Horizontale asymptoot: $y=0$; verticale asymptoot: $x=\frac{1}{2}$.

$f^{\prime }(x)=\mathrm{‐}\frac{4\cdot 4}{{\left(4x-2\right)}^2}$

Lijnstuk $AB$ heeft helling $\mathrm{‐}4$. $f^{\prime }(x)=\mathrm{‐}4\iff {\left(4x-2\right)}^2=4$, dus $x=1$ of $x=0$.
$f(1)=2$, dus het punt $C(\mathrm{1,2})$ ligt op de grafiek van $f$ en op lijnstuk $AB$ en de raaklijn in $C$ heeft dezelfde helling als lijn $AB$. Dus lijn $AB$ raakt de grafiek van $f$ in $C$.

Als je de standaardhyperbool $\frac{1}{2}$ eenheid naar rechts schuift krijg je de grafiek van het verband: $y=\frac{1}{x-\frac{1}{2}}=\frac{4\cdot 1}{4\cdot \left(x-\frac{1}{2}\right)}=f(x)$.

Uit de figuur bij deze opgave volgt dan: $x>\frac{1}{2}$ en $x\ne 1$.

Horizontale asymptoot: $y=\mathrm{‐}3$; verticale asymptoot: $x=2$.

$p+\frac{q}{\mathrm{‐}x+2}=\frac{\mathrm{‐}px+2p+q}{\mathrm{‐}x+2}$. Dus $p=\mathrm{‐}3$ en $2p+q=\mathrm{‐}3$, dus $q=3$.

$f(x)=\mathrm{‐}3+\frac{3}{\mathrm{‐}x+2}$, dus $f$ is de ketting $x\to u\to y$, met $u=\mathrm{‐}x+2$ en $y=\mathrm{‐}3+\frac{3}{u}$.
Dus $f^{\prime }(x)=\mathrm{‐}1\cdot \mathrm{‐}3\cdot \frac{1}{u^2}=\frac{3}{{(\mathrm{‐}x+2)}^2}$.

De eerste coördinaat van het snijpunt van de grafiek van met de $x$-as is $1$ en $f^{\prime }(1)=3$. Als $\text{α}$ de gevraagde hoek is, dan $\tan \left(\text{α}\right)=3$.

$g(x)=\mathrm{‐}3-\frac{3}{x}$

$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=\pm 1$, dus de raaklijn is horizontaal in $(\mathrm{1,2})$ en in $(\mathrm{‐}\mathrm{1,}\mathrm{‐}2)$.

Die lijn heeft vergelijking $y=x$; dat is omdat $f(x)-x=\frac{1}{x}$ en $\frac{1}{x}$ naar $0$ nadert als $x$ zeer positief of zeer negatief is.

Dan moet de helling van de raaklijn $\tan (45°)=1$ of $\mathrm{‐}1$ zijn.
De helling kan niet $1$ zijn, dus $f^{\prime }(x)=\mathrm{‐}1\iff x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{2}$. Dus in de punten $\left(\pm \frac{1}{2}\sqrt{2},\pm \frac{3}{2}\sqrt{2}\right)$.

De eerste coördinaat van $B$ is $a+2$ en de tweede coördinaat van $A$ is gelijk aan de tweede coördinaat van $B$, dus $f(a)=f(a+2)$, dus $a+2+\frac{1}{a+2}=a+\frac{1}{a}$.
$2+\frac{1}{a+2}=\frac{1}{a}\iff 2a(a+2)+a=a+2$ (beide kanten van de vergelijking met $a(a+2)$ vermenigvuldigd.
Dus $a=\mathrm{‐}1\pm \sqrt{2}$.

Voor $T=10$ geldt: $R\approx 177$; voor $T=20$ geldt: $R\approx 701$. Dus de overlevingstijd is $\frac{701}{177}\approx 4$ keer zo groot

$\mathrm{5,0}$ uur is $300$ minuten, dus $300=15+\frac{\mathrm{7,2}}{\mathrm{0,0785}-\mathrm{0,0034}T}$. Hieruit volgt:
$\mathrm{0,0785}-\mathrm{0,0034}T=\frac{\mathrm{7,2}}{300-15}$ $\iff T=\frac{\frac{\mathrm{7,2}}{285}-\mathrm{0,0785}}{\mathrm{‐}\mathrm{0,0034}}$, dus de gevraagde watertemperatuur is $16°$C.

Er is een verticale asymptoot bij de $T$-waarde waarvoor geldt:
$\mathrm{0,0785}-\mathrm{0,0034}T=0\iff T\approx 23$.
Als de watertemperatuur (van onderaf) nadert tot $23°$C wordt de overlevingstijd heel groot, dus voor een te water geraakte persoon wordt de situatie dan nooit levensbedreigend.

$R$ is de ketting $T\to u\to R$ met $u=\mathrm{0,0785}-\mathrm{0,0034}T$ en $R=15+\mathrm{7,2}\cdot u^{\mathrm{‐}1}$. Dus $R^{\prime }(T)=\mathrm{‐}\mathrm{7,2}\cdot u^{\mathrm{‐}2}\cdot \mathrm{‐}\mathrm{0,0034}$, dus $R^{\prime }(T)=\frac{\mathrm{0,02448}}{{\left(\mathrm{0,0785}-\mathrm{0,0034}T\right)}^2}$, dus $R^{\prime }(T)>0$ voor alle $T$, dus is $R$ stijgende functie van $T$.

Als $T$ met $5$ toeneemt, wordt $Z$ twee keer zo groot, dus de groeifactor per $°$C is $2^{\frac{1}{5}}$. Dus $Z=\mathrm{0,25}\cdot 2^{\frac{1}{5}T}$.

