Als de hoogte $h$ dm is, dan $x\cdot 2x\cdot h=36$, dus $h=\frac{18}{x^2}$.

Voor de smalle zijkanten $2\cdot \frac{18}{x^2}\cdot x=\frac{36}{x}$, voor de brede zijkanten $2\cdot \frac{18}{x^2}\cdot 2x=\frac{72}{x}$ en voor de onderkant $2x^2$, dus $K=\frac{108}{x}+2x^2$.

$\frac{\text{d}K}{\text{d}x}=\mathrm{‐}\frac{108}{x^2}+4x$.

$\frac{\text{d}K}{\text{d}x}=0\iff \frac{108}{x^2}=4x\iff x=3$, dus de onderkant is dan $3$ bij $6$ en de hoogte $2$.

-

-

$W=4q^{\frac{1}{2}}-q^{\frac{2}{3}}$, dus $W^{\prime }(q)=2q^{\mathrm{‐}\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}{q}^{\mathrm{‐}\frac{1}{3}}$, dus $W^{\prime }(q)=0\iff \frac{2}{3}{q}^{\mathrm{‐}\frac{1}{3}}=2q^{\mathrm{‐}\frac{1}{2}}\iff q^{\frac{1}{6}}=3$, dus $W$ is maximaal als $q=3^6=729$ liter.

$q=K^{1\frac{1}{2}}$, dus $O=4q^{\frac{1}{2}}=4K^{\frac{3}{4}}$ en $W=4K^{\frac{3}{4}}-K$.

$\sqrt{4x-12}=2x-5$, kwadrateren geeft:
${\left(2x-5\right)}^2=4x-12\iff 4x^2-24x+37=0$. De laatste vergelijking heeft discriminant $576-592<0$, dus geen oplossingen.

De helling van de raaklijn moet $2$ zijn. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{4x-12}}\cdot 4$ en $f^{\prime }(x)=2\iff \sqrt{4x-12}=1$, dus $x=3\frac{1}{4}$; $f(3\frac{1}{4})=1$, dus het raakpunt $(3\frac{1}{4}\mathrm{,1})$ voldoet aan de vergelijking $y=2x+b$, dus $b=\mathrm{‐}5\frac{1}{2}$.

$y$	$=$	$\sqrt{x}$	$12$ naar rechts schuiven
$y$	$=$	$\sqrt{x-12}$	horizontaal (ten opzichte van de $y$-as) met $\frac{1}{4}$ vermenigvuldigen
$y$	$=$	$\sqrt{4x-12}$

of

$y$	$=$	$\sqrt{x}$	horizontaal (ten opzichte van de $y$-as) met $\frac{1}{4}$ vermenigvuldigen
$y$	$=$	$\sqrt{4x}$	$3$ naar rechts schuiven
$y$	$=$	$\sqrt{4(x-3)}$

of

$y$	$=$	$\sqrt{x}$	verticaal (ten opzichte van de $x$-as) met $2$ vermenigvuldigen
$y$	$=$	$2\sqrt{x}=$ $\sqrt{4x}$	$3$ naar rechts schuiven
$y$	$=$	$\sqrt{4(x-3)}$

Als $t=0$, dan $p=460$ euro:
$v=100+{(50-46)}^2=116$ stuks.

Als $t$ groot is, dan wordt $p=200$, dus dan worden er
$v=100+{(50-20)}^2=1000$ stuks verkocht.

Dan $t=12$, dus de prijs is $p=200+\frac{260}{12+1}=220$ euro per stuk; er worden $v=100+{(50-22)}^2=884$ stuks verkocht.

$\frac{\text{d}p}{\text{d}t}=\mathrm{‐}\frac{260}{{(t+1)}^2}\cdot 1$ ; $\frac{\text{d}v}{\text{d}p}=2(50-\mathrm{0,1}p)\cdot \mathrm{‐0,1}$
Als $t=12$, dan $p=220$, dus $\frac{\text{d}p}{\text{d}t}=\mathrm{‐}\frac{20}{13}$ en $\frac{\text{d}v}{\text{d}p}=\mathrm{‐}\mathrm{5,6}$, dus met
$\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\mathrm{‐}\mathrm{5,6}\cdot \mathrm{‐}\frac{20}{13}=\mathrm{8,6}$ stuks per maand.

