Een bacteriekolonie verdubbelt elk uur. Op een gegeven moment zijn er $500$ bacteriën.
Hoelang duurt het voordat de kolonie is uitgegroeid tot $3000$ bacteriën?
Het beantwoorden van deze vraag komt neer op het oplossen van de vergelijking $500 \cdot 2^{t} = 3000$ , ofwel van $2^{t} = 6$ .
$t = 2$ is te klein en $t = 3$ is te groot. Het zit er ergens tussenin.

Denk even terug naar de 1^e en 2^e klas: toen kreeg je de vergelijking $x^{2} = 6$ . Die kon je ook niet (exact) oplossen.
Toen werd de 'wortel' geïntroduceerd: $x = \sqrt{6}$ (of $x = ‐ \sqrt{6}$ ).
En voor de vergelijking $x^{3} = 6$ werd ook iets nieuws 'bedacht': $x = \sqrt[3]{6}$ .
Iets soortgelijks doen wij voor de vergelijking $2^{t} = 6$ .

De exacte oplossing van de vergelijking $2^{t} = 6$ noemen we $t = {}^{2} \log (6)$ .
Spreek dat uit als "de 2-logaritme van 6", of korter "2-log 6".
Dus:
${}^{2} \log (6)$ is de tijdsduur waarin het aantal bacteriën $6$ keer zo groot wordt, bij groeifactor $2$ .

Opmerking:

Internationaal wordt een andere notatie gebruikt, waarbij het grondtal (groeifactor) op een andere plaats wordt aangegeven: $\log_{2} (6)$ .

Bereken met je GR (met intersect of solver) de oplossing van de vergelijking $2^{t} = 6$ in 3 decimalen nauwkeurig.

Jouw GR heeft een mogelijkheid om ${}^{2} \log (6)$ uit te rekenen.

Zoek uit hoe dat op jouw GR werkt en controleer of je dezelfde uitkomst krijgt als zojuist.

Geef de exacte oplossing van de vergelijking $5^{t} = 10$ .
Geef ook een benadering van de oplossing in 3 decimalen.

Vul in:
$t = {}^{3} \log (7,5)$ is de oplossing van de vergelijking ${(...)}^{t} = ...$ .
Ofwel: ${}^{3} \log (7,5)$ is de tijdsduur waarin het aantal bacteriën $...$ keer zo groot wordt, bij groeifactor $...$ .

Vul in:
${}^{3} \log (81)$ is de oplossing van de vergelijking ${(...)}^{t} = ...$ .
Ofwel: ${}^{3} \log (81)$ is de tijdsduur waarin het aantal bacteriën $...$ keer zo groot wordt, bij groeifactor $...$ .

Hoe groot is ${}^{3} log (81)$ dus?

Een kolonie bacteriën verdubbelt elk uur. ${}^{2} \log (8)$ is het aantal uur dat het duurt voordat deze kolonie bacteriën precies $8$ keer zo groot is. Dat getal is dus exact $3$ .

Geef zo ook de exacte waarden van de volgende logaritmen. Gebruik je rekenmachine alleen maar om je antwoord te controleren.

${}^{2} \log (4)$	${}^{2} \log (\frac{1}{2})$
${}^{2} \log (32)$	${}^{2} \log (\frac{1}{4})$
${}^{2} \log (2)$	${}^{2} \log (1)$
${}^{2} \log (1024)$	${}^{2} \log (\sqrt{2})$

Neem over en vul op de juiste plaatsen de woorden "groeifactor", "tijdsduur" en "vergrotingsfactor" in.

In een sterk verontreinigd meer neemt de hoeveelheid licht per meter die je duikt af met $50 %$ . We gaan ons de volgende vraag stellen: Hoeveel meter moet je duiken voordat er nog maar $15 %$ van de hoeveelheid licht over is?

Noteer het antwoord op deze vraag met behulp van een logaritme: ${}^{...} \log (...)$ .
Op hoeveel cm diepte is dat?

Schrijf precies op wat in deze context de betekenis is van: ${}^{0,5} \log (0,32)$ .

${}^{0,5} \log (0,125)$ is het aantal meter dat je moet duiken voordat de hoeveelheid licht $0,125$ keer zo groot is. Dat getal is dus exact $3$ .

Geef zo ook de exacte waarden van de volgende logaritmen. Gebruik je rekenmachine alleen maar om je antwoorden te controleren.

${}^{0,5} \log (0,5)$	${}^{0,5} \log (4)$
${}^{0,5} \log (0,25)$	${}^{0,5} \log (32)$
${}^{0,5} \log (1)$	${}^{0,5} \log (2)$

Neem over en vul op de juiste plaatsen de woorden "groeifactor", "tijdsduur" en "vergrotingsfactor" in.

