Voorbeeld:

De vergelijking $2^{x} = 8$ kun je onmiddellijk oplossen.
Immers, duidelijk is dat $x = 3$ aan de vergelijking voldoet (want $2^{3} = 8$ ) en ook dat $3$ het enige getal is met die eigenschap.

Maar dan weet je automatisch ook de oplossing van de vergelijking $2^{x - 1} = 8$ als volgt:
$2^{x - 1} = 2^{3}$
$x - 1 = 3$
$x = 4$

Bereken exact (zoals in het voorbeeld) voor welke $x$ geldt:

$2^{x + 7} = 8$

$2^{7 x} = 16$

$2^{‐ x} = 64$

$2^{\frac{1}{x}} = 8$

Bereken exact voor welke $x$ geldt:

$3^{x} = \frac{1}{3}$

$3^{x - 5} = \frac{1}{3}$

$3^{5 x} = \frac{1}{9}$

$3^{5 - 2 x} = \frac{1}{81}$

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2} x} = 50$

$\frac{100}{5^{3 x + 1}} = 500$

$6^{x} = 9 \cdot 2^{x}$

(hint)

Deel links en rechts door

2^{x}

en gebruik een rekenregel.

$8 \cdot 3^{x} = 2 \cdot {1,5}^{x}$

$f (x) = 4^{‐ x}$ en $g (x) = 2^{x + 1}$

Teken in één window de grafieken van $f$ en $g$ .

Bereken met je GR de $x$ -coördinaat van het snijpunt van de grafieken, afgerond op 3 decimalen.

Met je rekenmachine heb je berekend dat voor het snijpunt van de grafieken waarschijnlijk geldt $x = ‐ \frac{1}{3}$ .
Maar dat weet je niet zeker.
Of $x = ‐ \frac{1}{3}$ precies goed is, kun je nagaan door $f (‐ \frac{1}{3})$ en $g (‐ \frac{1}{3})$ exact uit te rekenen.

Zijn $f (‐ \frac{1}{3})$ en $g (‐ \frac{1}{3})$ exact gelijk?

(hint)

Gebruik de rekenregels voor machten.

Voorbeeld:

We kunnen de vergelijking $f (x) = g (x)$ uit opgave 30 voor het vinden van het snijpunt van de grafieken ook algebraïsch oplossen. Dat gaat als volgt.

$f (x)$	$=$	$g (x)$
$4^{‐ x}$	$=$	$2^{x + 1}$	grondtallen gelijk maken
${(2^{2})}^{‐ x}$	$=$	$2^{x + 1}$	haakjes weg
$2^{‐ 2 x}$	$=$	$2^{x + 1}$	grondtallen weglaten (zie kader)
$‐ 2 x$	$=$	$x + 1$
$‐ 3 x$	$=$	$1$
$x$	$=$	$‐ \frac{1}{3}$

$f (x) = 2^{x + 3}$ en $g (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$

Teken in één window de grafieken van $f$ en $g$ .

Bereken met de GR het snijpunt van de twee grafieken.

Bereken ook algebraïsch de coördinaten van het snijpunt (dus op de manier van het voorbeeld hierboven).

Voor welke $x$ geldt: $f (x) < g (x)$ ?

Bereken exact voor welke $x$ geldt:

$3^{2 x - 1} = \frac{1}{9^{x}}$

$\frac{1}{8} \cdot 2^{x} = {(\frac{1}{4})}^{x + 1}$

$f (x) = \frac{1}{3} \cdot 9^{x - 2}$ en $g (x) = {(\sqrt{3})}^{x}$

Teken in één window de grafieken van $f$ en $g$ .

Bereken met de GR het snijpunt van de twee grafieken.

Bereken exact de coördinaten van het snijpunt.

Voor welke $x$ geldt: $f (x) \geq g (x)$ ?

Een petrischaaltje met bacteriën staat in een oventje met de temperatuur zodanig ingesteld dat het aantal bacteriën per $40$ minuten verdubbelt.
Noem de groeifactor per uur $g$ .

Leg uit dat geldt: $g^{\frac{2}{3}} = 2$ .

De groeifactor $g$ bereken je nu als volgt:

$g^{\frac{2}{3}}$	$=$	$2$	nodig $g = g^{1}$
${(g^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$	$=$	$2^{\frac{3}{2}}$	want $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$
$g$	$=$	$2^{\frac{3}{2}} (\approx 2,828)$

Door de temperatuur van het oventje anders in te stellen, verdubbelt het aantal bacteriën in $50$ minuten.

Bereken de groeifactor per uur, zowel exact als afgerond op 3 decimalen.

Laat met een rekenregel voor machten zien dat $7^{2 \frac{1}{2}}$ oplossing van de vergelijking $x^{\frac{2}{5}} = 7$ .

Welk getal is oplossing van de vergelijking $x^{‐ 2 \frac{1}{2}} = 7$ ?

Als $x^{b} = a$ dan $x = a^{\frac{1}{b}}$ .
Hierbij worden $x$ en $a$ positief verondersteld en $b \neq 0$ .

Los algebraïsch op; geef het antwoord afgerond op drie decimalen:

$x^{\frac{4}{5}} = 2$	$z^{1,4} = 2$
$a^{‐ 0,3} = 2$	$b^{‐ 1 \frac{2}{3}} = 5$
$c^{‐ 1 \frac{2}{3}} = 1$	$d^{‐ 3 \frac{1}{4}} = 0$
$3 \cdot p^{2 \frac{1}{3}} = 12$	$\frac{100}{q^{1,2}} = 5$

Zeppelins
Af en toe zie je ze nog wel als reclamemiddel, zulke sigaarvormige luchtschepen. In de jaren dertig van de vorige eeuw werden ze als luxe vervoermiddel gebruikt. Een probleem was dat het draaggas door de huid van het luchtschip ontsnapte. Een verlies van $50 %$ per $10$ dagen was normaal.

Een zeppelin heeft op tijdstip $0$ nog $100.000$ m³ draaggas. De hoeveelheid draaggas na $t$ dagen noemen we $G (t)$ (in duizenden m³).
We gaan uit van een verlies van $50 %$ per $10$ dagen.
Noem de groeifactor per dag $g$ .

Laat zien dat geldt $g = 2^{‐ 0,1}$ .
Geef ook de waarde van $g$ afgerond op 3 decimalen.

Hoeveel procent van het draaggas gaat verloren in $12$ dagen?

Er geldt $G (t) = 100 \cdot {(2^{‐ 0,1})}^{t} = 100 \cdot 2^{‐ 0,1 t}$ .

Bereken na hoeveel dagen $25 %$ van het draaggas verloren is gegaan.

Een vergelijking als $100 \cdot 2^{‐ 0,1 t} = 75$ heb je opgelost met je rekenmachine. Dat lukt niet algebraïsch. Hoe je zo'n vergelijking snel exact en in vele decimalen nauwkeurig op kunt lossen is onderwerp van de volgende paragrafen.