$ . De eerste coördinaat van $A$ noemen we $a$ . Dan geldt: $2 + \frac{1}{a + 2} = \frac{1}{a}$ .

d

Leg dat uit en bereken $a$ exact.

4

Als iemand in koud water terecht komt, daalt zijn lichaamstemperatuur. Als de lichaamstemperatuur is gedaald tot $30 °$ C ontstaat een levensbedreigende situatie. De tijd die verstrijkt tussen het te water raken en het bereiken van een lichaamstemperatuur van $30 °$ C wordt de overlevingstijd genoemd. Bij de eerste vier vragen wordt uitgegaan van een persoon die te water is geraakt in gewone kleding en met een reddingsvest. Voor deze persoon geldt de volgende formule: $R = 15 + \frac{7,2}{0,0785 - 0,0034 T}$ , met $R > 0$ en $T \geq 5,0$ . Hierin is $R$ de overlevingstijd in minuten en $T$ de watertemperatuur in $°$ C.

Bij een watertemperatuur van $20 °$ C is de overlevingstijd groter dan bij een watertemperatuur van $10 °$ C.

a

Bereken hoeveel keer zo groot.

b

Bereken op algebraïsche wijze de watertemperatuur waarbij de overlevingstijd $5,0$ uur is. Rond daarna je antwoord af op een geheel aantal graden.

In de figuur is de grafiek van $R$ als functie van $T$ geschetst. De grafiek heeft een verticale asymptoot.

c

Bereken de waarde van $T$ die bij de verticale asymptoot hoort en leg uit wat de betekenis van de verticale asymptoot is voor de situatie van de te water geraakte persoon.

In de figuur is ook te zien dat de grafiek van $R$ stijgend is. Dit kan worden aangetoond door de functie $R$ te differentiëren.

d

Beredeneer met behulp van differentiëren dat de grafiek van $R$ stijgend is.

De overlevingstijd van personen die te water raken, is niet alleen afhankelijk van de watertemperatuur. De kleding die een persoon draagt, is ook van invloed. In de tabel hieronder staan watertemperaturen met bijbehorende overlevingstijden voor personen in zwemkleding.

watertemperatuur $T$ in $°$ C	$5,0$	$10$	$15$	$20$
overlevingstijd $Z$ in uren	$0,5$	$1,0$	$2,0$	$4,0$

Veronderstel dat er een exponentieel verband bestaat tussen

T

en

Z

.

e

Stel een hierbij passende formule op voor het verband tussen $T$ en $Z$ .

5

Van een vierzijdige piramide $T . A B C D$ is gegeven: $A B C D$ is een vierkant en $T A = T B = T C = T D = 3$ .
Neem in de vragen a en b voor $A B = 2$ .

a

Bereken de hoogte van de piramide exact.

b

Bereken de inhoud van piramide exact.

(hint)

De inhoud van een piramide is

\frac{1}{3} \cdot opp grondvlak \cdot hoogte

.

Neem in de vragen c en d voor $A B = x$ .

c

Toon aan dat de inhoud van de piramide is: $\sqrt{x^{4} - \frac{1}{18} x^{6}}$ .

d

Bereken exact voor welke $x$ de inhoud van de piramide maximaal is.

6

James Bond is op $3$ km afstand van de kust gedropt. Met een rubberboot wil hij de kust bereiken om bij strandpaal 38 een geheime boodschap achter te laten.
Natuurlijk is het zaak dat hij zo snel mogelijk dit klusje klaart. Met de boot kan hij zich roeiend verplaatsen met een snelheid van $4$ km/uur. Het water is zo rustig dat de vaarrichting niet van invloed is op zijn snelheid. Op het strand kan hij een lange poos een snelheid van $8$ km/uur volhouden.

Hierboven staat een situatieschets. Als James Bond recht naar de kust zou roeien, zou hij die op plaats $A$ bereiken. Strandpaal 38 is $4$ km verwijderd van plaats $A$ .

Veronderstel dat James inderdaad naar $A$ roeit.

a

Hoeveel tijd heeft hij dan in totaal nodig om paal 38 te bereiken?

Veronderstel dat hij rechtstreeks naar strandpaal 38 roeit (dat wil zeggen volgens een rechte lijn).

b

Hoeveel tijd heeft hij dan in totaal nodig om paal 38 te bereiken?

Door ergens tussen $A$ en paal 38 aan land te gaan, kan James waarschijnlijk o zo belangrijke tijd winnen.

c

Stel dat hij precies halverwege $A$ en paal 38 aan land gaat.
Hoeveel minuten tijdwinst boekt hij dan ten opzichte van de routes in a en b?

