De productregel afleiden

Met twee functies $f$ en $g$ kun je nieuwe functies maken.
Neem aan $f (x) = x^{3}$ en $g (x) = \sqrt{x + 3}$ .

door $f$ en $g$ op te tellen, je krijgt de functie $s$ met
$s (x) = x^{3} + \sqrt{x + 3}$ .
door $f$ en $g$ te schakelen, je krijgt de functie $k$ met
$k (x) = \sqrt{x^{3} + 3}$
door $f$ en $g$ te vermenigvuldigen, je krijgt de functie met
$p (x) = x^{3} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

Welke regel gebruik je om de functie $s$ te differentiëren? En welke regel gebruik je om de functie $k$ differentiëren?

De functie $p$ is het product van $f$ en $g$ .

Ga na dat je deze functie niet kunt differentiëren met de som- of kettingregel.

Gegeven zijn twee functies $f$ en $g$ . Met het product $p = f \cdot g$ van $f$ en $g$ bedoelen we de functie met $p (x) = f (x) \cdot g (x)$ .

In het vervolg leiden een regel af om de afgeleide van het product van twee functies $f$ en $g$ te bepalen met behulp van de afgeleide van $f$ en de afgeleide van $g$ .

We bekijken eerst een eenvoudig geval: het product van twee lineaire functies $f$ en $g$ , met $f (x) = 2 x + 5$ , $g (x) = 3 x + 5$ en $p = f \cdot g$ .

Wat voor soort grafiek heeft $p$ ?

Bepaal $\frac{d y}{d x}$ door eerst de haakjes van
$p (x) = (2 x + 5) (3 x + 1)$ uit te werken.

Geldt: $\frac{d f}{d x} \cdot \frac{d g}{d x}$ ?

We nemen nu het product $p$ van twee willekeurige lineaire functies $f$ en $g$ met $f (x) = a x + b$ en $g (x) = c x + d$ .

Bepaal weer $\frac{d p}{d x}$ door eerst haakjes uit te werken.

Ga na dat je antwoord gelijk is aan: $a \frac{d g}{d x} + c \frac{d f}{d x}$ .

We bekijken de oppervlakte $O$ van een rechthoek met afmetingen $b$ en $l$ . De lengte $l$ en de breedte $b$ variëren in de tijd en de oppervlakte $O$ dus ook.
Stel dat op een gegeven moment geldt: $b = 8$ , $b^{'} = \frac{1}{2}$ , $l = 15$ en $l^{'} = 0$ . (Dus de breedte neemt toe, de lengte blijft constant.)

Hoe groot is dan $O^{'}$ ?

Stel dat op een gegeven moment geldt: $b = 8$ , $b^{'} = 0$ , $l = 15$ en $l^{'} = 2$ .

Hoe groot is dan $O^{'}$ ?

Stel dat op een gegeven moment geldt: $b = 8$ , $b^{'} = \frac{1}{2}$ , $l = 15$ en $l^{'} = 2$ .
Voor dit geval berekent Anneke: $O^{'} = 23 \frac{1}{2}$ .

Hoe heeft Anneke dat gedaan?
Wat vind jij van deze berekening?

We gaan nog even verder met de rechthoek van opgave 48.
$b$ , $l$ en $O$ bekijken we als functie van de tijd $t$ .
De tijd $t$ groeit met $Δ t$ . De breedte groeit met $Δ b$ , de lengte met $Δ l$ en de oppervlakte met $Δ O$ .

Laat zien dat: $Δ O = Δ b \cdot l + b \cdot Δ l + Δ b \cdot Δ l$ .

Welke van deze drie termen kun je verwaarlozen als $Δ l$ en $Δ b$ klein zijn?

Laat zien dat: $\frac{Δ O}{Δ t} = \frac{Δ b}{Δ t} \cdot l + b \cdot \frac{Δ l}{Δ t} + \frac{Δ b}{Δ t} \cdot Δ l$ .