$v=100+{\left(30-\frac{26}{t+1}\right)}^2$

$K=25p+2600+\frac{10.000}{p}$

$\frac{\text{d}K}{\text{d}p}=25-\frac{10.000}{p^2}$, dus $\frac{\text{d}K}{\text{d}p}=0\iff 25p^2=10.000$, dus $p=20$ atmosfeer.

Minimale waarde (via GR). Die is $3600$ euro.

$100\cdot (1-\frac{1}{4})=75$ en de functie is dalend.

$66\frac{2}{3}$%

$\frac{60}{4}\cdot \mathrm{0,75}\cdot \mathrm{2,50}\cdot 20=\mathrm{562,50}$ euro

$O=\frac{60}{t}\cdot \left(1-\frac{1}{t}\right)\cdot 20\cdot \mathrm{2,50}=\frac{3000}{t}\cdot \left(1-\frac{1}{t}\right)$

Met de GR zie je dat de functie een maximum heeft; $O=3000\cdot \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}\right)$, dus $O^{\prime }(t)=3000\cdot \left(\mathrm{‐}\frac{1}{t^2}+\frac{2}{t^3}\right)$ en $O^{\prime }(t)=0\iff t=2$.

De lengte van de kavel is dan $\frac{600}{x}$. De breedte van het te bebouwen gedeelte is dan $x-6$ en de lengte $\frac{600}{x}-9$, dus de oppervlakte: $O=\left(x-6\right)\cdot \left(\frac{600}{x}-9\right)$. Haakjes wegwerken levert het gewenste resultaat.

$O^{\prime }(x)=\mathrm{‐}9+\frac{3600}{x^2}$, dus $O^{\prime }(x)=0\iff x^2=\frac{3600}{9}$, dus $x=20$ dus de kavel is $20$ bij $30$.

Met de SOLVER van de GR of:
$1-x^2=x\iff x^2+x-1=0\iff x=\frac{\mathrm{‐}1\pm \sqrt{5}}{2}$, dus het snijpunt is $\left(\frac{\mathrm{‐}1+\sqrt{5}}{2},\frac{\mathrm{‐}1+\sqrt{5}}{2}\right)$, want $\mathrm{‐}1-\sqrt{5}<0$.
Het snijpunt is $(\mathrm{0,618};\mathrm{0,618})$.

De lengte van $QR$ is $l=(1-p^3)-(1-p^2)=p^2-p^3$; $l^{\prime }(p)=2p-3p^2$ en $l^{\prime }(p)=0\iff p=\frac{2}{3}$.

$h^{\prime }(x)=\mathrm{‐}10x^9$, dus de helling van de raaklijn in $A$ is $\mathrm{‐}10$, dus $S$ is het punt $\left(\frac{9}{10}\mathrm{,1}\right)$.

Voor de $x$-coördinaat van $T$ geldt: $x=1-x^n$.
Het verschil van de $x$-coördinaten van $T$ en $B$ moet kleiner zijn dan $\mathrm{0,1}$, dan $1-{\mathrm{0,9}}^n>\mathrm{0,9}$, dus $n\ge 22$.
Of maak op de GR bijvoorbeeld een tabel van $1-{\mathrm{0,9}}^n$, met $n=\mathrm{1,2,...}$.
Voor $n=21$ vind je een getal kleiner dan $\mathrm{0,9}$ en voor $n=22$ een getal groter dan $\mathrm{0,9}$.
Dus $n\ge 22$.

In een natuurpark is er vanwege de afmetingen voor maar een beperkt aantal dieren voedsel.

$A^{\prime }(t)=\frac{500}{\sqrt{2t+4}}$

Omdat $A^{\prime }(t)$ positief is maar wel dalend.

Begin 2016 hoort bij $t=16$ en eind 2016 bij $t=17$.
De afname per dier in 2016 is $\frac{3000}{A(16)}-\frac{3000}{A(17)}$, dus ongeveer $\mathrm{0,03}$ km².

Klopt. $G$ is de ketting $t\to u\to y$ waarbij $u=2t+4$ en $y=6u^{\mathrm{‐}\frac{1}{2}}$, dus
$G^{\prime }(t)=2\cdot 6\cdot \mathrm{‐}\frac{1}{2}{(2t+4)}^{\mathrm{‐}1\frac{1}{2}}$, dus $G^{\prime }(16)=\mathrm{‐}\frac{1}{36}\approx \mathrm{0,03}$.

