1
a

Blauwe grafiek: evenwichtswaarde 2 , amplitude 3 , periode 8 ;
Rode grafiek: evenwichtswaarde 1 , amplitude 4 , periode 6

b

Blauw: y = 2 + 3 sin ( 2 π 8 ( x 0 ) ) = 2 + 3 sin ( π 4 x ) ('randpunt' bij x = 0 )
Rood: y = 1 + 4 sin ( 2 π 6 ( x 5 ) ) = 1 + 4 sin ( π 3 ( x 5 ) ) ('randpunt' bij x = 5 )
Ook goed: y = 1 4 sin ( π 3 ( x 2 ) )

c

Blauw: y = 2 + 3 cos ( 2 π 8 ( x 2 ) ) = 2 + 3 cos ( π 4 ( x 2 ) ) ('randpunt' bij x = 2 )
Rood: y = 1 + 4 cos ( 6 ( x 1 2 ) ) = 1 + 4 cos ( π 3 ( x 1 2 ) ) ('randpunt' bij x = 1 2 )

d

y

=

sin ( x )

Vermenigvuldigen t.o.v. de x -as met factor 3

y

=

3 sin ( x )

Verticale verschuiving 2 omhoog

y

=

2 + 3 sin ( x )

Vermenigvuldigen t.o.v. de y -as met factor 8 2 π = 4 π

y

=

2 + 3 sin ( π 4 x )

e

y

=

sin ( x )

Vermenigvuldigen t.o.v. de x -as met factor 4

y

=

4 sin ( x )

1 omhoog schuiven

y

=

1 + 4 sin ( x )

Vermenigvuldigen t.o.v. de y -as met factor 6 2 π = 3 π

y

=

1 + 4 sin ( π 3 x )

5 naar rechts schuiven

y

=

1 + 4 sin ( π 3 ( x 5 ) )

2
a
b

T = 16,6 + 4,4 sin ( π 12 ( u 9 ) ) (meerdere variaties hierop mogelijk)

c

7,6 + 4,3 sin ( π 12 ( u 10 ) ) = 10 oplossen met de GR geeft u 12,26 of u 19,74
( 19,74 12,26 ) 60 449 minuten

d

De stijging is het sterkst als de sinusoïde door de evenwichtsstand gaat; dit gebeurt om 10.00 uur. De temperatuur is om 10.00 uur 7,60 °C en om 10.01 uur 7,62 °C, dus de gevraagde snelheid is 0,02 °C per minuut.
Of: op de GR de grafiek tekenen en de helling bepalen bij u = 10 . Dat geeft helling 1,126 °C per uur, dus dat is 1,126 60 0,02 °C per minuut.
Nog anders: Met de GR een grafiek van de hellingfunctie maken en hiervan het maximum bepalen: 1,126 °C per uur, dus dat is 1,126 60 0,02 °C per minuut.

3
a

sin ( 2 x + 2 ) = 0,625 2 x + 2 = 0,675... of 2 x + 2 = π 0,675... = 3,816... 2 x = 2,675... of 2 x = 1,816... x = 1,337... of x = 0,908...
De periode is 2 π 2 = π , dus x = 0,91 , x = 1,80 , x = 4,05 of x = 4,95 .

b

cos ( 1 2 π ( x 1 ) ) = 0,4 1 2 π ( x 1 ) 1,982... of 1 2 π ( x 1 ) 2 π 1,982... 4,300... x 1 = 1,261... of x 1 = 2,738... x 2,26 of x 3,74
De periode is 2 π 1 2 π = 4 , dus dit zijn de enige twee oplossingen.

c

sin ( π ( x 1 ) ) = 0,4 π ( x 1 ) 0,4115... of π ( x 1 ) π 0,4115... 2,730... x 1 = 0,130... of x 1 = 0,869... x 1,130... of x 1,869...
De periode is 2 π π = 2 , dus x = 1,130... + k 2 of x = 1,869... + k 2 .

d

cos ( π 12 ( x 10 ) ) 0,558... π 12 ( x 10 ) 0,9786... of π 12 ( x 10 ) 5,3045... x 10 3,738... of x 10 20,261... x 13,738... of x 30,261...
De periode is 2 π π 12 = 24 dus x 13,738... + k 24 of x 30,261... + k 24 .

