Hiernaast staan de grafieken van twee sinusoïden getekend.

Bepaal van beide grafieken de evenwichtswaarde, de amplitude en de periode.

Stel (met toelichting) van beide grafieken een formule op van de vorm $y = a + b \sin (c (x - d))$ .

De grafiek van de cosinus krijg je door de grafiek van de sinus een kwart periode naar links te schuiven.

Stel (met toelichting) van beide grafieken een formule op van de vorm $y = a + b \cos (c (x - d))$ .

De blauwe grafiek kun je uit de grafiek van $y = \sin (x)$ krijgen door achtereenvolgens een aantal transformaties toe te passen.

Neem onderstaande over en vul daarbij in wat er op de plaats van de puntjes komt te staan.

$y$	$=$	$\sin (x)$	Vermenigvuldigen t.o.v. de $x$ -as met factor $...$
$y$	$=$	$... \sin (x)$	Verticale verschuiving $...$
$y$	$=$	$... + ... \sin (x)$	Vermenigvuldigen t.o.v. de $y$ -as met factor $...$
$y$	$=$	$... + ... \sin (... x)$

Beschrijf op dezelfde manier als hierboven, met alle tussenstappen, hoe je de rode grafiek uit de grafiek van $y = \sin (x)$ kunt krijgen.
Let op: je hebt nu vier transformaties nodig.

Het verloop van de temperatuur kan gedurende de $24$ uren van een dag nogal grillig zijn. In vereenvoudigde vorm is het temperatuurverloop gedurende een dag redelijk te benaderen door een sinusoïde met een periode van $24$ uur.
Het KNMI hanteert voor De Bilt voor de dagen in de maand juni de volgende waarden: de maximumtemperatuur is $21,0$ °C, deze wordt bereikt om $3$ uur ’s middags; de minimumtemperatuur is $12,2$ °C.
$T$ is de temperatuur in graden Celsius op een dag in juni en $u$ het aantal uren na middernacht.

Teken een grafiek van het verloop van de temperatuur $T$ als functie van $u$ .

Stel een formule op voor het verband tussen $T$ en $u$ .

Voor een dag in april geldt bij benadering de volgende formule voor het verband tussen $T$ en $u$ :
$T = 7,6 + 4,3 \sin (\frac{π}{12} (u - 10))$ .

Bereken hoe lang het volgens deze formule op een dag in april warmer is dan $10$ °C. Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten.

Op een bepaald moment op de dag is de temperatuurstijging het sterkst.

Bereken hoe groot volgens de bovenstaande formule die sterkste stijging van de temperatuur is. Geef je antwoord in °C per minuut.

(hint)

Je moet de helling bepalen in een punt van de grafiek: welk punt? Bepaal dan de helling met de juiste optie van je GR.

De vergelijking $7,6 + 4,3 \sin (\frac{π}{12} (u - 10)) = 10$ uit de vorige opgave mocht je oplossen met de GR, bijvoorbeeld met de optie intersect of de solver. Dat mag vaak, maar in havo 4 heb je ook gezien hoe je zo'n vergelijking algebraïsch kunt oplossen. Hieronder herhalen wij deze algebraïsche aanpak met twee uitgewerkte voorbeelden naast elkaar.
Let op het subtiele verschil: alleen de symmetrie is anders.

Voorbeeld:

$3 + 5 \sin (4 (x - 1)) = 2$	$3 + 5 \cos (4 (x - 1)) = 2$
Noem $t = 4 (x - 1)$ ,	Noem $t = 4 (x - 1)$ ,
dus $3 + 5 \sin (t) = 2$	dus $3 + 5 \cos (t) = 2$
$\sin (t) = ‐ \frac{1}{5}$	$\cos (t) = ‐ \frac{1}{5}$
Met $\sin^{‐ 1}$ : $t = ‐ 0,2013...$	Met $\cos^{‐ 1}$ : $t = 1,7721...$
De andere oplossing met symmetrie	De andere oplossing met symmetrie
van de sinusgrafiek:	van de cosinusgrafiek:
$t = π - ‐ 0,2013... = 3,3429...$	$t = 2 π - 1,7721... = 4,5110...$
$4 (x - 1) = ‐ 0,2013...$ of $4 (x - 1) = 3,3429...$	$4 (x - 1) = 1,7721...$ of $4 (x - 1) = 4,5110...$
$x = 0,9496...$ of $x = 1,7357...$	$x = 1,4430...$ of $x = 2,1277...$
De periode is $\frac{2 π}{4} = \frac{1}{2} π$	De periode is $\frac{2 π}{4} = \frac{1}{2} π$
Dus alle oplossingen:	Dus alle oplossingen:
$x = 0,9469... + k \cdot \frac{1}{2} π$ of $x = 1,7357... + k \cdot \frac{1}{2} π$	$x = 1,4430... + k \cdot \frac{1}{2} π$ of $x = 2,1277... + k \cdot \frac{1}{2} π$

Bereken langs algebraïsche weg voor $0 \leq x \leq 5$ de oplossingen van de volgende twee vergelijkingen. Rond je antwoorden af op 2 decimalen.

$5 - 8 \sin (2 x + 2) = 10$

$12 + 5 \cos (\frac{1}{2} π (x - 1)) = 10$

Bereken langs algebraïsche weg alle oplossingen van de volgende twee vergelijkingen. Gebruik de variabele $k$ voor een willekeurig geheel getal.

