1

a

$x = 0$

b

$f (x) = 0 \Leftrightarrow x^{3} + 4 = 0 \Leftrightarrow x = ‐ \sqrt[3]{4}$ .

c

$f (x) = x + \frac{4}{x^{2}}$ , dus $f^{'} (x) = 1 - \frac{8}{x^{3}}$ , dus $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ . Het minimum is $f (2) = 3$ .

2

$f$ is de ketting $x \to u \to y$ met $u = x^{3} - 2 x^{2} + 1$ en $y = u^{‐ 1}$ , dus $f^{'} (x) = ‐ u^{‐ 2} \cdot (3 x^{2} - 4 x) = ‐ \frac{3 x^{2} - 4 x}{{(x^{3} - 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ . De helling is $f^{'} (2) = ‐ 4$ .

3

a

$f (x)$ is groter dan $f (2) = 3$ voor waarden van $x$ in de buurt van $x = 2$ . Dus $\frac{1}{f (x)}$ is kleiner dan $\frac{1}{f (2)}$ voor waarden van $x$ in de buurt van $x = 2$ .

b

Met de kettingregel vind je: $n^{'} (x) = ‐ \frac{3 x^{2}}{{(x^{3} + 4)}^{2}}$

c

$g^{'} (x) = 2 x \cdot \frac{1}{x^{3} + 4} + x^{2} \cdot ‐ \frac{3 x^{2}}{{(x^{3} + 4)}^{2}}$ , dus (maak gelijke noemers)
$g^{'} (x) = \frac{2 x (x^{3} + 4)}{{(x^{3} + 4)}^{2}} - \frac{3 x^{4}}{{(x^{3} + 4)}^{2}} = \frac{‐ x^{4} + 8 x}{{(x^{3} + 4)}^{2}}$ .

d

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow ‐ x^{4} + 8 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ of of $x = 2$ . Aan de grafiek zie je dat $g (0)$ een minimum is en $g (2)$ een maximum.

4

a

-

b

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 4 - 4 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ , dus de raaklijn aan de grafiek van $f$ is horizontaal in de punten $(1,2)$ en $(‐ 1, ‐ 2)$ .
$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ of $x = 1$ , dus in $(0,0)$ of in $(1,1)$ .

5

$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} = ‐ \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$
$g^{'} (x) = \frac{1 \cdot (x + 1) - 1 \cdot (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$
$h^{'} (x) = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (x - 1) - \sqrt{x}}{{(x - 1)}^{2}}$
$k^{'} (x) = ‐ \frac{4 x^{3} + 6 x}{{(x^{4} + 3 x^{2})}^{2}}$
$m^{'} (x) = \frac{10 {(x + 2)}^{2} - 2 (x + 2) \cdot 1 \cdot 10 x}{{(x + 2)}^{4}} = \frac{20 - 10 x}{{(x + 2)}^{3}}$
$n^{'} (x) = \frac{2 x (x^{2} - 1) - 2 x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} = ‐ \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

6

a

$c^{'} (t) = \frac{240 \cdot (t^{2} + 40 t + 100) - 240 t \cdot (2 t + 40)}{{(t^{2} + 40 t + 100)}^{2}} =$ $\frac{240 \cdot (t^{2} + 40 t + 100 - 2 t^{2} - 40 t)}{{(t^{2} + 40 t + 100)}^{2}} =$ $\frac{240 \cdot (‐ t^{2} + 100)}{{(t^{2} + 40 t + 100)}^{2}}$

b

$c^{'} (0) = \frac{24.000}{100^{2}} = 2,4$ betekent: de concentratie neemt toe met $2,4$ gewichtsprocenten per minuut.

c

$240 \cdot (‐ t^{2} + 100) = 0$ $\Leftrightarrow t = 10$ , dus na $10$ minuten. De maximale concentratie is $4$ (gewichtsprocenten).

d

$c = 1 \Leftrightarrow t^{2} + 40 t + 100 = 240 t \Leftrightarrow t^{2} - 200 t + 100 = 0$ . Met de $a b c$ -formule vind je: $t = \frac{200 \pm \sqrt{40.000 - 400}}{2}$ , dus $t = 0,5$ of $t = 199,5$ , dus na $199,5$ minuten.

7

Methode 1 Teken de grafieken van $c$ en $d$ op de GR en ook de lijn $y = 1$ . Lees je conclusies af.
Methode 2 $d^{'} (t) = \frac{200 {(t + 10)}^{2} - 2 (t + 10) \cdot 1 \cdot 200 t}{{(t + 10)}^{4}} = \frac{200 (100 - t^{2})}{{(t + 10)}^{4}}$ .
Dan $d^{'} (0) = 2 < 2,4$ , klopt.
$d$ is maximaal als $t = 10$ en $d (10) = 5$ , klopt.
$d (t) = 1$ als $200 t = {(t + 10)}^{2} \Leftrightarrow t^{2} - 180 t + 100 = 0$ , dus $t = \frac{180 \pm \sqrt{32.400 - 400}}{2}$ , dus na $179,4$ minuten tot $1$ % gezakt, klopt.

8

$\frac{d y}{d x} = \frac{‐ 40 (x + 2)}{{(3 + {(x + 2)}^{2})}^{2}}$ , dus $\frac{d y}{d x} = 0 \Leftrightarrow 40 (x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = ‐ 2$ , dus de eerste coördinaat van de top is $‐ 2$ , de tweede is $y (‐ 2) = 6 \frac{2}{3}$ .
$f : x \to 3 + {(x + 2)}^{2}$ is een kwadratische functie met minimale waarde voor $x = ‐ 2$ , dus $\frac{1}{f (x)}$ is maximaal voor $x = ‐ 2$ , verder zie eerste punt.