We bekijken een exponentieel groeiproces met groeifactor $g$ .
${}^{g} \log (x)$ is de tijdsduur die nodig is om de hoeveelheid $x$ keer zo groot te laten worden.
$g^{t} = x$ is gelijkwaardig met ${}^{g} log (x) = t$ .
We nemen de getallen $g$ en $x$ positief en $g \neq 1$ .

Opmerking:

Logaritmen kun je dus onmiddellijk vertalen naar exponenten. Hieronder staan drie equivalanties: elke rekenzin met logaritme betekent precies hetzelfde als de rekenzin met exponenten die ernaast staat.

${}^{3} log (729) = 6$	$\Leftrightarrow$	$3^{6} = 729$
${}^{9} log (x) = 1,5$	$\Leftrightarrow$	$9^{1,5} = x$
${}^{p} log (100) = 2$	$\Leftrightarrow$	$p^{2} = 100$

Bepaal de positieve getallen $x$ en $p$ hierboven.

Los exact op voor $x > 0$ :

${}^{2} log (x) = 8$	${}^{8} log (x) = 2$
${}^{2} log (8) = x$	${}^{8} log (2) = x$
${}^{x} log (2) = 8$	${}^{x} log (8) = 2$

De logaritme met grondtal $10$ , dus ${}^{10} log (...)$ wordt erg vaak gebruikt. Zelfs zó vaak, dat afgesproken is dat het weggelaten mag worden en er een apart knopje voor op je rekenmachine zit.
Je bent het waarschijnlijk ook al tegengekomen bij de vakken natuurkunde en/of scheikunde (als je die vakken hebt).

$\log (...)$ betekent ${}^{10} log (...)$ .

Voorbeeld:

$\log (100) = {}^{10} log (100) = 2$ , want $10^{2} = 100$ .
$\log (0,001) = {}^{10} log (0,001) = ‐ 3$ , want $10^{‐ 3} = \frac{1}{1000} = 0,001$ .

Nieuwe getallen

Soms komen logaritmen mooi uit. Zo is ${}^{3} log (9)$ geen nieuw getal: het is een andere schrijfwijze voor het getal $2$ .
Meestal komen logaritmen niet mooi uit. Zo kenden we het getal ${}^{3} log (10)$ nog niet. En het is wel even wennen aan nieuwe getallen. Zoiets heb je al eerder ervaren, namelijk toen je in de derde klas kennis maakte met wortels; en al op de basisschool toen je voor het eerst met breuken ging werken. Eigenlijk is er nu weer hetzelfde aan de hand. Vergelijk maar eens de vragen over breuken, wortels en logaritmen in de volgende opgave.

Welke getallen zijn geheel, welke niet?

$\frac{12}{3}$ , $\frac{11}{3}$ , $\sqrt[3]{8}$ , $\sqrt[3]{7}$ , ${}^{3} log (9)$ , ${}^{3} log (8)$ , $\log (0,01)$

Voorbeeld:

De volgende aanpak is vaak erg handig om exponentiële vergelijkingen op te lossen.
We willen ${}^{\frac{1}{2}} \log (8)$ berekenen. Noem dit getal even $t$ . Dan:
${(\frac{1}{2})}^{t} = 8$
$2^{‐ t} = 2^{3}$
$t = 3$ , dus ${}^{\frac{1}{2}} \log (8) = 3$

Voorbeeld
Bereken ${}^{\sqrt{27}} \log (\frac{1}{27} \sqrt{3})$ . Noem het getal weer $t$ .
${(\sqrt{27})}^{t} = \frac{1}{27} \sqrt{3}$
${({(3^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{t} = 3^{‐ 3} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$
$3^{1 \frac{1}{2} t} = 3^{‐ 2 \frac{1}{2}}$
$1 \frac{1}{2} t = ‐ 2 \frac{1}{2}$
$t = ‐ \frac{5}{3}$ , dus ${}^{\sqrt{27}} \log (\frac{1}{27} \sqrt{3}) = ‐ \frac{5}{3}$

Bereken zo ook de volgende logaritmen zonder rekenmachine.

${}^{7} log (1)$	${}^{7} log (7 \sqrt{7})$	${}^{7} log (\frac{1}{49})$
${}^{\frac{1}{2}} log (\frac{1}{8})$	${}^{\frac{1}{2}} log (32)$	${}^{\frac{1}{2}} log (1)$
${}^{1 \frac{1}{2}} log (\frac{2}{3})$	${}^{1 \frac{1}{2}} log (\frac{4}{9})$	${}^{1 \frac{1}{2}} log (2 \frac{1}{4})$
${}^{0,1} log (10)$	${}^{0,1} log (0,001)$	${}^{0,1} log (\sqrt{10})$
${}^{g} log (1)$	${}^{g} log (g)$	${}^{g} log (\frac{1}{g})$
${}^{g} log (\sqrt[3]{g})$	${}^{g} log (\frac{1}{\sqrt{g}})$	${}^{g} log (g^{7})$

Opmerking:

De functies [MAAL $3$ ] en [DEEL DOOR $3$ ] zijn elkaars inverse. Dat betekent het volgende.

