1

a

De somregel; de kettingregel.

b

-

2

a

Een parabool.

b

$p (x) = 6 x^{2} + 17 x + 5$ , dus $p^{'} (x) = 12 x + 17$ .

c

Nee, want $\frac{d f}{d x} = 2$ en $\frac{d g}{d x} = 3$ .

3

a

$2 a c x + a d + b c$

b

Klopt.

4

a

$15 \cdot \frac{1}{2} = 7 \frac{1}{2}$

b

$2 \cdot 8 = 16$

c

Ze heeft de antwoorden van a en b opgeteld. Lijkt redelijk, gezien de vorige twee opgaven. Het is ook in overeenstemming met opgave 47b.

5

a

Verdeel de rand die erbij gekomen is zoals in de figuur is aangegeven. Tel de oppervlakten van de drie stukken op.

b

$Δ b \cdot Δ l$

c

In het algemeen geldt: $\frac{a b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$ of $\frac{a b}{c} = \frac{a}{c} \cdot b$ .

d

-

6

$f^{'} (x) = 2 x \cdot (2 x - 5) + (x^{2} + 3) \cdot 2$ ,
$g^{'} (x) = 4 \cdot (1 + 4 x) + (1 + 4 x) \cdot 4 = 8 \cdot (1 + 4 x)$ ,
$h^{'} (x) = 5 \cdot \sqrt{x} + (5 x + 2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ,
$k^{'} (x) = (‐ \frac{3}{x^{2}} + 1) \cdot \sqrt{x} + (\frac{3}{x} + x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ,
$m^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (\frac{1}{x} + 3) + (\sqrt{x} + 3) \cdot ‐ \frac{1}{x^{2}}$ ,
$n^{'} (x) = 2 \cdot \sqrt{x^{2} + 2 x} + (2 x + 1) \cdot \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}}$ .

7

a

$\frac{d y}{d x}$ $= \sqrt{6 - 2 x} - \frac{x}{\sqrt{6 - 2 x}}$

b

$\frac{d y}{d x}$ $= 0 \Leftrightarrow 6 - 2 x = x$ , dus het gevraagde punt is $(2,2 \sqrt{2})$

c

In het rechter eindpunt is de hoek $90 °$ , want als $x$ naar $3$ nadert, dan nadert $\frac{d y}{d x}$ naar $‐ \infty$ .

d

$\frac{d y}{d x}$ $= \sqrt{6}$ als $x = 0$ , dus de hoek is $\tan^{‐ 1} (\sqrt{6}) \approx 68 °$ .

e

$y^{'} (0) = p \sqrt{6}$ en $\tan (60 °) = \sqrt{3}$ , dus $p = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2}$ .

8

a

figuur bij opgave 59

Voor de andere rechthoekszijde $y$ van de getekende driehoek geldt:
$y = \sqrt{225 - x^{2}}$ , dus $C = x \cdot (7 + \sqrt{225 - x^{2}})$ .

b

$C^{'} (x) = 7 + \sqrt{225 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{225 - x^{2}}}$

c

$x = 12$

d

$C^{'} (12) = 0$ exact.

9

a

$f (x) = x \sqrt{x} - \sqrt{x}$ , dus $f^{'} (x) = 1 \frac{1}{2} \sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$ .

b

$f_{a} (5) = 6 \Leftrightarrow 4 \sqrt{5 - a} = 6$ $\Leftrightarrow \sqrt{5 - a} = 1 \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 5 - a = 2 \frac{1}{4}$ , dus $a = 2 \frac{3}{4}$ .

10

a

Eerste manier: $f (x) = x^{10} - 1$ , dus $f^{'} (x) = 10 x^{9}$ .
Tweede manier: $f^{'} (x) = 5 x^{4} \cdot (x^{5} + 1) + (x^{5} - 1) \cdot 5 x^{4} = 10 x^{9}$ .

b

Eerste manier: $g (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ , dus $g^{'} (x) = \frac{2}{x^{3}}$ .
Tweede manier: $g^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}} (1 + \frac{1}{x}) - (1 - \frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}} =$ $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ .