De quotiëntregel afleiden

Hiernaast staat de grafiek van de functie $f$ met $f (x) = \frac{x^{3} + 4}{x^{2}}$ .
De grafiek van $f$ heeft een verticale asymptoot.

Geef een vergelijking van die asymptoot.

Bereken het nulpunt van $f (x)$ exact.

Bereken het minimum van $f (x)$ en de waarde van $x$ waarvoor het bereikt wordt exact.

(hint)

f (x) = x + \dots

De functie $f$ is gegeven door $f (x) = \frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + 1}$ .

Bereken met behulp van differentiëren de helling van de grafiek van $f$ in het punt $(2,1)$ .

(hint)

Pas de kettingregel toe.

Hiernaast staat de grafiek van de functie $g$ met $g (x) = \frac{x^{2}}{x^{3} + 4}$ .
Er geldt: $g (x) = \frac{1}{f (x)}$ , waarbij $f$ de functie uit opgave 55 is.

Beredeneer dat $g (x)$ een maximum heeft voor $x = 2$ , zonder te differentiëren.

Differentieer de functie $n$ met $n (x) = \frac{1}{x^{3} + 4}$ .

Door $g (x)$ te schrijven als $x^{2} \cdot \frac{1}{x^{3} + 4}$ kun je $g^{'} (x)$ vinden.

Laat zien dat je $g^{'} (x)$ kunt schrijven als $g^{'} (x) = \frac{‐ x^{4} + 8 x}{{(x^{3} + 4)}^{2}}$ .

Bepaal het minimum van $g (x)$ met behulp van $g^{'} (x)$ .

In de vorige drie opgaven heb je quotiëntfuncties gezien.

In opgave 55 is $f (x)$ het quotiënt van $t (x)$ en $n (x)$ ,
met $t (x) = x^{3} + 1$ en $n (x) = x^{2}$ .
In opgave 56 is $f (x)$ het quotiënt van $t (x)$ en $n (x)$ ,
met $t (x) = 1$ en $n (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$ .
In opgave 57 is $g (x)$ het quotiënt van $t (x)$ en $n (x)$ ,
met $t (x) = x^{2}$ en $n (x) = x^{3} + 1$ .

In de drie voorbeelden noemen we $t (x)$ de teller en $n (x)$ de noemer van het quotiënt $\frac{t (x)}{n (x)}$ .
Het rekenwerk in opgave 57 is niet eenvoudig. De quotiëntregel, die we nu afleiden, maakt het rekenwerk eenvoudiger.

Afleiding van de quotiëntregel
Neem aan: $t$ en $n$ zijn twee functies en $q = \frac{t}{n}$ is de quotiënt van $t$ en $n$ .
Dan is $‐ \frac{1}{n^{2}} \cdot n^{'}$ de afgeleide van $\frac{1}{n}$ (met de kettingregel).
Dus (met de productregel): $q^{'} = t^{'} \cdot \frac{1}{n} + t \cdot \frac{‐ n^{'}}{n^{2}} = \frac{t^{'} \cdot n}{n^{2}} - \frac{t \cdot n^{'}}{n^{2}} =$ $\frac{t^{'} \cdot n - t \cdot n^{'}}{n^{2}}$ .

Quotiëntregel
Gegeven zijn de functies $t$ en $n$ . Dan noemen we de functie $q$ met $q (x) = \frac{t (x)}{n (x)}$ de quotiëntfunctie van $t$ en $n$ . We noteren deze functie met $\frac{t}{n}$ .
Er geldt: $q^{'} = \frac{t^{'} \cdot n - t \cdot n^{'}}{n^{2}}$ .

Voorbeeld:

Als $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ , dan $f^{'} (x) = \frac{2 \cdot (x^{2} + 1) - 2 x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ $= \frac{2 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .
Als $f (x) = \frac{x \sqrt{x}}{2 x + 2}$ , dan $f^{'} (x) = \frac{1 \frac{1}{2} \sqrt{x} \cdot (2 x + 2) - 2 \cdot x \sqrt{x}}{{(2 x + 2)}^{2}} = \frac{x \sqrt{x} - 3 \sqrt{x}}{{(2 x + 2)}^{2}}$ .

Opmerking:

Let op de volgorde van de functies in de teller. Als je de termen verwisselt, krijg je het tegengestelde van de juiste afgeleide.
Als je de quotiëntregel hebt toegepast, werk je (meestal) de haakjes in de teller weg en vereenvoudigt die. Het kwadraat van de noemer laat je staan.

De quotiëntregel toepassen

Bekijk de functies $f$ en $g$ met $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ en $g (x) = \frac{x^{2}}{2 x - 1}$ .

Laat zien dat $f^{'} (x) = \frac{4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ en $g^{'} (x) = \frac{2 \cdot x^{2} - 2 x}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

In de figuur staan de grafieken van $f$ en $g$ .

Bereken exact de coördinaten van de punten waar de raaklijn aan de grafiek van $f$ of $g$ horizontaal is.

Differentieer de functies $f$ , $g$ , $h$ , $k$ , $m$ en $n$ met

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$	$g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$
$h (x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 1}$	$k (x) = \frac{1}{x^{4} + 3 x^{2}}$
$m (x) = \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2}}$	$n (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Een geneesmiddel wordt door een injectie in het bloed gebracht. De concentratie $c$ (in gewichtsprocenten) na $t$ minuten is te benaderen met de formule $c = \frac{240 t}{t^{2} + 40 t + 100}$ .
Er geldt: $c^{'} (t) = \frac{‐ 240 t^{2} + 24.000}{{(t^{2} + 40 t + 100)}^{2}}$ .

Toon dat aan.

Bereken $c^{'} (0)$ . Wat zegt dit getal over de concentratie meteen na de injectie?

Hoe groot is de maximale concentratie?
Na hoeveel minuten wordt deze bereikt?

De patiënt mag pas alleen gelaten worden als de concentratie is gezakt tot 1%.

Bereken langs algebraïsche weg in één decimaal hoeveel minuten na de injectie dat het geval is.

De fabrikant uit de vorige opgave brengt een nieuw geneesmiddel in de handel. Voor dit nieuwe geneesmiddel geldt de formule: $d (t) = \frac{200 t}{{(t + 10)}^{2}}$ , waarbij $d (t)$ de concentratie na $t$ minuten in gewichtsprocenten is.
De fabrikant vergelijkt in een reclamefolder het nieuwe middel met dat van de vorige opgave:

de concentratie neemt aanvankelijk minder snel toe,
de concentratie bereikt een hoger maximum,
de concentratie is eerder gezakt tot $1$ %.

Ga na of de fabrikant de waarheid spreekt.

Gegeven is de functie $y = \frac{20}{3 + {(x + 2)}^{2}}$ .
De grafiek staat hiernaast.

Bereken op twee manieren de coördinaten van de top van de grafiek:

met differentiëren,
met redeneren.