Bereken in één decimaal nauwkeurig: ${}^{2} \log (3)$ , ${}^{2} \log (5)$ en ${}^{2} \log (15)$ .

Welk verband lijkt te bestaan tussen deze drie logaritmen?

Iemand denkt dat ${}^{2} \log (3) + {}^{2} \log (5) = {}^{2} \log (8)$ .
Wat denk jij?

Als je vermoeden van vraag b juist is, wat staat er dan op de plaats van de puntjes hieronder?
${}^{3} \log (4) + {}^{3} \log (10) = {}^{3} \log (...)$ .
Controleer je vermoeden met je rekenmachine door de getallen op 2 decimalen af te ronden.

We korten even af: ${}^{2} \log (3) = a$ , ${}^{2} \log (5) = b$ en ${}^{2} \log (15) = c$ .

Vul in.
Dan geldt: $2^{a} = ...$ , $2^{b} = ...$ en $2^{c} = ...$ .

Leg uit hoe hier uit volgt dat $a + b = c$ .

Klopt dit met je vermoeden in opgave 50b?

Een bacteriekolonie groeit exponentieel met groeifactor $2$ per uur.

In hoeveel uur wordt de kolonie $8$ keer zo groot?
En in hoeveel uur $2$ keer zo groot?
En in hoeveel uur $8 \cdot 2 = 16$ keer zo groot?

Conclusie

Als je de vergrotingen vermenigvuldigt:	$8 \cdot 2 = 16$
dan moet je de tijdsduren optellen:	$3 + 1 = 4$

In hoeveel uur wordt de kolonie $4$ keer zo groot?
En in hoeveel uur $\sqrt{2}$ keer zo groot?
En in hoeveel uur $4 \cdot \sqrt{2}$ keer zo groot?

Conclusie

Als je de vergrotingen vermenigvuldigt:	$4 \cdot \sqrt{2}$
dan moet je de tijdsduren optellen:	$2 + \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2}$

In $x$ uur wordt de kolonie $a$ en (daarna) in $y$ uur $b$ keer zo groot.
In hoeveel uur wordt de kolonie $a \cdot b$ keer zo groot?

Conclusie
${}^{2} log (a) + {}^{2} log (b) = {}^{2} log (a \cdot b)$ .

Algemeen: ${}^{g} log (a) + {}^{g} log (b) = {}^{g} log (a \cdot b)$
Dit is de hoofdeigenschap van logaritmen.

We controleren de hoofdeigenschap voor enkele gevallen.

Bereken ${}^{5} log (625) + {}^{5} log (\frac{1}{5})$ op twee manieren, beide zonder rekenmachine.

Door ${}^{5} log (625)$ en ${}^{5} log (\frac{1}{5})$ apart uit te rekenen.
Door ${}^{5} log (625) + {}^{5} log (\frac{1}{5})$ met de hoofdeigenschap eerst te schrijven als ${}^{5} log (...)$ .

Bereken op twee manieren met je rekenmachine:
$log (20) + log (5)$ en $log (5) + log (\frac{1}{2})$ .

Bereken zonder rekenmachine; gebruik de hoofdeigenschap. Schrijf telkens minstens één tussenstap op.

${}^{3} log (6) + {}^{3} log (1 \frac{1}{2})$	${}^{5} log (2 \frac{1}{2}) + {}^{5} log (0,08)$
${}^{\frac{1}{4}} log (0,4) + {}^{\frac{1}{4}} log (10)$	${}^{30} log (2) + {}^{30} log (3) + {}^{30} log (5)$
${}^{2} log (\frac{1}{4} x) + {}^{2} log (\frac{1}{x})$	${}^{2} log (5^{x}) + {}^{2} log (5^{‐ x})$

Opmerking:

Uit de hoofdeigenschap kun je andere eigenschappen van logaritmen afleiden.
Aan het begin van de paragraaf hebben wij gezien dat ${}^{2} \log (3) + {}^{2} \log (5) = {}^{2} \log (15)$ ,
dus:
${}^{2} \log (15) - {}^{2} \log (3) = {}^{2} \log (5)$ .

Algemeen: ${}^{g} \log (a) - {}^{g} \log (b) = {}^{g} \log (\frac{a}{b})$

Bereken zonder rekenmachine. Schrijf telkens minstens één tussenstap op.

