10.6  Logaritmische functies >
1

In de grafiek zijn de functies y = g log ( x ) voor de grondtallen g = 1 2 , g = 2 en g = 10 getekend.

a

Leg uit dat de grafieken voor elke waarde van g (met g > 0 en g 1 ) door het punt ( 1,0 ) gaan.

Je kunt zelf op je grafische rekenmachine de functies tekenen voor deze en andere waarden van g .

b

Wat weet je van het grondtal g als de functie stijgend is?
En wat als de functie dalend is?

c

Welke lijn is asymptoot van elke functie y = g log ( x ) ?

y = g log ( x ) is de standaard logaritmische functie met grondtal g (met g > 0 en g 1 ).
De y -as is verticale asymptoot van de grafiek.
Als g > 1 , dan is de functie stijgend;
als 0 < g < 1 dan is de functie dalend.
De grafiek gaat door het punt ( 1,0 ) .

We gaan in de volgende opgaven de formule van deze standaard logaritmische functie veranderen en bekijken dan wat er dan met de bijbehorende grafiek gebeurt. En andersom: als we de grafiek transformeren, wat gebeurt er dan met de formule?

2

Teken op je GR de grafiek van f ( x ) = 4 + 2 log ( x ) .
De grafiek van f is verwant met de grafiek van de logaritmische functie y = 2 log ( x ) .

a

Hoe moet je de grafiek van y = 2 log ( x ) verschuiven om de grafiek van f te krijgen?

b

Is f stijgend of dalend?

c

Welke lijn is asymptoot van de grafiek van f ?

d

Welke getallen zitten in het bereik van f ? En in het domein?

e

Bereken algebraïsch de coördinaten van het snijpunt van de grafiek van f met de x -as.

f

Laat met de rekenregels voor logaritmen zien dat geldt f ( x ) = 2 log ( 1 16 x ) .

g

Met welke vermenigvuldiging krijg je dus de grafiek van f uit de grafiek van y = 2 log ( x ) ?

3

g ( x ) = 2 3 log ( x + 5 ) .

a

Hoe onstaat de grafiek van g uit die van y = 3 log ( x ) ?

b

Welke lijn is asymptoot van de grafiek van g ?

c

Welke getallen zitten in het bereik van g ? En in het domein?

d

Bereken exact de x -coördinaat van het punt op de grafiek van g waarvoor geldt y = 4 .

4
a

Teken in één window de grafieken van y = 2 log ( 4 x ) en y = 2 log ( 16 x ) .

b

Hoe liggen de grafieken ten opzichte van elkaar?
Verklaar dit met de rekenregels.

c

Voor welke x geldt: 2 log ( 4 x ) 7 ?

De grafiek van y = b + a g log ( x d ) krijg je uit de grafiek van y = g log ( x ) door deze verticaal te vermenigvuldigen t.o.v. de x -as met factor a , daarna b omhoog en d naar rechts te schuiven.
De lijn x = d is verticale asymptoot van de grafiek.
De grafiek gaat door het punt ( d + 1, b ) .

De grafiek van y = g log ( c x ) krijg je uit de grafiek van y = g log ( x ) door deze horizontaal te vermenigvuldigen t.o.v. de y -as met factor 1 c .
Omdat g log ( c x ) = g log ( c ) + g log ( x ) krijg je de grafiek ook door deze met g log ( c ) omhoog te schuiven.

Opmerking:

Net zoals je bij het transformeren van bijvoorbeeld sinusoïden en parabolen gezien hebt, zijn alle combinaties van horizontale en verticale transformaties mogelijk en is de volgorde vaak van belang.

Voorbeeld:

Neem de grafiek van y = 6 + 3 log ( 1 4 x 5 ) .
Eerst herschrijven: y = 6 + 3 log ( 1 4 ( x 20 ) ) .
Je krijg deze grafiek uit de grafiek van y = log ( x ) door achtereenvolgens de volgende transformaties toe te passen:

  • verticaal vermenigvuldigen t.o.v. de x -as met factor 3
    y = 3 log ( x )

  • 6 naar beneden schuiven
    y = 6 + 3 log ( x )

  • horizontaal vermenigvuldigen t.o.v. de y -as met factor 4
    y = 6 + 3 log ( 1 4 x )

  • 20 naar rechts schuiven
    y = 6 + 3 log ( 1 4 ( x 20 ) ) = 6 + 3 log ( 1 4 x 5 )

5

Bekijk nogmaals het voorbeeld hierboven met de functie
y = 6 + 3 log ( 1 4 x 5 ) .
In de uitwerking van het voorbeeld wordt eerst vermenigvuldigd en daarna verschoven (zowel horizontaal als verticaal).

a

Wat zijn de verschuivingen (en vermenigvuldigingen) als je eerst verschuift en daarna vermenigvuldigt? Toon de juistheid aan door de formule te geven na elke tussenstap, zoals in het voorbeeld.

b

Wat is de asymptoot van deze grafiek?
En de exacte coördinaten van het snijpunt met de x -as?

c

Beschrijf (met formules bij de tussenstappen) hoe je de grafiek van y = 5 3 2 log ( 4 x + 10 ) krijgt uit de grafiek van y = 2 log ( x ) .

6

h ( x ) = log ( 4 x )

b

Teken in één window de grafiek van h en die van y = log ( x ) .

c

Hoe krijg je de grafiek van h uit die van y = log ( x ) ?

d

Welke getallen zitten in het bereik van h ? En in het domein?

Logaritmische functies kunnen we (nog) niet differentiëren, maar benaderen van de helling in een punt lukt wel.

e

Benader de helling van de grafiek van h in het snijpunt met de x -as. Rond je antwoord af op 3 decimalen.

7

We bekijken de bundel functies y = 1 3 log ( 2 x p ) .

a

Hoe ontstaan de grafieken in de bundel uit elkaar?

b

Bereken exact voor welke waarde van p de grafiek uit de bundel door het punt ( 5 12 ,2 ) gaat.

c

Voor welke waarde van p is de lijn x = 3 asymptoot van de grafiek?

d

Wat is de asymptoot van y = 1 3 log ( 2 x p ) ?