1

Op een emballage afdeling van een fabriek vervaardigt men onder andere kartonnen dozen met een inhoud van $36$ dm³. De dozen zijn aan de bovenkant open. De bodem van zo'n doos heeft een vaste vorm: de zijden moeten zich verhouden als $1 : 2$ . Stel dat de bodem van de doos $x$ bij $2 x$ dm is.

a

Toon aan dat de hoogte van de doos dan $\frac{18}{x^{2}}$ dm³ is.

b

Druk de benodigde totale hoeveelheid karton $K$ (in dm²) voor de zijkanten en de bodem samen uit in $x$ .

c

Bereken $\frac{d K}{d x}$ exact.

De fabrikant concludeert dat hij het voordeligst uit is als hij dozen produceert die $3$ dm breed zijn, $6$ dm lang en $2$ dm hoog.

d

Hoe volgt dit uit onderdeel c?

2

In een destilleerderij kan per dag hoogstens $1000$ liter jonge jenever worden gestookt. De productiekosten $K$ (in euro) en de opbrengst $O$ (in euro) zijn functies van de geproduceerde hoeveelheid $q$ (in liters).
De economisch adviseur van het bedrijf heeft een wiskundig model opgesteld: $K = q^{\frac{2}{3}}$ en $O = 4 q^{\frac{1}{2}}$ .

a

Teken de grafieken van $K$ en $O$ als functie van $q$ .

De winst $W$ is $O - K$ .

b

Teken ook een grafiek van $W$ als functie van $q$ .

c

Bereken exact bij welke productieomvang $W$ maximaal is.

De winst $W$ is ook een functie van de kosten $K$ .

d

Schrijf $W$ als functie van $K$ .

3

De functie $f$ is gegeven door $f (x) = \sqrt{4 x - 12}$ .
De lijn met vergelijking $y = 2 x - 5$ en de grafiek van $f$ snijden elkaar niet.

a

Toon dit op algebraïsche wijze aan.

Er bestaat precies één lijn die evenwijdig is aan de lijn
$y = 2 x - 5$ en die raakt aan de grafiek van $f$ . Omdat deze lijn evenwijdig is aan de lijn $y = 2 x - 5$ heeft deze een vergelijking van de vorm $y = 2 x + b$ .

b

Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van $b$ .

De functie $g$ is gegeven door $g (x) = \sqrt{x}$ . De grafiek van $f$ ontstaat uit de grafiek van $g$ door twee transformaties na elkaar toe te passen.

c

Geef aan welke twee transformaties dit kunnen zijn en in welke volgorde ze moeten worden toegepast.

4

Bij computers daalt de prijs na introductie meestal aanzienlijk om uiteindelijk op een constant niveau terecht te komen.
Een zeker type computer kwam op 1 januari 2010 op de markt. De prijs ontwikkelde zich volgens de formule: $p = 200 + \frac{260}{t + 1}$ . Hierbij is $p$ de prijs in euro’s en $t$ de tijd in maanden vanaf 1 januari 2010. Het aantal computers $v$ van dit type dat maandelijks verkocht wordt, blijkt afhankelijk te zijn van de prijs $p$ volgens de formule: $v = 100 + {(50 - 0,1 p)}^{2}$ .

a

Bereken de prijs op het moment van introductie.
Hoeveel computers van dit type werden er toen per maand verkocht?

b

Wat wordt de prijs van deze computers op den duur?
Hoeveel worden er op den duur per maand verkocht?

c

Hoeveel computers worden er één jaar na introductie per maand verkocht? Tegen welke prijs?

d

Bereken $\frac{d p}{d t}$ en $\frac{d v}{d p}$ en bereken hiermee hoe snel de verkoop toeneemt (in aantallen computers per maand) één jaar na introductie.

e

Druk $v$ uit in $t$ .

5

Een scheepvaartbedrijf vervoert een gasvormig product. Als deze hoeveelheid gas onder hoge druk vervoerd wordt, is het volume klein en zijn de vervoerskosten laag. Maar het onder druk zetten (en houden) van het gas brengt ook kosten met zich mee. Het verband tussen het volume $V$ (in liter) en de druk $p$ (in atmosfeer) wordt gegeven door de formule $p \cdot V = 1000$ . De vervoerskosten $K_{V}$ (in euro's) van $V$ liter gas worden gegeven door de formule $K_{V} = 10 V + 100$ . De kosten $K_{p}$ (in euro's) van het onder druk brengen en houden van het gas op $p$ atmosfeer worden gegeven door de formule $K_{p} = 25 p + 2500$ .

a

Druk de totale kosten $K$ ( $= K_{V} + K_{p}$ ) uit in $p$ .

b

Bereken langs algebraïsche weg voor welke druk $p$ de groeisnelheid $\frac{d K}{d p} = 0$ .

c

Bereikt $K$ een minimale of een maximale waarde? Hoe groot is deze waarde?