Met differentiaalrekening kun je de snelste route berekenen. Zeg dat James Bond op een plaats $B$ aan land gaat, $x$ km van $A$ af. De tijd die hij dan in totaal nodig heeft om standpaal 38 te bereiken, noemen we $t$ (minuten).

d

Toon aan: $t = 15 \sqrt{x^{2} + 9} + 30 - 7,5 x$ .

e

Bepaal met je GR voor welke waarde van $x$ de benodigde tijd $t$ minimaal is. Licht je werkwijze toe.

f

Bereken $\frac{d t}{d x}$ .

g

Bereken hiermee exact voor welke waarde van $x$ de benodigde tijd $t$ minimaal is.

7

Ad trekt op in zijn auto. Na $t$ seconden heeft hij $s = 2 t \sqrt{t}$ meter afgelegd. Op een snelheidsmeter langs de weg ziet hij dat hij op dat moment $75,6$ km/u rijdt. De toegestane snelheid ter plekke is $70$ km; hij besluit zijn snelheid vanaf dat moment constant te houden.

a

Na hoeveel seconden gaat Ad met constante snelheid van $75,6$ km/u rijden?

(hint)

De snelheid op tijdstip

t

is

v (t) = s^{'} (t)

.

b

Hoeveel meter heeft hij na $3$ minuten exact afgelegd?

(hint)

Als

t > 49

is de grafiek van

s

de raaklijn aan de grafiek van

s

in het punt met

t = 49

.

8

De functie $f$ wordt gegeven door $f (x) = {(x - \sqrt{x})}^{2}$ . Hiernaast zijn de grafiek van $f$ en de lijn $y = x$ getekend.

De grafiek van $f$ en de lijn $y = x$ hebben behalve de oorsprong het punt $A$ gemeenschappelijk.

a

Bereken exact de $x$ -coördinaat van punt $A$ .

Er geldt: $f^{'} (x) = 2 x - 3 \sqrt{x} + 1$ .

b

Toon dit op algebraïsche wijze aan.

In een punt $B$ van de grafiek van $f$ met positieve $x$ -coördinaat is de raaklijn aan de grafiek van $f$ evenwijdig aan de lijn $y = x$ .

c

Stel een vergelijking van deze raaklijn op.
Rond indien nodig in je antwoord af op 4 decimalen.

De formule die hoort bij de grafiek van $f$ is $y = {(x - \sqrt{x})}^{2}$ .
Deze formule kun je ook schrijven als $y = {(x - p \sqrt{x})}^{2}$ met $p = 1$ .
Voor elke waarde van $p$ kan bij de formule $y = {(x - p \sqrt{x})}^{2}$ de bijbehorende grafiek getekend worden. In de figuur hieronder zijn voor een aantal waarden van $p$ met $p > 0$ de bijbehorende grafieken getekend.

Er zijn twee waarden van $p$ waarvoor de grafiek van $y = {(x - p \sqrt{x})}^{2}$ door het punt $(36,36)$ gaat.

d

Bereken exact deze waarden van $p$ .

9

In opgave 8 hebben we de afstand van punten $X$ op de grafiek van de functie $f$ met $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}}$ tot de oorsprong $x$ bekeken. Er geldt: $O X = \sqrt{x^{2} + \frac{16}{x}}$ . We hebben in opgave 8 berekend dat $O X$ minimaal is als $x = 2$ .

a

Geef een formule voor $O X^{'} (x)$ .

b

Toon aan: $O X$ is minimaal als $O X$ de grafiek van $f$ loodrecht snijdt.

10

Nog een gebroken functie en een wortelfunctie
Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}}$ . Hieronder is de grafiek getekend. Deze heeft twee asymptoten.

a

Welke?

b

Bereken het maximum van $f (x)$ exact.

c

Bereken de coördinaten van het buigpunt van de grafiek van $f$ exact.

(hint)

In een buigpunt is de helling maximaal of minimaal, ofwel $f'' (x) = 0$ .

11

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x \sqrt{x} + 4$ .
Een lijn door de oorsprong raakt de grafiek van de functie $f$ .
De eerste coördinaat van het raakpunt noemen we $a$ .

a

Leg uit dat $\frac{f (a)}{a} = f^{'} (a)$ .

b

Bereken $a$ exact.

12

Differentieer de functies $f$ , $g$ , $h$ en $k$ met

$f (x) = \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 - x}$	$g (x) = (2 - x) \sqrt{2 - x}$
$h (x) = {(2 - x)}^{9}$	$k (x) = {(\sqrt[3]{2 - x})}^{5}$