${}^{4} log (640) - {}^{4} log (10)$	${}^{5} log (2 \frac{1}{2}) - {}^{5} log (\frac{1}{2})$
${}^{0,7} log (10) - {}^{0,7} log (7)$	${}^{7} log (84 x) - {}^{7} log (2 x) - {}^{7} log (6)$
${}^{5} log (6) - {}^{5} log (5) - {}^{5} log (3) - {}^{5} log (2)$	${}^{3} log (27^{100}) - {}^{3} log (9^{100})$

Opmerking:

Er volgt nog een interessante formule uit de hoofdeigenschap. Kijk maar:
${}^{2} \log (x) + {}^{2} \log (x) + {}^{2} \log (x) = {}^{2} \log (x \cdot x \cdot x)$ ,
dus: $3 \cdot {}^{2} \log (x) = {}^{2} \log (x^{3})$ .

Algemeen: ${}^{g} \log (x^{p}) = p \cdot {}^{g} \log (x)$

En deze rekenregel geldt niet alleen voor gehele waarden van $p$ , maar voor alle waarden van $p$ .

Controleer deze rekenregel met je rekenmachine in de volgende gevallen:
$log (1000^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot log (1000)$
en $log (7^{4}) = 4 \cdot log (7)$ .

Bereken zonder rekenmachine; schrijf ook je tussenstappen op.

${}^{4} log (2^{11})$	${}^{3} log ({(\frac{1}{9})}^{11})$
${}^{\frac{1}{4}} log (2^{11})$	${}^{\frac{1}{3}} log ({(\frac{1}{9})}^{11})$

Leg uit hoe uit de laatste rekenregel volgt:
${}^{g} log (\frac{1}{x}) = ‐ {}^{g} log (x)$ .

Van de getallen $a$ , $b$ en $c$ is gegeven:
${}^{a} log (b) = 5$ en ${}^{a} log (c) = 3$ .
Bereken met behulp van de rekenregels, schrijf tussenstappen op:

${}^{a} log (b^{2})$	${}^{a} log (b c)$
${}^{a} log (b \sqrt{c})$	${}^{a} log (b^{2} c^{3})$
${}^{a} log (\frac{b}{c})$	${}^{a} log (\frac{1}{c})$
${}^{a} log (\frac{1}{b^{3}})$	${}^{a} log (\sqrt{b c})$

Opmerking:

Je kunt nog meer (spelenderwijs) oefenen met de rekenregels van logaritmen met de volgende twee applets:

$a$ , $b$ en $c$ zijn positieve getallen.

Bewijs: $log (a b) + log (b c) + log (c a) = 2 log (a b c)$ .

Bewijs: $log (\frac{a}{b}) + log (\frac{b}{c}) + log (\frac{c}{a}) = 0$ .

Bereken exact voor welke $x$ geldt:

${}^{2} log (x) = 3$	${}^{3} log (x + 1) = 3$
${}^{4} log (2 x) = ‐ 3$	${}^{5} log (2 x + 1) = 3$
${}^{3} log (\sqrt{x}) = 2$	${}^{2} log (x^{2} - 1) = 3$
${}^{5} log (\frac{1}{x}) = ‐ 2$	${}^{2} log (x^{2} - 2 x) = 3$

Bereken exact voor welke $x$ geldt:

$\log (x) = 3 \cdot \log (6)$	$3 \cdot \log (x) = \log (6)$
$2 \cdot \log (\frac{1}{x}) = 3 \cdot \log (4)$	$\log (6) + \log (\frac{1}{x}) = \log (x)$

Bereken exact voor welke $x$ geldt:

${}^{2} \log (x) + {}^{2} \log (8) = {}^{2} \log (12)$
${}^{2} \log (95) - {}^{2} \log (x) = {}^{2} \log (5)$
${}^{5} \log (x) - {}^{5} \log (2) = {}^{5} \log (7)$
$\log (x) + \log (40) = 4$
$\log (x) - \log (5) = 1 + \log (7)$
${}^{2} \log (x) - {}^{2} \log (3) = {}^{2} \log (12) - {}^{2} \log (x)$