De productregel afleiden
1

Met twee functies f en g kun je nieuwe functies maken.
Neem aan f ( x ) = x 3 en g ( x ) = x + 3 .

  • door f en g op te tellen, je krijgt de functie s met
    s ( x ) = x 3 + x + 3 .

  • door f en g te schakelen, je krijgt de functie k met
    k ( x ) = x 3 + 3

  • door f en g te vermenigvuldigen, je krijgt de functie met
    p ( x ) = x 3 x + 3 .

a

Welke regel gebruik je om de functie s te differentiëren? En welke regel gebruik je om de functie k differentiëren?

De functie p is het product van f en g .

b

Ga na dat je deze functie niet kunt differentiëren met de som- of kettingregel.

Gegeven zijn twee functies f en g . Met het product p = f g van f en g bedoelen we de functie met p ( x ) = f ( x ) g ( x ) .

In het vervolg leiden een regel af om de afgeleide van het product van twee functies f en g te bepalen met behulp van de afgeleide van f en de afgeleide van g .

2

We bekijken eerst een eenvoudig geval: het product van twee lineaire functies f en g , met f ( x ) = 2 x + 5 , g ( x ) = 3 x + 5 en p = f g .

a

Wat voor soort grafiek heeft p ?

b

Bepaal d y d x door eerst de haakjes van
p ( x ) = ( 2 x + 5 ) ( 3 x + 1 ) uit te werken.

c

Geldt: d f d x d g d x ?

3

We nemen nu het product p van twee willekeurige lineaire functies f en g met f ( x ) = a x + b en g ( x ) = c x + d .

a

Bepaal weer d p d x door eerst haakjes uit te werken.

b

Ga na dat je antwoord gelijk is aan: a d g d x + c d f d x

4

We bekijken de oppervlakte O van een rechthoek met afmetingen b en l . De lengte l en de breedte b variëren in de tijd en de oppervlakte O dus ook.
Stel dat op een gegeven moment geldt: b = 8 , b = 1 2 , l = 15 en l = 0 . (Dus de breedte neemt toe, de lengte blijft constant.)

a

Hoe groot is dan O ?

Stel dat op een gegeven moment geldt: b = 8 , b = 0 , l = 15 en l = 2 .

b

Hoe groot is dan O ?

Stel dat op een gegeven moment geldt: b = 8 , b = 1 2 , l = 15 en l = 2 .
Voor dit geval berekent Anneke: O = 23 1 2 .

c

Hoe heeft Anneke dat gedaan?
Wat vind jij van deze berekening?

5

We gaan nog even verder met de rechthoek van opgave 48.
b , l en O bekijken we als functie van de tijd t .
De tijd t groeit met Δ t . De breedte groeit met Δ b , de lengte met Δ l en de oppervlakte met Δ O .

a

Laat zien dat: Δ O = Δ b l + b Δ l + Δ b Δ l

b

Welke van deze drie termen kun je verwaarlozen als Δ l en Δ b klein zijn?

c

Laat zien dat: Δ O Δ t = Δ b Δ t l + b Δ l Δ t + Δ b Δ t Δ l

Naarmate Δ t dichter bij 0 komt, nadert Δ O Δ t naar O , Δ b Δ t l naar b l , b Δ l Δ t naar b l en Δ b Δ t Δ l naar 0 .

Dus O = l b + l b .

d

Ga na dat Anneke in opgave 48c de juiste waarde voor O had gevonden.

Productregel
Gegeven zijn de functies f en g . De functie p = f g is de productfunctie van f en g .
Dan: p = f g + f g .

De productregel toepassen
Voorbeeld:
  1. De functie p met p ( x ) = ( x 2 + 1 ) x is het product van de functies f en g met f ( x ) = x 2 + 1 en g ( x ) = x .
    Dus p ( x ) = 2 x x + ( x 2 + 1 ) 1 2 x .

  2. De functie c met c ( x ) = x x 2 + 1 heeft als afgeleide
    c ( x ) = 1 x 2 + 1 + x x x 2 + 1 .
    NB. De afgeleide van de functie x x 2 + 1 is
    x x x 2 + 1 (volgens de kettingregel).

6

Differentieer de functies f , g , h , k , m en n met de productregel; je hoeft niet te vereenvoudigen.

f ( x ) = ( x 2 + 3 ) ( 2 x 5 )

g ( x ) = ( 1 + 4 x ) 2

h ( x ) = ( 5 x + 2 ) x

k ( x ) = ( 3 x + x ) x

m ( x ) = ( x + 3 ) ( 1 x + 3 )

n ( x ) = ( 2 x + 1 ) x 2 + 2 x

7

Hiernaast staat de grafiek van de functie y = x 6 2 x .

a

Bereken d y d x .

De grafiek heeft een punt met een horizontale raaklijn.

b

Bereken de coördinaten van dat punt exact.

De grafiek snijdt de x -as in twee punten. We willen de hoek weten waaronder de x -as gesneden wordt.

c

Hoe groot is de hoek in het rechter eindpunt?

d

Hoe groot is de hoek in de oorsprong? Bereken deze langs algebraïsche weg in graden nauwkeurig.

De grafiek van het verband wordt verticaal vermenigvuldigd met p . Er zijn waarden van p waarbij de hoek waaronder de x -as in de oorsprong gesneden wordt, 60 ° is.

e

Bereken deze waarden exact.

8

Van een metalen plaat van 37 dm breed vouwen we een goot. De bodem maken we 7 dm en de schuin oplopende kanten dus 15 dm. De hoogte van de goot noemen we x .
De capaciteit C van de goot is het aantal liter water die de goot per dm lengte kan bevatten.

a

Schrijf C als functie van x .

b

Bereken C .

c

Onderzoek met de GR voor welke x de capaciteit maximaal is.

d

Controleer of voor die waarde van x de groeisnelheid C precies 0 is.

9

De functie f is gegeven door f ( x ) = ( x 1 ) x .
De functie f heeft een minimum.

a

Bereken exact de waarde van x waarbij dit minimum wordt aangenomen.

De functie f behoort tot de familie van functies f a die gegeven zijn door f a ( x ) = ( x 1 ) x a .

b

Bereken op algebraïsche wijze voor welke waarde van a het punt ( 5,6 ) op de grafiek van f a ligt.

10

f is de functie met f ( x ) = ( x 5 1 ) ( x 5 + 1 ) .

a

Differentieer f op twee manieren.

  1. Door eerst de haakjes weg te werken en dan te differentiëren.

  2. Door de productregel toe te passen en dan de haakjes weg te werken.

b

Doe hetzelfde voor de functie g met
g ( x ) = ( 1 1 x ) ( 1 + 1 x ) .