$f(x)=0\iff 2{\left(\sqrt{x}\right)}^2-5\sqrt{x}+2=0$, dus $\sqrt{x}=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{4}$, dus $\sqrt{x}=\frac{1}{2}$ of $\sqrt{x}=2$, dus $x=\frac{1}{4}$ of $x=4$.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}$, dus $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$. De minimale waarde van $f(x)=f(1)=\mathrm{‐}1$.

$f^{″}(x)=\mathrm{‐}\frac{1}{2x\sqrt{x}}+\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$, dus $f^{″}(x)=0\iff x=3$, dus het buigpunt is: $(\mathrm{3,2}\frac{2}{3}\sqrt{3}-5)$.

$f^{\prime }(\frac{1}{4})=\mathrm{‐}6$ en $f^{\prime }(4)=\frac{3}{8}$. De gevraagde hoek is: $180-{\tan }^{‐1}\left(6\right)-{\tan }^{‐1}\left(\frac{3}{8}\right)=\mathrm{78,9}°$.

De lijnen $x=1$ en $y=1$.

$y$	$=$	$\frac{1}{x}$	$1$ eenheid naar rechts schuiven
$y$	$=$	$\frac{1}{x-1}$	$1$ eenheid naar boven schuiven
$y$	$=$	$\frac{1}{x-1}+1$

Verder geldt: $\frac{1}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}=f(x)$.

Er geldt: $O(a)=2a+\frac{2a}{a-1}$, dus $O^{\prime }(a)=2-\frac{2}{{\left(a-1\right)}^2}$, dus $O^{\prime }(a)=0\iff a=2$ (want $a>1$). Als je de grafiek van $O$ op de GR tekent, zie je dat $O(2)$ een minimum is met waarde $6$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{{(x^2+1)}^2}=\frac{4x}{{(x^2+1)}^2}$

$(\mathrm{0,}\mathrm{‐}1)$

De lijn $y=1$.

De $y$-as is symmetrieas van de grafiek.

Heen $\frac{5}{10+4}$ en terug $\frac{5}{10-4}$, in totaal $\frac{5}{10+4}+\frac{5}{10-4}=\frac{100}{84}=1\frac{4}{21}$ uur.

De heenweg duurt: $\frac{5}{10+v}$ en de terugweg $\frac{5}{10-v}$.
Dus $T(v)=\frac{5}{10-v}+\frac{5}{10+v}$ $=\frac{5(10+v)}{(10-v)(10+v)}+\frac{5(10-v)}{(10-v)(10+v)}=$ $\frac{100}{100-v^2}$.

Hoe groter $v$, des te groter $v^2$, des te kleiner $100-v^2$, des te groter $T(v)$.

$T^{\prime }(v)=\frac{200v}{{\left(100-v^2\right)}^2}$.
Dus $T^{\prime }(v)$ is positief voor elke waarde van $v>0$, dus is $T$ een stijgende functie, dat wil zeggen: hoe groter $v$, hoe groter $T$.

$f^{\prime }(x)=1\cdot \sqrt{2x+3}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{2x+3}}\cdot 2$ $=\frac{2x+3}{\sqrt{2x+3}}+\frac{x}{\sqrt{2x+3}}$ $=\frac{3x+3}{\sqrt{2x+3}}$.

$f^{\prime }(3)=\frac{4}{3}$. Om over de lijn $k$ vanuit $A$ op de $x$-as te komen, moet je $3$ eenheden omlaag, dus $\frac{3}{4}\cdot 3=2\frac{1}{4}$ eenheid naar links.
De $x$-coördinaat van $B$ is dus $3-2\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

$f(x)$ bestaat als $2x+3\ge 0$ $\iff x\ge \mathrm{‐}1\frac{1}{2}$, dus de $x$-coördinaat van $C$ is: $\mathrm{‐}1\frac{1}{2}$.
Om de oppervlakte van driehoek $ABC$ te berekenen, nemen we als basis $BC=1\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=2\frac{1}{4}$. De bijbehorende hoogte is $9$ en de oppervlakte is dus: $\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 2\frac{1}{4}=10\frac{1}{8}$.