In woorden

Als je op een getal eerst de ene functie laat werken en daarna op de uitkomst de andere functie, dan krijg je het oorspronkelijke getal terug.

In machientjestaal

$x \to$ [MAAL $3$ ] $\to$ [DEEL DOOR $3$ ] $\to x$
$x \to$ [DEEL DOOR $3$ ] $\to$ [MAAL $3$ ] $\to x$

In formuletaal

$(x \cdot 3) : 3 = x$
$(x : 3) \cdot 3 = x$

Bereken zonder rekenmachine:

$\frac{2015}{3} \cdot 3$	$\frac{π}{3} \cdot 3$
$\frac{2015 \cdot 3}{3}$	$\frac{π \cdot 3}{3}$

[ $3$ -de MACHTSWORTEL] en [TOT DE MACHT $3$ ] zijn elkaars inverse.

Zeg op drie manieren wat dat betekent: in woorden, in machientjestaal en in formuletaal.

Bereken exact zonder rekenmachine:

${(\sqrt[3]{2015})}^{3}$	${(\sqrt[3]{π})}^{3}$
$\sqrt[3]{2015^{3}}$	$\sqrt[3]{π^{3}}$

[ $3$ TOT DE MACHT _] en [ $3$ LOG VAN _] zijn elkaars inverse.

Zeg op drie manieren wat dat betekent: in woorden, in machientjestaal en in formuletaal.

Bereken exact zonder rekenmachine:

${}^{3} log (3^{2015})$	${}^{3} log (3^{π})$
$3^{{}^{3} log (2015)}$	$3^{{}^{3} log (π)}$

Algemeen
$g^{{}^{g} log (x)} = x$ en ${}^{g} log (g^{x}) = x$ .
$g$ heet het grondtal van de logaritme.

We controleren deze twee formules nog eens voor drie gevallen die mooi uitkomen.

Bereken zonder rekenmachine:

${}^{2} log (8)$	${}^{2} log (\frac{1}{4})$	${}^{0,1} log (10)$
$2^{{}^{2} log (8)}$	$2^{{}^{2} log (\frac{1}{4})}$	${0,1}^{{}^{0,1} log (10)}$

Bereken zonder rekenmachine:

$2^{5}$	$2^{‐3}$	${0,1}^{2}$
${}^{2} log (2^{5})$	${}^{2} log (2^{‐3})$	${}^{0,1} log ({0,1}^{2})$

Het grondtal van een logaritme kan niet elk getal zijn.

Probeer maar eens uit te rekenen wat ${}^{1} log (7)$ , ${}^{0} log (7)$ en ${}^{‐7} log (7)$ zouden moeten zijn. Waarom lukt dat niet?

Ook kun je niet van elk getal de logaritme nemen.

Probeer maar eens uit te rekenen wat ${}^{2} log (‐ 4)$ en ${}^{2} log (0)$ zouden moeten zijn.
Waarom lukt dat niet?

Afspraak
${}^{g} log (x)$ bestaat alleen als $x > 0$ en $g > 0$ en $g \neq 1$ .

John Napier

John Napier, ook bekend onder de naam John Neper (Edinburgh, 1550-1617), was een Schotse wiskundige die vooral naam heeft gemaakt met zijn uitvinding van de logaritmen. John studeerde enige tijd aan de St Andrews universiteit maar verbleef ook geruime tijd in andere landen van Europa. Hij was een overtuigd protestant en vooral gepassioneerd door de theologie. In 1593 publiceerde hij een religieus werk met de titel Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John dat in het Nederlands, Frans en Duits werd vertaald zodat hij ook bekend werd op het vasteland. De wiskunde beoefende hij voornamelijk als een liefhebberij.
Bron: Wikipedia

Tenslotte
Op je GR zit een functie om een logaritme met een grondtal ongelijk aan $10$ uit te rekenen, maar met een 'gewone' rekenmachine kan dat (meestal) niet.
Op zo'n rekenmachine zit dan alleen een knopje met 'log', ofwel met de $10$ -log.
Hoe kun je dan toch bijvoorbeeld ${}^{2} \log (3)$ uitrekenen?
Zonder uit te leggen waarom deze manier werkt, geven wij een formule waarmee je dit op zo'n rekenmachine uit kunt rekenen.

Formule: ${}^{g} \log (x) = \frac{\log (x)}{\log (g)}$

Dus om ${}^{2} \log (3)$ uit te rekenen, tik je in $\frac{\log (3)}{\log (2)}$ .
Deze manier werkt natuurlijk ook op je GR!

Benader met je (gewone of grafische) rekenmachine in drie decimalen:

${}^{4} \log (5)$	${}^{0,25} \log (25)$
${}^{6} \log (\frac{1}{5})$	${}^{\sqrt{2}} \log (\sqrt{3})$