6

Het is kermis. De baas van de autoscooter weet dat $75$ % van zijn wagentjes bezet zijn als hij een rit $4$ minuten laat duren (inclusief in- en uitstappen). Als hij de ritten korter laat duren, zal een kleiner deel van de wagentjes bezet zijn. Als hij de ritten langer laat duren, zal een groter deel van de wagentjes bezet zijn. Er geldt de volgende formule: $G = 100 \cdot (1 - \frac{1}{t})$ .
Hierbij is $t$ de duur van een rit in minuten en $G$ de bezettingsgraad in procenten.

a

Ga na dat het bovenstaande voorbeeld in overeen- stemming is met de formule.

b

Bereken de bezettingsgraad als een rit $3$ minuten duurt.

Een rit in een wagentje kost € $2,50$ . Er zijn $20$ wagentjes in de autoscooter. De opbrengst per uur (in euro) noemen we $O$ .

c

Bereken $O$ als een rit $4$ minuten duurt.

d

Leg uit dat de volgende formule geldt: $O = \frac{3000}{t} \cdot (1 - \frac{1}{t})$ .

e

Bereken langs algebraïsche weg bij welke duur $t$ van een rit de opbrengst per uur $O$ het grootst is.

7

Een gemeente heeft een stuk grond bestemd voor woningbouw. Voor vrijstaande woningen denkt de gemeente aan kavels van $600$ m². Volgens een gemeentelijke verordening mogen aan de voorkant en aan de twee zijkanten van elke kavel stroken van $3$ meter breed niet bebouwd worden. Aan de achterkant moet een strook van $6$ meter vrij van bebouwing blijven.

De gemeente-architect krijgt de opdracht uit te rekenen bij welke afmetingen van zo'n kavel het te bebouwen gedeelte een maximale oppervlakte heeft. Hij noemt de breedte van de kavel (in meters) $x$ .

a

Toon aan dat de oppervlakte van het te bebouwen gedeelte gelijk is aan $O = 654 - 9 x - \frac{3600}{x}$ m².

b

Bereken langs algebraïsche weg bij welke afmetingen van de kavel de oppervlakte van het te bebouwen gedeelte maximaal is.

8

Op interval $[0,1]$ is gegeven de functie $f$ met $f (x) = 1 - x^{2}$ .
De grafiek van $f$ snijdt de lijn $y = x$ in een punt $T$ .

a

Bereken de coördinaten van $T$ . Rond deze coördinaten af op drie decimalen.

Op interval $[0,1]$ is ook gegeven de functie $g$ met $g (x) = 1 - x^{3}$ . Een verticale lijn met vergelijking $x = p$ snijdt de grafieken van $f$ en $g$ in twee punten $Q$ en $R$ . Zie figuur 1.

figuur 1

figuur 2

figuur 3

b

Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van $p$ , met $0 < p < 1$ , de lengte van $Q R$ maximaal is.

Op interval $[0,1]$ is de functie $h$ gegeven door $h (x) = 1 - x^{10}$ . De grafiek van $h$ snijdt de $x$ -as in $A (1,0)$ en de $y$ -as in $C (0,1)$ . De raaklijn aan de grafiek van $h$ in het punt $A$ snijdt de lijn $y = 1$ in het punt $S$ . Zie figuur 2.

c

Bereken de coördinaten van $S$ .

Op het interval $[0,1]$ is gegeven de familie van functies $k$ met $k (x) = 1 - x^{n}$ . Hierin is $n$ een positief geheel getal. De functies $f$ , $g$ en $h$ behoren tot deze familie. Hoe groter de waarde van $n$ is, hoe meer de grafiek van $k$ , aangevuld met de lijnstukken $O A$ en $O C$ , lijkt op een vierkant $O A B C$ .
In figuur 3 zijn voor enkele waarden van $n$ de grafieken van $k$ met het vierkant $O A B C$ getekend. Voor elke waarde van $n$ snijdt de grafiek van $k$ het lijnstuk $O B$ in een punt $T$ . Hoe groter $n$ is, hoe dichter $T$ bij punt $B$ ligt.

d

Onderzoek voor welke waarden van $n$ de $x$ -coördinaat van $T$ minder dan $0,1$ verschilt van de $x$ -coördinaat van $B$ .

9

In een natuurpark wordt het aantal exemplaren van een bepaalde diersoort bijgehouden. Begin januari 2000 werden er ongeveer $1000$ en begin januari 2006 ongeveer $2000$ exemplaren geteld.

Waarschijnlijk is de groei van zo'n populatie niet lineair.
Een bioloog denkt er sprake is van afnemende stijging van de populatie.

a

Kun jij hiervoor een argument geven?

