Op de eenheidscirkel

We herhalen kort:

In een assenstelsel maakt een punt de standaard cirkelbeweging:

de baan is de eenheidscirkel: de straal is $1$ en het middelpunt is $(0,0)$ ;
de draairichting is positief (de 'tegenklokrichting', ofwel linksom);
de snelheid is $1$ : het kogeltje legt elke tijdseenheid een afstand van $1$ lengte-eenheid af langs de cirkel;
het randpunt (dat is de positie op tijdstip $0$ ) is $(1,0)$ .

Op tijdstip $t$ is het punt op een zekere plek op de eenheidscirkel. Dan is per definitie:

$\sin (t) =$	de tweede coördinaat van deze plek;
$\cos (t) =$	de eerste coördinaat van deze plek.

Punt

P

beweegt volgens de standaard cirkelbeweging.

Ga met een berekening na dat punt $(0,6; 0,8)$ op de eenheidscirkel ligt.
Op welk tijdstip, afgerond op 2 decimalen, passeert $P$ voor het eerst dit punt?
En voor welke kleinste $t > 10$ ?

Bereken exact het eerste tijdstip $t > 100$ waarvoor $P$ zich op hoogte $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ bevindt.

Als je de $y$ -coördinaat van $P$ kent, bijvoorbeeld $y_{P} = ‐ \frac{1}{5}$ , zijn er nog twee plekken op de eenheidscirkel mogelijk.

Teken een eenheidscirkel en geef hierin beide plekken aan.
Bereken exact de $x$ -coördinaat van beide plekken.
Let op: je mag hierbij niet de bijbehorende waarde van $t$ benaderen met je GR, want dan is het niet meer exact!

(hint)

Teken een rechthoekige driehoek en gebruik de stelling van Pythagoras.

Als je de $x$ -coördinaat van $P$ kent, bijvoorbeeld $x_{P} = \frac{3}{10}$ , zijn er nog twee plekken op de eenheidscirkel mogelijk.

Teken een eenheidscirkel en geef hierin beide plekken aan.
Bereken exact de $y$ -coördinaat van beide plekken.

Als je $x = \cos (t)$ kent, zijn er (meestal) twee mogelijkheden voor de bijbehorende waarde van $y = \sin (t)$ . En andersom.
Om de plek op de eenheidscirkel helemaal vast te leggen, moet je dus zowel de sinus als de cosinus kennen.
Maar pas op: die twee hangen wel samen!

Er zijn twee plaatsen op de eenheidscirkel waarvoor de plaats wél vast ligt als je de cosinus kent.

Welke twee plaatsen zijn dat? Welke waarden van de cosinus horen hierbij?

Er zijn ook twee plaatsen op de eenheidscirkel waarvoor de plaats vast ligt als je de sinus kent.

Welke twee plaatsen zijn dat? Welke waarden van de sinus horen hierbij?

Anneke zoekt een plek op de eenheidscirkel, waarvoor
$\sin (t) = 0,9$ en $\cos (t) = 0,3$ .

Toon aan die plek niet bestaat.

Verander de waarde van $\cos (t)$ zo dat de plek wel op de eenheidscirkel ligt.

Het punt met coördinaten $(\cos (t), \sin (t))$ beweegt volgens de standaardcirkelbeweging: het ligt dus voor elke waarde van $t$ op de cirkel met middelpunt $(0,0)$ en straal $1$ .
Ofwel:
$(\cos (t), \sin (t))$ ligt op de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 1$ .
Invullen geeft:

${(\sin (t))}^{2} + {(\cos (t))}^{2} = 1$ .
Deze formule heet de Pythagoras-formule voor sinus en cosinus.

Opmerking:

Om haakjes te sparen schrijven we in het vervolg voor ${(\sin (t))}^{2}$ meestal $\sin^{2} (t)$ . Evenzo voor de cosinus.
We krijgen dan:
$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) = 1$ voor elke waarde van $t$ .

Ga met een exacte berekening (zónder GR!) na dat geldt: $\sin^{2} (\frac{1}{6} π) + \cos^{2} (\frac{1}{6} π) = 1$ .