$12 - 5 \sin (π (x - 1)) = 10$

$7,6 + 4,3 \cos (\frac{π}{12} (x - 10)) = 10$

Bereken exact voor $0 \leq x \leq 10$ de oplossingen van de volgende twee vergelijkingen.

$2 + \frac{1}{4} \sin (2 x) = 2 \frac{1}{8}$

$1 - \sqrt{2} \cos (x - \frac{1}{3} π) = 2$

Controleer je antwoorden op de bovenstaande zes vergelijkingen door ze ook met de GR op te lossen.

Waterhoogte achter de dijk

Veranderingen van de waterhoogte in de rivier hebben gevolgen voor de hoogte van het grondwater in het weiland achter de dijk. Het doorgeven van de schommelingen van de waterdruk in de rivier via grondwater naar het weiland en het opzuigen en weer afstaan van water door het dijklichaam zelf, spelen daarbij een rol. Het grondwater volgt de veranderingen met enige vertraging. Van dit verschijnsel wordt in deze opgave een sterk vereenvoudigd wiskundig model gemaakt.
Stel $H_{R} = \sin (\frac{π}{6} t)$ en $H_{W} = \sin (\frac{π}{6} (t - 1))$ , waarbij
$H_{R} =$ de waterhoogte in de rivier in m;
$H_{W} =$ de hoogte grondwater in het weiland in m en
$t =$ de tijd in maanden.

Bepaal met de formules de periode van beide grafieken.

Hoe groot is volgens dit model de vertraging waarover in de tekst hierboven sprake is? Hoe krijg je (dus) de grafiek van $H_{W}$ uit die van $H_{R}$ ?

Teken in één window de grafieken van $H_{R}$ en $H_{W}$ als functie van $t$ voor $0 \leq t \leq 12$ .

In welk tijdsinterval tussen $t = 0$ en $t = 12$ stijgt het water in de rivier, terwijl het grondwater in het weiland dan juist aan het dalen is?

Op welk moment tussen $t = 0$ en $t = 12$ is het water in de rivier op z'n hoogst?
Op welk moment tussen $t = 0$ en $t = 12$ is het grondwater in het weiland op zijn hoogst?

Hoe volgt uit vraag e wanneer tussen $t = 0$ en $t = 12$ het water in de rivier en het grondwater in het weiland even hoog zijn?

Twee sinusoïden
Hieronder zijn de grafieken van de functies $f (t) = 2 \sin (\frac{1}{2} t)$ en $g (t) = \sin (1 \frac{1}{2} t)$ voor een deel getekend.

Leid uit de formules af wat de amplitudes en de periodes zijn van $f$ en $g$ .

De snijpunten van $f$ en $g$ met positieve $t$ -coördinaat worden achtereenvolgens $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ , $S_{5}$ , ... genoemd.

Bewijs dat het punt $S_{1} = (\frac{1}{3} π,1)$ zowel op de grafiek van $f$ als op de grafiek van $g$ ligt en leid hieruit de coördinaten af van $S_{2}$ , $S_{4}$ en $S_{11}$ .

Hoe ontstaat de grafiek van $f$ uit de grafiek van $\sin (t)$ ?
Hoe ontstaat de grafiek van $g$ uit de grafiek van $\sin (t)$ ?

Uit c volgt dat de grafiek van $g$ in $(0,0)$ steiler loopt dan de grafiek van $f$ . De helling van de grafiek van $g$ in $(0,0)$ is $1 \frac{1}{2}$ keer zo groot als de helling van de grafiek van $f$ in $(0,0)$ .

Leg dat uit.

Hoe moet je de amplitude van $g$ veranderen, zo dat de grafiek van de nieuwe $g$ zal raken in de oorsprong aan de grafiek van $f$ ?

Molenwieken

Een windmolen wordt af en toe nog in werking gesteld. De wieken draaien dan in een vlak dat dezelfde hoek met de grond maakt als de muren van de molen; de tangens van die hoek is $7$ . Het midden van het wiekenkruis bevindt zich op $15$ meter hoogte. De totale lengte van twee wieken die in elkaars verlengde liggen (de "vlucht") is $24,6$ meter.

Bij een bepaalde windsnelheid draaien de wieken met constante snelheid in $10$ seconden één maal rond.

Bereken in cm nauwkeurig de hoogte ten opzichte van de grond van het uiteinde van een wiek als het op z'n laagste punt is.

(hint)

Maak een schematische tekening van de situatie.

Met welke snelheid raast het uiteinde van een wiek door de lucht (in km/u)?

De hoogte (in meters) ten opzichte van de grond van het uiteinde van een wiek kan worden uitgedrukt in de tijd $t$ (in sec) met een formule van de vorm: $h = a + b \cdot \sin (c \cdot t)$ .

Bereken $a$ , $b$ en $c$ in twee decimalen nauwkeurig.

Temperatuurverloop
Het gemiddelde dagelijkse temperatuurverloop van een zekere plaats in een tropisch gebied wordt bij benadering gegeven door de sinusoïde hiernaast. $T$ is de temperatuur in graden Celsius en $t$ is de tijd in uren na middernacht.

Bepaal met behulp van de grafiek op de uitwerkbijlage het tijdstip waarop de temperatuur het snelst stijgt en bepaal die maximale stijging in graden Celsius per uur. Licht je werkwijze toe.

Stel met toelichting een formule op van de sinusoïde.

Bereken algebraïsch hoeveel procent van de dag de temperatuur boven de $30$ °C is. Rond af op een heel percentage.