In de grafiek zijn de functies $y = {}^{g} \log (x)$ voor de grondtallen $g = \frac{1}{2}$ , $g = 2$ en $g = 10$ getekend.

Leg uit dat de grafieken voor elke waarde van $g$ (met $g > 0$ en $g \neq 1$ ) door het punt $(1,0)$ gaan.

Je kunt zelf op je grafische rekenmachine de functies tekenen voor deze en andere waarden van $g$ .

Wat weet je van het grondtal $g$ als de functie stijgend is?
En wat als de functie dalend is?

Welke lijn is asymptoot van elke functie $y = {}^{g} \log (x)$ ?

$y = {}^{g} \log (x)$ is de standaard logaritmische functie met grondtal $g$ (met $g > 0$ en $g \neq 1$ ).
De $y$ -as is verticale asymptoot van de grafiek.
Als $g > 1$ , dan is de functie stijgend;
als $0 < g < 1$ dan is de functie dalend.
De grafiek gaat door het punt $(1,0)$ .

We gaan in de volgende opgaven de formule van deze standaard logaritmische functie veranderen en bekijken dan wat er dan met de bijbehorende grafiek gebeurt. En andersom: als we de grafiek transformeren, wat gebeurt er dan met de formule?

Teken op je GR de grafiek van $f (x) = ‐ 4 + {}^{2} \log (x)$ .
De grafiek van $f$ is verwant met de grafiek van de logaritmische functie $y = {}^{2} \log (x)$ .

Hoe moet je de grafiek van $y = {}^{2} \log (x)$ verschuiven om de grafiek van $f$ te krijgen?

Is $f$ stijgend of dalend?

Welke lijn is asymptoot van de grafiek van $f$ ?

Welke getallen zitten in het bereik van $f$ ? En in het domein?

Bereken algebraïsch de coördinaten van het snijpunt van de grafiek van $f$ met de $x$ -as.

Laat met de rekenregels voor logaritmen zien dat geldt $f (x) = {}^{2} \log (\frac{1}{16} x)$ .

Met welke vermenigvuldiging krijg je dus de grafiek van $f$ uit de grafiek van $y = {}^{2} \log (x)$ ?

$g (x) = 2 \cdot {}^{3} \log (x + 5)$

Hoe onstaat de grafiek van $g$ uit die van $y = {}^{3} \log (x)$ ?

Welke lijn is asymptoot van de grafiek van $g$ ?

Welke getallen zitten in het bereik van $g$ ? En in het domein?

Bereken exact de $x$ -coördinaat van het punt op de grafiek van $g$ waarvoor geldt $y = ‐ 4$ .

Teken in één window de grafieken van $y = {}^{2} \log (4 x)$ en $y = {}^{2} \log (16 x)$ .

Hoe liggen de grafieken ten opzichte van elkaar?
Verklaar dit met de rekenregels.

Voor welke $x$ geldt: ${}^{2} \log (4 x) \leq 7$ ?

De grafiek van $y = b + a \cdot {}^{g} \log (x - d)$ krijg je uit de grafiek van $y = {}^{g} \log (x)$ door deze verticaal te vermenigvuldigen t.o.v. de $x$ -as met factor $a$ , daarna $b$ omhoog en $d$ naar rechts te schuiven.
De lijn $x = d$ is verticale asymptoot van de grafiek.
De grafiek gaat door het punt $(d + 1, b)$ .

De grafiek van $y = {}^{g} \log (c x)$ krijg je uit de grafiek van $y = {}^{g} \log (x)$ door deze horizontaal te vermenigvuldigen t.o.v. de $y$ -as met factor $\frac{1}{c}$ .
Omdat ${}^{g} \log (c \cdot x) = {}^{g} \log (c) + {}^{g} \log (x)$ krijg je de grafiek ook door deze met ${}^{g} \log (c)$ omhoog te schuiven.

Opmerking:

Net zoals je bij het transformeren van bijvoorbeeld sinusoïden en parabolen gezien hebt, zijn alle combinaties van horizontale en verticale transformaties mogelijk en is de volgorde vaak van belang.

Voorbeeld:

Neem de grafiek van $y = ‐ 6 + 3 \cdot \log (\frac{1}{4} x - 5)$ .
Eerst herschrijven: $y = ‐ 6 + 3 \cdot \log (\frac{1}{4} (x - 20))$ .
Je krijg deze grafiek uit de grafiek van $y = \log (x)$ door achtereenvolgens de volgende transformaties toe te passen:

verticaal vermenigvuldigen t.o.v. de $x$ -as met factor $3$
$\to$ $y = 3 \cdot \log (x)$
$6$ naar beneden schuiven
$\to$ $y = ‐ 6 + 3 \cdot \log (x)$
horizontaal vermenigvuldigen t.o.v. de $y$ -as met factor $4$
$\to$ $y = ‐ 6 + 3 \cdot \log (\frac{1}{4} x)$
$20$ naar rechts schuiven
$\to$ $y = ‐ 6 + 3 \cdot \log (\frac{1}{4} (x - 20))$ $= ‐ 6 + 3 \cdot \log (\frac{1}{4} x - 5)$

Bekijk nogmaals het voorbeeld hierboven met de functie
$y = ‐ 6 + 3 \cdot \log (\frac{1}{4} x - 5)$ .
In de uitwerking van het voorbeeld wordt eerst vermenigvuldigd en daarna verschoven (zowel horizontaal als verticaal).

Wat zijn de verschuivingen (en vermenigvuldigingen) als je eerst verschuift en daarna vermenigvuldigt? Toon de juistheid aan door de formule te geven na elke tussenstap, zoals in het voorbeeld.

Wat is de asymptoot van deze grafiek?
En de exacte coördinaten van het snijpunt met de $x$ -as?

Beschrijf (met formules bij de tussenstappen) hoe je de grafiek van $y = 5 - 3 \cdot {}^{2} \log (4 x + 10)$ krijgt uit de grafiek van $y = {}^{2} \log (x)$ .

$h (x) = \log (4 - x)$

Teken in één window de grafiek van $h$ en die van $y = \log (x)$ .

Hoe krijg je de grafiek van $h$ uit die van $y = \log (x)$ ?

Welke getallen zitten in het bereik van $h$ ? En in het domein?

Logaritmische functies kunnen we (nog) niet differentiëren, maar benaderen van de helling in een punt lukt wel.

Benader de helling van de grafiek van $h$ in het snijpunt met de $x$ -as. Rond je antwoord af op 3 decimalen.

We bekijken de bundel functies $y = 1 - {}^{3} \log (2 x - p)$ .

Hoe ontstaan de grafieken in de bundel uit elkaar?

Bereken exact voor welke waarde van $p$ de grafiek uit de bundel door het punt $(\frac{5}{12},2)$ gaat.

Voor welke waarde van $p$ is de lijn $x = ‐ 3$ asymptoot van de grafiek?

Wat is de asymptoot van $y = 1 - {}^{3} \log (2 x - p)$ ?