De bioloog heeft de volgende formule voor het aantal dieren: $A = 500 \cdot \sqrt{2 t + 4}$ ; hierbij is $A$ het aantal dieren $t$ jaren na begin januari 2000.

b

Geef een formule voor $A^{'} (t)$ .

c

Hoe zie je aan de grafiek van afgeleide functie $\frac{d A}{d t}$ dat de grafiek van $A$ afnemende stijging vertoont.

Het natuurpark is $3000$ km², dus het gemiddelde aantal km² per dier is $G = \frac{3000}{A}$ .

d

Bereken langs algebraïsche weg met hoeveel km² per dier $G$ afneemt gedurende het jaar 2016.

e

Ga na dat $G (t) = 6 {(2 t + 4)}^{‐ \frac{1}{2}}$ en bereken de afname gedurende 2016 ook met differentiëren.

10

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = 2 \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} - 5$ . Hieronder staat de grafiek van $f$ .

a

Bereken de nulpunten van $f (x)$ exact.

b

Bereken het minimum van $f (x)$ exact.

c

Bereken de coördinaten van het buigpunt van de grafiek van $f$ exact.

d

Bereken de hoek waaronder raaklijnen aan de grafiek van $f$ in de snijpunten met de $x$ -as elkaar snijden in één decimaal nauwkeurig.

11

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{2}{x^{2} + 1}$ .
De grafiek is hieronder getekend.

Van rechthoek $A B C D$ liggen de punten $A$ en $B$ op de $x$ -as en de punten $C$ en $D$ op de grafiek van $f$ . De eerste coördinaat van $B$ noemen we $a$ , dus $a > 0$ . De oppervlakte van rechthoek $A B C D$ hangt van $a$ af. Die oppervlakte noemen we $O (a)$ .

Bereken de maximale waarde van $O (a)$ exact.

12

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .
De grafiek van $f$ is hiernaast getekend. Deze heeft twee asymptoten.

a

Welke zijn dat?

De grafiek van $f$ ontstaat door twee verschuivingen uit de grafiek van de standaardhyperbool $y = \frac{1}{x}$ .

b

Toon dat aan.

$O A B C$ is een rechthoek met $A$ op de $x$ -as, $B$ op de grafiek van $f$ en $C$ op de $y$ -as.
De eerste coördinaat van $A$ noemen we $a$ . We nemen $a > 1$ .
De omtrek van de rechthoek noemen we $O (a)$ .

c

Bereken de minimale waarde van $O (a)$ exact.

13

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ .

a

Geef een formule voor $f^{'} (x)$ .

b

In welk punt van de grafiek is de raaklijn horizontaal?

c

Welke lijn is horizontale asymptoot van de grafiek van $f$ ?

Er geldt: $f (x) = f (‐ x)$ voor alle $x$ .

d

Wat betekent dit voor de grafiek van $f$ ?

14

Een geoefend roeier legt in stilstaand water met zijn boot $10$ km/uur af. Veronderstel dat hij $10$ km gaat roeien op een rivier: $5$ km stroomopwaarts en dan $5$ km terug.
Zijn roei-inspanning is constant gedurende de hele tocht.

Op de heenweg heeft de roeier de stroom mee, op de terugweg tegen. De rivier stroomt met een snelheid van $4$ km/uur.

a

Hoelang doet de roeier over de retourtocht?

Veronderstel nu dat de stroomsnelheid van de rivier $v$ km/uur is. Dan is de totale duur van de retourtocht: $T (v) = \frac{100}{100 - v^{2}}$ uur.

b

Toon dat aan.

c

Leg uit hoe hieruit volgt: hoe sneller de rivier stroomt, des te langer duurt de retourtocht.

d

Geef een formule voor $T^{'} (v)$ .
Leg uit hoe hieruit volgt: hoe sneller de rivier stroomt, des te langer duurt de retourtocht.

15

De functie $f$ is gegeven door $f (x) = x \sqrt{2 x + 3}$ .
Voor de afgeleide van $f$ geldt: $f^{'} (x) = \frac{3 x + 3}{\sqrt{2 x + 3}}$ .

a

Toon dit laatste met behulp van differentiëren aan.

figuur 1

figuur 2

De lijn $k$ raakt de grafiek van $f$ in het punt $A (3,9)$ . Punt $B$ is het snijpunt van $k$ met de $x$ -as, zie figuur 1.
De $x$ -coördinaat van $B$ is $\frac{3}{4}$ .

b

Toon dat aan.

Punt $C$ is het beginpunt van de grafiek van $f$ .
In figuur 2 is driehoek $A B C$ gekleurd.

c

Bereken de oppervlakte van $A B C$ exact.