e

Herleiden tot sin ( 2 x ) = 1 2 2 x = 1 6 π + k 2 π of 2 x = π 1 6 π + k 2 π
x = 1 12 π + k π of x = 5 12 π + k π
Tussen 0 en 10 : 1 12 π , 5 12 π , 1 1 12 π , 1 5 12 π , 2 1 12 π , 2 5 12 π , 3 1 12 π

f

Herleiden tot cos ( x 1 3 π ) = 1 2 2
x 1 3 π = 3 4 π + k 2 π of x 1 3 π = 2 π 3 4 π + k 2 π
x = 1 1 12 π + k 2 π of x = 1 7 12 π + k 2 π
Tussen 0 en 10 : 1 1 12 π , 1 7 12 π , 3 1 12 π

g

-

4
a

De periode is 2 π π 6 = 12 maanden

b

De vertraging is één maand; de grafiek van H W is de grafiek van H R één (maand) naar rechts geschoven.

c
d

9 < t < 10

e

H R maximaal bij t = 3 ;
H W maximaal bij t = 4

f

Het snijpunt zit midden tussen de toppen, vanwege de symmetrie van de grafieken, dus bij t = 3 1 2 ; maar ook een halve periode verder, dus bij t = 9 1 2 .

5
a

f : amplitude = 2 en periode = 2 π 1 2 = 4 π
g : amplitude = 1 en periode = 2 π 1 1 2 = 4 3 π = 1 1 3 π

b

f ( 1 3 π ) = 2 sin ( 1 6 π ) = 2 1 2 = 1 en g ( 1 3 π ) = sin ( 1 1 2 1 3 π ) = sin ( 1 2 π ) = 1 , dus ( 1 3 π ,1 ) ligt op beide grafieken;
Met symmetrie: S 2 = ( 1 2 3 π ,1 ) , S 4 = ( 2 1 3 π , 1 ) en S 11 = ( 7 2 3 π , 1 )

c

f : door horizontale vermenigvuldiging met factor 2 (t.o.v. de verticale as) en verticale vermenigvuldiging met factor 2 (t.o.v. de t -as);
g : door horizontale vermenigvuldiging met factor 2 3 (t.o.v. de verticale as).

d

Bekijk beide hellingen ten opzichte van de helling van sin ( t ) in ( 0,0 ) :
voor f wordt deze helling vermenigvuldigd met 2 (door de verticale vermenigvuldiging) en vermenigvuldigd met factor 1 2 (door de horizontale vermenigvuldiging), dus in totaal keer 2 1 2 = 1 ;
voor g wordt deze helling vermenigvuldigd met 1 1 2 (door de horizontale vermenigvuldiging), dus is de helling van g 1 1 2 keer zo groot als die van f .

e

De grafiek van g moet t.o.v. de t -as met factor 2 3 worden vermenigvuldigd, want 2 3 1 1 2 = 1 en dan is de helling in ( 0,0 ) gelijk aan die van f .
Dus de amplitude van g moet 2 3 worden.

6
a

De hellingshoek is tan 1 ( 7 ) 81,87 ° en de lengte van de wieken zijn 12,3  m, dus 15 12,3 sin ( 81,87 ° ) 2,82  m.

b

2 π 12,3 6 463,7  m/min 27,8  km/u

c

a = 15,00 , b 12,3 sin ( 81,87 ° ) 12,18 , c = 2 π 10 0,63

7
a

Om 8 uur is de helling maximaal (ter hoogte van de evenwichtswaarde).
Teken de raaklijn in het betreffende punt; die heeft richtingscoëfficiënt 4  °C/u.

b

Het minimum = 5 , maximum = 35 , dus evenwichtswaarde = ( 5 + 35 ) 1 2 = 20 en de amplitude = 35 20 = 15 ; de periode = 24
Dus: T = 20 + 15 sin ( 2 π 24 ( t 8 ) ) = 20 + 15 sin ( π 12 ( t 8 ) )

c

20 + 15 sin ( π 12 ( t 8 ) ) = 30 sin ( π 12 ( t 8 ) ) = 2 3
π 12 ( t 8 ) 0,729... + k 2 π of π 12 ( t 8 ) π 0,729... + k 2 π
t 10,797... + k 24 of t 17,212... + k 24
Dat is 17,2126... 10,797... 24 100 % 27 % van de dag.