10.2 Exponentiële functies >

Hoofdstukken > Exponenten en logaritmen

In deze paragraaf gaan we de eigenschappen van exponentiële verbanden wat beter bekijken. Daarvoor herhalen wij eerst de bekende rekenregels voor machten, want die zul je nodig hebben.

Rekenregels voor machten:

$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$
$\frac{a^{p}}{a^{q}} = a^{p - q}$ (ofwel $a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$ )
${(a^{p})}^{q} = {(a^{q})}^{p} = a^{p \cdot q}$
$a^{p} \cdot b^{p} = {(a \cdot b)}^{p}$
$\frac{a^{p}}{b^{p}} = {(\frac{a}{b})}^{p}$
$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ ( $n$ geheel)
$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}} = {\sqrt[q]{a}}^{p}$ ( $p$ en $q$ geheel)
$a^{‐ p} = \frac{1}{a^{p}}$

Vul in:

$7^{8} \cdot 7^{6} = 7^{...}$	$7^{8} : 7^{6} = 7^{...}$
${(7^{8})}^{6} = 7^{...}$	$7^{8} \cdot 4^{8} = {(...)}^{8}$

Bereken zonder rekenmachine, schrijf een tussenstap op.

$2^{1,23} \cdot 2^{1,77}$	$2^{23,5} : 2^{21,5}$
${(2^{0,125})}^{16}$	$2^{0,5} \cdot 8^{0,5}$

Bereken zonder rekenmachine; schrijf tussenstappen op.

$8^{\frac{2}{3}}$	$49^{1 \frac{1}{2}}$	${10.000}^{\frac{3}{4}}$
$8^{‐ \frac{2}{3}}$	$49^{‐ 1 \frac{1}{2}}$	${10.000}^{‐ \frac{3}{4}}$

Schrijf zo mogelijk als macht van één getal.

$5^{3} \cdot 5^{4}$	$3^{5} \cdot 4^{5}$
$5^{3} \cdot 5^{3}$	$3^{4} \cdot 4^{5}$

Ga na zonder rekenmachine: goed of fout?

$2 \cdot 2^{3} = 2^{4}$	$40^{3} = 4 \cdot 10^{3}$
${(‐ 2)}^{13} = 2^{13}$	${(‐ 2)}^{14} = 2^{14}$
$\frac{2^{14}}{2^{7}} = 2^{7}$	$\frac{2^{14}}{2} = 2^{7}$
${(2^{5})}^{3} = 8^{5}$	${(2^{5})}^{3} = 2^{125}$
$2^{5} \cdot 2^{5} = 2^{25}$	$2^{5} \cdot 2^{5} = 2^{10}$
$2^{5} \cdot 2^{5} = 4^{5}$	$2^{5} \cdot 2^{5} = 4^{10}$

We nemen in de algemene gedaante $y = b \cdot g^{x}$ voor $b$ het getal $1$ en voor $g$ de getallen $1$ , $2$ , $4$ , $\frac{1}{2}$ en $\frac{1}{4}$ . Hieronder staan de vijf bijbehorende grafieken (A t/m E).

Welke grafiek hoort bij welke waarde van $g$ ?

Hoe krijg je de grafiek met $g = \frac{1}{2}$ uit de grafiek met $g = 2$ ? Kun je dat met de rekenregels verklaren?

De grafieken van $y = {(1 \frac{1}{2})}^{x}$ en $y = {(\frac{2}{3})}^{x}$ lopen ergens tussen de vijf getekende grafieken door.

Beschrijf hoe deze grafieken lopen. Controleer je antwoord door de grafieken op je GR te tekenen.

Verklaar met rekenregels van machten dat de grafieken van $y = {(1 \frac{1}{2})}^{x}$ en van $y = {(\frac{2}{3})}^{x}$ elkaars spiegelbeeld zijn in de $y$ -as.

De grafieken van de exponentiële functies $y = g^{x}$ hebben een punt gemeenschappelijk.
Welke punt? Kun je dat verklaren?

Wat weet je van het grondtal $g$ als de functie stijgend is?
En wat als de functie dalend is?
Blijft er één geval over. Welk?

Zeg van de volgende functies of ze stijgend of dalend zijn (zonder eerst de grafiek te tekenen).

$y = {(\sqrt{2})}^{x}$	$y = {(\frac{1}{2} \sqrt{2})}^{x}$
$y = {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{x}$	$y = π^{x}$

Hoe ziet de grafiek eruit van $y = {0,99}^{x}$ ?
En van $y = {1,01}^{x}$ ?

Bereken voor welke waarde(n) van $x$ het verschil tussen ${0,99}^{x}$ en ${1,01}^{x}$ groter is dan 1. Rond in je antwoord af op 1 decimaal.

(hint)

Teken op je GR de functies

y = {1,01}^{x} - {0,99}^{x}

y = {0,99}^{x} - {1,01}^{x}

De grafiek van $y = 2^{x}$ gaat aan de linkerkant steeds meer op de $x$ -as lijken. Preciezer gezegd: als je langs de grafiek van $y = 2^{x}$ naar links gaat, kom je zo dicht bij de $x$ -as als je maar wilt. We zeggen dat de $x$ -as horizontale asymptoot is van de grafiek van $y = 2^{x}$ .

Ga na dat de $x$ -as horizontale asymptoot is van de grafiek van elke exponentiële functie (behalve als $g = 1$ ).

Ken jij nog een andere functie waarvan de $x$ -as een horizontale asymptoot is?

Bereken voor welke waarden van $x$ geldt: ${0,9}^{x} < 0,000001$ . Rond in je antwoord af op 1 decimaal.

Opmerking:

Zojuist heb je waarschijnlijk met de GR de vergelijking
${0,9}^{x} = 0,000001$ opgelost, met de 'solver' of met 'intersect'. En ook in eerdere opgaven in dit hoofdstuk heb je voor soortgelijke vergelijkingen je GR moeten gebruiken.
Voorlopig is dat nog de enige manier waarop dit kan, maar later in dit hoofdstuk ga je leren hoe je zo'n vergelijking ook algebraïsch of exact kunt oplossen.

Vergelijk de functies $y = 2^{x}$ en $y = x^{2}$ . De formules lijken veel op elkaar. Maar het zijn toch heel verschillende functies.

Teken op je GR voor $‐ 5 \leq x \leq 5$ beide functies in één figuur. Noem eens wat opvallende verschillen tussen de grafieken.

Voor welke getallen $x$ geldt: $2^{x} < x^{2}$ ?

We gaan het groeigedrag van $y = 2^{x}$ en $y = x^{2}$ vergelijken. Daarvoor berekenen we de gemiddelde toename van beide functies op verschillende $x$ -intervallen van lengte 1.
Voorbeeld
We nemen het $x$ -interval $[2,3]$ , dus $x$ neemt toe van $2$ tot $3$ .
Dan neemt $y = 2^{x}$ toe van $4$ tot $8$ , dus $Δ y = 4$ .
Dan neemt $y = x^{2}$ toe van $4$ tot $9$ , dus $Δ y = 5$ .

Bereken $Δ y$ voor beide functies op de $x$ -intervallen in de tabel.

$x$ -interval	$[2,3]$	$[3,4]$	$[4,5]$	$[10,11]$	$[100,101]$
$Δ y$ bij $y = 2^{x}$	$4$
$Δ y$ bij $y = x^{2}$	$5$

Is de conclusie gerechtvaardigd dat voor grote waarden van $x$ de functie $y = 2^{x}$ veel sneller groeit dan $y = x^{2}$ ?

We hebben hiervoor naar de absolute toename van $y$ gekeken. We kunnen ook kijken naar de relatieve toename van $y$ : dat is hoeveel keer zo groot $y$ wordt op een $x$ -interval van lengte $1$ .
Voorbeeld
We nemen het $x$ -interval $[2,3]$ .
Dan neemt $y = 2^{x}$ toe van $4$ tot $8$ , dus $y$ wordt $\frac{8}{4} = 2$ keer zo groot.
Dan neemt $y = x^{2}$ toe van $4$ tot $9$ , dus $y$ wordt $\frac{9}{4} = 2,25$ keer zo groot.

Bereken voor beide functies hoeveel keer zo groot $y$ wordt op de $x$ -intervallen in de tabel.

$x$ -interval	$[2,3]$	$[3,4]$	$[4,5]$	$[10,11]$	$[100,101]$
bij $y = 2^{x}$	$2$
bij $y = x^{2}$	$2,25$

Wat valt je op?

De helling in een punt van de grafiek van $y = x^{2}$ kunnen we exact berekenen met behulp van differentiëren. De functie
$y = 2^{x}$ kunnen we echter (nog) niet differentiëren, maar bij deze functie kunnen we de helling in een punt wel benaderen.

Neem $x = 3$ . Bereken bij deze $x$ exact de helling van de grafiek van $y = x^{2}$ en benader de helling van de grafiek van $y = 2^{x}$ op 2 decimalen.
Doe hetzelfde bij $x = 10$ .

Zoek met de GR de twee waarden van $x$ (afgerond op 2 decimalen) waarbij de helling aan beide grafieken gelijk is.

Transformaties

$y = g^{x}$ is de standaard exponentiële functie met grondtal $g$ .
De $x$ -as is horizontale asymptoot van de grafiek (behalve als $g = 1$ ).
Als $g > 1$ , dan is de functie stijgend;
als $0 < g < 1$ , dan is de functie dalend.
De grafiek gaat door het punt $(0,1)$ .

We gaan in de volgende opgaven de formule van deze standaard exponentiële functie veranderen en bekijken dan wat er dan met de bijbehorende grafiek gebeurt. En andersom: als we de grafiek transformeren, wat gebeurt er dan met de formule?

Teken op je GR de grafiek van $f (x) = ‐ 3 + 2^{x}$ .
De grafiek van $f$ is verwant met de grafiek van $y = 2^{x}$ .

Hoe moet je de grafiek van $y = 2^{x}$ verschuiven om de grafiek van $f$ te krijgen?

Is $f$ stijgend of dalend?

Welke lijn is asymptoot van de grafiek van $f$ ?

Welke getallen zitten in het bereik van $f$ ?

$f (x) = 1 + {(\frac{2}{3})}^{x}$ en $g (x) = 1 - {(\frac{2}{3})}^{x}$

Hoe krijg je de grafiek van $f$ uit die van $y = {(\frac{2}{3})}^{x}$ ?
En hoe krijg je de grafiek van $g$ uit die van $y = {(\frac{2}{3})}^{x}$ ?

Is $f$ stijgend? En $g$ ?

Geef een vergelijking van de horizontale asymptoot van de grafiek van $f$ . Ook voor de grafiek van $g$ .

Geef het bereik van beide functies.

Er is een waarde van $x$ met $f (x) = 4$ .

Bereken $g (x)$ voor die waarde van $x$ (zónder de waarde van $x$ uit te rekenen).

(hint)

Teken beide grafieken en gebruik de symmetrie t.o.v. de asymptoot.

$h (x) = ‐ 2 \cdot {(\frac{2}{3})}^{x} + 5$

Hoe ontstaat de grafiek van $h$ uit die van $y = {(\frac{2}{3})}^{x}$ ?

Is $h$ een stijgende functie? Hoe zie je dat aan de formule?

Welke lijn is horizontale asymptoot van de grafiek van $h$ ?

Geef het bereik van $h$ .

De grafiek van $y = a \cdot g^{x} + b$ is verwant aan de grafiek van $y = g^{x}$ .
Je krijgt de grafiek van $y = a \cdot g^{x} + b$ door de grafiek van $y = g^{x}$ verticaal te vermenigvuldigen t.o.v. de $x$ -as met factor $a$ en daarna $b$ eenheden omhoog te schuiven.
De lijn $y = b$ is horizontale asymptoot van de grafiek van
$y = a \cdot g^{x} + b$ .

Teken in één window de grafieken van $y = 2^{x}$ en $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

Hoe liggen de grafieken ten opzichte van elkaar?

Er is een verband tussen $2^{x}$ en ${(\frac{1}{2})}^{x}$ : voor elke $x$ zijn ze elkaars omgekeerde.

Uit welke rekenregel voor machten volgt dit verband?

Voor welke $x$ geldt: $2^{x} \geq 32$ ?
En voor welke $x$ geldt (dus): ${(\frac{1}{2})}^{x} \geq 32$ ?

Teken in één window de grafieken van $y = 2^{x}$ en $y = 2^{x + 3}$ .

Hoe moet je de grafiek van $y = 2^{x}$ verschuiven om de grafiek van $y = 2^{x + 3}$ te krijgen?

Hoe moet je de grafiek van $y = 2^{x}$ vermenigvuldigen om de grafiek van $y = 2^{x + 3}$ te krijgen?

Wat is dus het verband tussen $y = 2^{x + 3}$ en $y = 2^{x}$ ?
Verklaar dit verband met een rekenregel.

Voor welke $x$ geldt: $2^{x + 3} \geq 32$ ?

Teken in één window de grafieken van $y = \frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ en
$y = 2^{x - 1}$ .

Hoe liggen de grafieken ten opzichte van elkaar?

Wat is het verband tussen $\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ en $2^{x - 1}$ ?
Uit welke rekenregels volgt dat verband?

Voor welke $x$ geldt: $\frac{1}{2} \cdot 2^{x} \geq 32$ ?

Teken in één window de grafieken van $y = 2^{x}$ en $y = 8^{x}$ .

Hoe krijg je de grafiek van $y = 8^{x}$ uit die van $y = 2^{x}$ ?

Wat is het verband tussen $2^{x}$ en $8^{x}$ ?
Uit welke rekenregel volgt dat verband?

Voor welke $x$ geldt: $8^{x} \geq 32$ ?

Teken in één window de grafieken van $y = 2^{x}$ en $y = 2^{1 - x}$ .

Hoe krijg je de grafiek van $y = 2^{1 - x}$ uit die van $y = 2^{x}$ ?

Welke functie krijg je als je de functies $y = 2^{x}$ en $y = 2^{1 - x}$ met elkaar vermenigvuldigt?

Bereken het snijpunt van de twee grafieken.

De grafiek van $y = g^{x - a}$ krijg je uit de grafiek van $y = g^{x}$ door deze $a$ naar rechts te schuiven.
Met behulp van een rekenregel zie je: $g^{x - a} = g^{‐ a} \cdot g^{x}$ .
Dus je kunt de grafiek van $y = g^{x - a}$ ook uit de grafiek van $y = g^{x}$ krijgen door deze verticaal t.o.v. de $x$ -as met factor $g^{‐ a}$ te vermenigvuldigen.
Je krijgt de grafiek van $y = g^{c x}$ uit de grafiek van $y = g^{x}$ door deze horizontaal te vermenigvuldigen t.o.v. de $y$ -as met factor $\frac{1}{c}$ .
Omdat $g^{c x} = {(g^{c})}^{x}$ is het ook de grafiek van de exponentiële functie met groeifactor $g^{c}$ .

Opmerking:

Net zoals je bij het transformeren van bijvoorbeeld sinusoïden en parabolen gezien hebt, zijn alle combinaties van horizontale en verticale transformaties mogelijk en is de volgorde vaak van belang.

We bekijken de bundel functies $y = \frac{1}{2} \cdot 3^{x - p} - 5$ voor elk getal $p$ .

Hoe ontstaan de grafieken uit de bundel uit elkaar?

Bereken exact voor welke waarde van $p$ het exemplaar uit de bundel door het punt $(2, ‐ \frac{1}{2})$ gaat.

We bekijken de bundel functies $y = p - 3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x}$ voor elk getal $p$ .

Hoe ontstaan de grafieken uit de bundel uit elkaar?

Bereken exact voor welke waarde van $p$ het exemplaar uit de bundel door het punt $(‐ 1,1)$ gaat.