10.5  Rekenregels logaritmen >
1
a

Bereken in één decimaal nauwkeurig: 2 log ( 3 ) , 2 log ( 5 ) en 2 log ( 15 ) .

b

Welk verband lijkt te bestaan tussen deze drie logaritmen?

c

Iemand denkt dat 2 log ( 3 ) + 2 log ( 5 ) = 2 log ( 8 ) .
Wat denk jij?

d

Als je vermoeden van vraag b juist is, wat staat er dan op de plaats van de puntjes hieronder?
3 log ( 4 ) + 3 log ( 10 ) = 3 log ( ... ) .
Controleer je vermoeden met je rekenmachine door de getallen op 2 decimalen af te ronden.

2

We korten even af: 2 log ( 3 ) = a , 2 log ( 5 ) = b en 2 log ( 15 ) = c .

a

Vul in.
Dan geldt: 2 a = ... , 2 b = ... en 2 c = ... .

b

Leg uit hoe hier uit volgt dat a + b = c .

c

Klopt dit met je vermoeden in opgave 50b?

3

Een bacteriekolonie groeit exponentieel met groeifactor 2 per uur.

a

In hoeveel uur wordt de kolonie 8 keer zo groot?
En in hoeveel uur 2 keer zo groot?
En in hoeveel uur 8 2 = 16 keer zo groot?

Conclusie

Als je de vergrotingen vermenigvuldigt:

8 2 = 16

dan moet je de tijdsduren optellen:

3 + 1 = 4

b

In hoeveel uur wordt de kolonie 4 keer zo groot?
En in hoeveel uur 2 keer zo groot?
En in hoeveel uur 4 2 keer zo groot?

Conclusie

Als je de vergrotingen vermenigvuldigt:

4 2

dan moet je de tijdsduren optellen:

2 + 1 2 = 2 1 2

c

In x uur wordt de kolonie a en (daarna) in y uur b keer zo groot.
In hoeveel uur wordt de kolonie a b keer zo groot?

Conclusie
2 log ( a ) + 2 log ( b ) = 2 log ( a b ) .

Algemeen: g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( a b )
Dit is de hoofdeigenschap van logaritmen.

4

We controleren de hoofdeigenschap voor enkele gevallen.

a

Bereken 5 log ( 625 ) + 5 log ( 1 5 ) op twee manieren, beide zonder rekenmachine.

  1. Door 5 log ( 625 ) en 5 log ( 1 5 ) apart uit te rekenen.

  2. Door 5 log ( 625 ) + 5 log ( 1 5 ) met de hoofdeigenschap eerst te schrijven als 5 log ( ... ) .

b

Bereken op twee manieren met je rekenmachine:
log ( 20 ) + log ( 5 ) en log ( 5 ) + log ( 1 2 ) .

5

Bereken zonder rekenmachine; gebruik de hoofdeigenschap. Schrijf telkens minstens één tussenstap op.

3 log ( 6 ) + 3 log ( 1 1 2 )

5 log ( 2 1 2 ) + 5 log ( 0,08 )

1 4 log ( 0,4 ) + 1 4 log ( 10 )

30 log ( 2 ) + 30 log ( 3 ) + 30 log ( 5 )

2 log ( 1 4 x ) + 2 log ( 1 x )

2 log ( 5 x ) + 2 log ( 5 x )

Opmerking:

Uit de hoofdeigenschap kun je andere eigenschappen van logaritmen afleiden.
Aan het begin van de paragraaf hebben wij gezien dat 2 log ( 3 ) + 2 log ( 5 ) = 2 log ( 15 ) ,
dus:
2 log ( 15 ) 2 log ( 3 ) = 2 log ( 5 ) .

Algemeen: g log ( a ) g log ( b ) = g log ( a b )

6

Bereken zonder rekenmachine. Schrijf telkens minstens één tussenstap op.

4 log ( 640 ) 4 log ( 10 )

5 log ( 2 1 2 ) 5 log ( 1 2 )

0,7 log ( 10 ) 0,7 log ( 7 )

7 log ( 84 x ) 7 log ( 2 x ) 7 log ( 6 )

5 log ( 6 ) 5 log ( 5 ) 5 log ( 3 ) 5 log ( 2 )

3 log ( 27 100 ) 3 log ( 9 100 )

Opmerking:

Er volgt nog een interessante formule uit de hoofdeigenschap. Kijk maar:
2 log ( x ) + 2 log ( x ) + 2 log ( x ) = 2 log ( x x x ) ,
dus: 3 2 log ( x ) = 2 log ( x 3 ) .

Algemeen: g log ( x p ) = p g log ( x )

En deze rekenregel geldt niet alleen voor gehele waarden van p , maar voor alle waarden van p .

7
a

Controleer deze rekenregel met je rekenmachine in de volgende gevallen:
log ( 1000 1 2 ) = 1 2 log ( 1000 )
en log ( 7 4 ) = 4 log ( 7 ) .

b

Bereken zonder rekenmachine; schrijf ook je tussenstappen op.

4 log ( 2 11 )

3 log ( ( 1 9 ) 11 )

1 4 log ( 2 11 )

1 3 log ( ( 1 9 ) 11 )

c

Leg uit hoe uit de laatste rekenregel volgt:
g log ( 1 x ) = g log ( x ) .

8

Van de getallen a , b en c is gegeven:
a log ( b ) = 5 en a log ( c ) = 3 .
Bereken met behulp van de rekenregels, schrijf tussenstappen op:

a log ( b 2 )

a log ( b c )

a log ( b c )

a log ( b 2 c 3 )

a log ( b c )

a log ( 1 c )

a log ( 1 b 3 )

a log ( b c )

Opmerking:

Je kunt nog meer (spelenderwijs) oefenen met de rekenregels van logaritmen met de volgende twee applets:

9

a , b en c zijn positieve getallen.

a

Bewijs: log ( a b ) + log ( b c ) + log ( c a ) = 2 log ( a b c ) .

b

Bewijs: log ( a b ) + log ( b c ) + log ( c a ) = 0 .

10
a

Bereken exact voor welke x geldt:

2 log ( x ) = 3

3 log ( x + 1 ) = 3

4 log ( 2 x ) = 3

5 log ( 2 x + 1 ) = 3

3 log ( x ) = 2

2 log ( x 2 1 ) = 3

5 log ( 1 x ) = 2

2 log ( x 2 2 x ) = 3

b

Bereken exact voor welke x geldt:

log ( x ) = 3 log ( 6 )

3 log ( x ) = log ( 6 )

2 log ( 1 x ) = 3 log ( 4 )

log ( 6 ) + log ( 1 x ) = log ( x )

c

Bereken exact voor welke x geldt:

  • 2 log ( x ) + 2 log ( 8 ) = 2 log ( 12 )

  • 2 log ( 95 ) 2 log ( x ) = 2 log ( 5 )

  • 5 log ( x ) 5 log ( 2 ) = 5 log ( 7 )

  • log ( x ) + log ( 40 ) = 4

  • log ( x ) log ( 5 ) = 1 + log ( 7 )

  • 2 log ( x ) 2 log ( 3 ) = 2 log ( 12 ) 2 log ( x )