Noem het midden van het grondvlak $D$, dan $DA=\sqrt{2}$ en
$D{T}^2=A{T}^2-D{A}^2=7$, dus de hoogte is $DT=\sqrt{7}$.

$\frac{1}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{7}=1\frac{1}{3}\sqrt{7}$

De oppervlakte van $ABCD=x^2$.
$DT=\sqrt{9-\frac{1}{2}{x}^2}$, dus de inhoud van de piramide is $\frac{1}{3}{x}^2\sqrt{9-\frac{1}{2}{x}^2}=$
$\sqrt{\frac{1}{9}{x}^4}\cdot \sqrt{9-\frac{1}{2}{x}^2}$ $=\sqrt{x^4-\frac{1}{18}{x}^6}$.

$y=\sqrt{x^4-\frac{1}{18}{x}^6}$ is de ketting $x\to u\to y$ met $y=\sqrt{u}$ en $u=x^4-\frac{1}{18}{x}^6$, dus $y^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^4-\frac{1}{18}{x}^6}}\cdot \left(4x^3-\frac{1}{3}{x}^5\right)$.
$y^{\prime }(x)=0\iff 4x^3-\frac{1}{3}{x}^5=0$, dus $x=0$ of $x^2=12$, dus de inhoud is maximaal als $x=2\sqrt{3}$.

$3:4+4:8=\mathrm{1,25}$, dus $1$ uur en $1$ kwartier.

$\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{4}=\mathrm{1,25}$, dus ook $1$ uur en $1$ kwartier.

$\frac{\sqrt{13}}{4}+\frac{2}{8}\approx \mathrm{1,15}$, dus ongeveer $\mathrm{0,1}\cdot 60=6$ minuten tijdwinst.

$60\left(\frac{\sqrt{x^2+9}}{4}+\frac{4-x}{8}\right)=15\sqrt{x^2+9}+30-\mathrm{7,5}x$

-

$\frac{\text{d}t}{\text{d}x}$$=\frac{15x}{\sqrt{x^2+9}}-\mathrm{7,5}$

$\frac{15x}{\sqrt{x^2+9}}-\mathrm{7,5}=0\iff \sqrt{x^2+9}=2x\Rightarrow x^2+9=4x^2$, dus $x=\sqrt{3}$.

$\mathrm{75,6}$ km/u is $21$ m/s. Dus $v(t)=s^{\prime }(t)=3\sqrt{t}=21$, dus na $49$ seconden.

Als $t>49$ is de grafiek van $s$ de raaklijn aan de grafiek van $s$ in het punt met $t=49$. Deze lijn heeft helling $21$ en gaat door $(\mathrm{49,686})$. De raaklijn heeft dus vergelijking $s=21t-343$. Na $180$ seconden is dus $s=21\cdot 180-343=3437$ meter afgelegd.

${\left(x-\sqrt{x}\right)}^2=x$ $\iff x-\sqrt{x}=\sqrt{x}$ of $x-\sqrt{x}=\mathrm{‐}\sqrt{x}$, dus $x=2\sqrt{x}$ of $\sqrt{x}=0$. Dus $x=4$.

$f(x)={\left(x-\sqrt{x}\right)}^2=x^2-2x\sqrt{x}+x=x^2-2x^{1\frac{1}{2}}+x$, dus
$f^{\prime }(x)=2x-2\cdot 1\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+1=2x-3\sqrt{x}+1$.

De eerste coördinaat van $B$ noemen we $x$, dan $f^{\prime }(x)=1\iff 2x-3\sqrt{x}=0$, dus (deel beide kanten door $\sqrt{x}$):
$2\sqrt{x}-3=0\iff x=2\frac{1}{4}$, dus $B=\left(2\frac{1}{4},\frac{9}{16}\right)$.
Een vergelijking van de gevraagde raaklijn is $y=x-\frac{27}{16}$.

Dan moet $36={\left(36-p\sqrt{36}\right)}^2\iff 36={(36-6p)}^2$, dus $36-6p=\pm 6$, dus $p=5$ of $p=7$.

Dat is de ketting $x\to u\to OX$ met $u=x^2+\frac{16}{x}$ en $OX=\sqrt{u}$.
Dus $O{X}^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot \left(2x-\frac{16}{x^2}\right)=\frac{x-\frac{8}{x^2}}{\sqrt{x^2+\frac{4}{x}}}$

$f^{\prime }(x)=\mathrm{‐}\frac{2}{x\sqrt{x}}$. De helling van de grafiek van $f$ in het punt met eerste coördinaat $2$ is dus $f^{\prime }(2)=\mathrm{‐}\frac{2}{2\sqrt{2}}$.
Als $x=2$, dan heeft $OX$ helling $\frac{f(2)}{2}=\frac{4}{2\sqrt{2}}$. Het product van deze hellingen is $\mathrm{‐}1$, dus klopt.

De $x$-as en de $y$-as.

$f^{\prime }(x)=\mathrm{‐}\frac{6}{x^2}+\frac{12}{x^3}$, dus $f^{\prime }(x)=0\iff x=2$.
Het maximum is $f(2)=1\frac{1}{2}$.

$f^{″}(x)=\frac{12}{x^3}-\frac{36}{x^4}$, dus $f^{″}(x)=0\iff x=3$, dus het buigpunt is: $(\mathrm{3,1}\frac{1}{3})$.

De lijn gaat door $\left(\mathrm{0,0}\right)$ en $\left(a,f\left(a\right)\right)$, dus zijn helling is $\frac{f(a)}{a}$;
de lijn raakt de grafiek van $f$ in het punt met eerste coördinaat $a$, dus de helling is $f^{\prime }(a)$.

$\frac{a\sqrt{a}+4}{a}=1\frac{1}{2}\sqrt{a}\iff \frac{1}{2}a\sqrt{a}=4\iff a=4$