Naarmate $Δ t$ dichter bij $0$ komt, nadert $\frac{Δ O}{Δ t}$ naar $O^{'}$ , $\frac{Δ b}{Δ t} \cdot l$ naar $b^{'} \cdot l$ , $b \cdot \frac{Δ l}{Δ t}$ naar $b \cdot l^{'}$ en $\frac{Δ b}{Δ t} \cdot Δ l$ naar $0$ .

Dus $O^{'} = l^{'} \cdot b + l \cdot b^{'}$ .

Ga na dat Anneke in opgave 48c de juiste waarde voor $O^{'}$ had gevonden.

Productregel
Gegeven zijn de functies $f$ en $g$ . De functie $p = f \cdot g$ is de productfunctie van $f$ en $g$ .
Dan: $p^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}$ .

De productregel toepassen

Voorbeeld:

De functie $p$ met $p (x) = (x^{2} + 1) \sqrt{x}$ is het product van de functies $f$ en $g$ met $f (x) = x^{2} + 1$ en $g (x) = \sqrt{x}$ .
Dus $p^{'} (x) = 2 x \cdot \sqrt{x} + (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .
De functie $c$ met $c (x) = x \sqrt{x^{2} + 1}$ heeft als afgeleide
$c^{'} (x) = 1 \cdot \sqrt{x^{2} + 1} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .
NB. De afgeleide van de functie $x \to \sqrt{x^{2} + 1}$ is
$x \to \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ (volgens de kettingregel).

Differentieer de functies $f$ , $g$ , $h$ , $k$ , $m$ en $n$ met de productregel; je hoeft niet te vereenvoudigen.

$f (x) = (x^{2} + 3) (2 x - 5)$	$g (x) = {(1 + 4 x)}^{2}$
$h (x) = (5 x + 2) \sqrt{x}$	$k (x) = (\frac{3}{x} + x) \cdot \sqrt{x}$
$m (x) = (\sqrt{x} + 3) (\frac{1}{x} + 3)$	$n (x) = (2 x + 1) \sqrt{x^{2} + 2 x}$

Hiernaast staat de grafiek van de functie $y = x \sqrt{6 - 2 x}$ .

Bereken $\frac{d y}{d x}$ .

De grafiek heeft een punt met een horizontale raaklijn.

Bereken de coördinaten van dat punt exact.

De grafiek snijdt de $x$ -as in twee punten. We willen de hoek weten waaronder de $x$ -as gesneden wordt.

Hoe groot is de hoek in het rechter eindpunt?

Hoe groot is de hoek in de oorsprong? Bereken deze langs algebraïsche weg in graden nauwkeurig.

De grafiek van het verband wordt verticaal vermenigvuldigd met $p$ . Er zijn waarden van $p$ waarbij de hoek waaronder de $x$ -as in de oorsprong gesneden wordt, $60 °$ is.

Bereken deze waarden exact.

Van een metalen plaat van $37$ dm breed vouwen we een goot. De bodem maken we $7$ dm en de schuin oplopende kanten dus $15$ dm. De hoogte van de goot noemen we $x$ .
De capaciteit $C$ van de goot is het aantal liter water die de goot per dm lengte kan bevatten.

Schrijf $C$ als functie van $x$ .

Bereken $C^{'}$ .

Onderzoek met de GR voor welke $x$ de capaciteit maximaal is.

Controleer of voor die waarde van $x$ de groeisnelheid $C^{'}$ precies $0$ is.

De functie $f$ is gegeven door $f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$ .
De functie $f$ heeft een minimum.

Bereken exact de waarde van $x$ waarbij dit minimum wordt aangenomen.

De functie $f$ behoort tot de familie van functies $f_{a}$ die gegeven zijn door $f_{a} (x) = (x - 1) \sqrt{x - a}$ .

Bereken op algebraïsche wijze voor welke waarde van $a$ het punt $(5,6)$ op de grafiek van $f_{a}$ ligt.

$f$ is de functie met $f (x) = (x^{5} - 1) (x^{5} + 1)$ .

Differentieer $f$ op twee manieren.

Door eerst de haakjes weg te werken en dan te differentiëren.
Door de productregel toe te passen en dan de haakjes weg te werken.

Doe hetzelfde voor de functie $g$ met
$g (x) = (1 - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ .