A: $g=\frac{1}{2}$; B: $g=\frac{1}{4}$; C: $g=4$; D: $g=2$; E: $g=1$

Door spiegeling in de $y$-as (of: horizontale vermenigvuldiging t.o.v. de $y$-as met factor $\mathrm{‐}1$); $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x={\left(2^{\mathrm{‐}1}\right)}^x=2^{\mathrm{‐}x}$

De grafiek van $y={\left(1\frac{1}{2}\right)}^x$ loopt tussen de grafieken D en E door; de grafiek van $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ loopt tussen de grafieken A en E door (en beide gaan door het punt $(\mathrm{0,1})$).

$y={\left(1\frac{1}{2}\right)}^x={\left(\frac{3}{2}\right)}^x={\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{‐}1}\right)}^x={\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{‐}x}$

Punt $(\mathrm{0,1})$; $g^0=1$ voor elke waarde van $g>0$

Stijgend: $g>1$; dalend: $0<g<1$; horizontaal: $g=1$

(Langzaam) dalend; (langzaam) stijgend

Met de GR de vergelijking ${\mathrm{1,01}}^x-{\mathrm{0,99}}^x=1$ oplossen geeft $x=\mathrm{48,2}$; de vergelijking ${\mathrm{0,99}}^x-{\mathrm{1,01}}^x=1$ oplossen geeft $x=\mathrm{‐}\mathrm{48,0}$; de grafieken lopen steeds verder uit elkaar als $x$ toeneemt of afneemt, dus $x<\mathrm{‐}\mathrm{48,0}$ of $x>\mathrm{48,2}$.

Als $g>1$, dan nadert $g^x$ steeds meer tot $0$ als $x$ heel erg groot negatief wordt en als $g<1$ dan nadert $g^x$ tot $0$ als $x$ heel erg groot wordt.

Bijvoorbeeld $f(x)=\frac{1}{x}$; de grafiek is een hyperbool.

Met de GR oplossen ${\mathrm{0,9}}^x=\mathrm{0,000001}$ geeft $x\approx \mathrm{131,1}$; dus $x>\mathrm{131,1}$.

De grafiek van $y=2^x$ is altijd stijgend, terwijl de grafiek van $y=x^2$ een parabool is en ook deels dalend is.

Met de GR: $2<x<4$

Jazeker

Bij $y=2^x$ is de relatieve groei op elk interval steeds $2$, terwijl bij $y=x^2$ die groei steeds kleiner wordt.

Bij $y=x^2$: $y\text{'}=2x$, dus de helling is $2\cdot 3=6$;
Bij $y=2^x$: helling $\approx \frac{2^{\mathrm{3,001}}-2^3}{\mathrm{0,001}}\approx \mathrm{5,55}$ (of met de optie dy/dx op de GR).
Bij $x=10$: hellingen zijn $20$ en $\mathrm{710,03}$.

Met de GR (met intersect) het snijpunt berekenen van $y\text{'}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(2^x)$ en $y\text{'}=2x$ geeft $x\approx \mathrm{0,49}$ en $x\approx \mathrm{3,21}$.

Drie eenheden naar beneden schuiven.

Stijgend

De horizontale lijn $y=\mathrm{‐}3$

$y>\mathrm{‐}3$

$f$: $1$ omhoog schuiven;
$g$: eerst spiegelen in de $x$-as en dan $1$ omhoog schuiven.

$f$ is dalend en $g$ is stijgend

Beide: $y=1$

Bereik $f$: $y>1$
Bereik $g$: $y<1$

De waarde van $f(x)$ ligt $3$ boven de asymptoot $y=1$, dus ligt de waarde $g(x)$ er $3$ onder; $g(x)=1-3=\mathrm{‐}2$.

Vermenigvuldigen met factor $\mathrm{‐}2$ t.o.v. de $x$-as en daarna $5$ omhoog schuiven.

Ja; $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ is dalend; $y=\mathrm{‐}2\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ is dus stijgend en $y=\mathrm{‐}2\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^x+5$ dus ook.

$y=5$

$y<5$

-

Ze zijn elkaars spiegelbeeld in de $y$-as. (Of: je krijgt de ene door de andere horizontaal te vermenigvuldigen met factor $\mathrm{‐}1$ ten opzichte van de $y$-as.)

Uit rekenregel 8: $a^{\mathrm{‐}p}=\frac{1}{a^p}$

$32=2^5$, dus $2^x\ge 32$ als $x\ge 5$;
${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{\mathrm{‐}x}\ge 2^5$ $\to$ $\mathrm{‐}x\ge 5$, dus $x\le \mathrm{‐}5$

-

$3$ eenheden naar links verschuiven

Met factor $8$ vermenigvuldigen t.o.v. de $x$-as

$2^{x+3}=8\cdot 2^x$;
Rekenregel 1: $2^{x+3}=2^x\cdot 2^3=2^x\cdot 8=8\cdot 2^x$

$2^{x+3}\ge 2^5$ $\to$ $x+3\ge 5$ $\to$ $x\ge 2$

-

Ze vallen samen

$\frac{1}{2}\cdot 2^x=2^{x-1}$;
Rekenregels 8 en 1: $\frac{1}{2}\cdot 2^x=2^{\mathrm{‐}1}\cdot 2^x=2^{x-1}$

$2^{x-1}\ge 2^5$ $\to$ $x-1\ge 5$ $\to$ $x\ge 6$

-

Horizontaal vermenigvuldigen ten opzichte van de $y$-as met factor $\frac{1}{3}$

$8^x=2^{3x}$;
Rekenregel 3: $8^x={\left(2^3\right)}^x=2^{3x}$

$2^{3x}\ge 2^5$ $\to$ $3x\ge 5$ $\to$ $x\ge \frac{5}{3}$

-

De grafiek spiegelen in de $y$-as en daarna $1$ naar rechts te verschuiven. Spiegelen in de lijn $x=\frac{1}{2}$ kan ook.

$y=2^x\cdot 2^{1-x}=2^{x+1-x}=2$, dus de constante functie $y=2$

$2^x=2^{1-x}$ $\to$ $x=1-x$ $\to$ $x=\frac{1}{2}$, dus snijpunt $(\frac{1}{2},\sqrt{2})$

Het zijn allemaal horizontale verschuivingen van elkaar.

Invullen: $\mathrm{‐}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot 3^{2-p}-5$ $\to$ $4\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot 3^{2-p}$ $\to$ $9=3^{2-p}$ $\to$ $3^2=3^{2-p}$ $\to$ $2-p=2$ $\to$ $p=0$

Het zijn allemaal verticale verschuivingen van elkaar.

Invullen: $1=p-3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{‐}1}$ $\to$ $1=p-3\cdot {\left(2^{‐1}\right)}^{‐1}$ $\to$ $1=p-3\cdot 2$ $\to$ $p=7$