Controleer op je rekenmachine dat geldt:
$\sin^{2} (1) + \cos^{2} (1) = 1$ .

Voor een zekere $t$ , met $0 < t < \frac{1}{2} π$ geldt $\sin (t) = 0,6$ .

Bereken exact de waarde van $\cos (t)$ .

En als $\frac{1}{2} π < t < π$ ?

Gegeven: $\sin (t) = \frac{1}{3}$ .

Bereken zonder rekenmachine de exacte waarde van $\cos (t)$ als $0 < t < \frac{1}{2} π$ .

Doe hetzelfde voor het geval $\frac{1}{2} π < t < π$ .

Als $\cos (t) = \frac{1}{3} \sqrt{5}$ zijn er twee waarden mogelijk voor $\sin (t)$ .

Bereken zonder rekenmachine exact deze waarden.

Hoe ziet de grafiek van de functie $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ eruit?
Controleer je antwoord op de GR.

Symmetrie en transformaties

Gegeven is de grafiek van

Y_{1} = \sin (x)

. Teken de grafiek ook op je GR.
Neem voor

p

een willekeurig getal.

Hoe ontstaat de grafiek van $Y_{2} = p \cdot \sin (x)$ uit de grafiek van $Y_{1}$ ?
Controleer je antwoord door voor enkele waarden van $p$ de grafiek van $Y_{2}$ op je GR te tekenen.

Dezelfde opdracht voor de grafiek van $Y_{3} = \sin (p \cdot x)$ .

Dezelfde opdracht voor de grafiek van $Y_{4} = p + \sin (x)$ .

Dezelfde opdracht voor de grafiek van $Y_{5} = \sin (x + p)$ .

Hieronder staan de grafieken getekend van
$y = \sin (x)$ en $y = \cos (x)$ .

Omdat beide functies ontstaan uit dezelfde draaibeweging langs de eenheidscirkel, waarbij de ene de eerste coördinaat en de andere de tweede coördinaat van het bewegende punt is, is te begrijpen dat de vorm van beide grafieken hetzelfde is. Je kunt ze uit elkaar krijgen door horizontale verschuivingen.

Door welke verschuiving naar links krijg je de grafiek van $y = \cos (x)$ uit de grafiek van $y = \sin (x)$ ?
En hoeveel naar rechts?
Vul in: $\cos (x) = \sin (x + ...) = \sin (x - ...)$ .

Door welke verschuiving naar links krijg je de grafiek van $y = \sin (x)$ uit de grafiek van $y = \cos (x)$ ?
En naar rechts?
Vul in: $\sin (x) = \cos (x + ...) = \cos (x - ...)$ .

We kijken in de rechthoekige driehoek (zie figuur) naar de sinus en cosinus van hoek $α$ . We meten de hoeken nu in graden.

Hoe groot is hoek $β$ ?

Druk de grootte van $\sin (β)$ en $\cos (β)$ uit in $a$ , $b$ en $c$ .

Vergelijk de uitkomsten van $\sin (β)$ en $\cos (β)$ met de uitkomsten van $\sin (α)$ en $\cos (α)$ . Wat valt je op?

Blijkbaar geldt in een rechthoekige driehoek:
$\sin (α) = \cos (90 ° - α)$ en $\cos (α) = \sin (90 ° - α)$ .
Hierbij is $0 < α < 90 °$ , want anders heb je geen rechthoekige driehoek.

Ga met je rekenmachine na of deze gelijkheden ook kloppen voor $α = 120 °$ en $α = 135 °$ .

Met de hoek $t$ in radialen krijg je:
$\sin (t) = \cos (\frac{1}{2} π - t)$ en $\cos (t) = \sin (\frac{1}{2} π - t)$ .

Teken op de GR (denk aan radialen!) in een figuur de grafieken van $y_{1} = \sin (x)$ en $y_{2} = \cos (\frac{1}{2} π - x)$ .
Evenzo van $y_{3} = \cos (x)$ en $y_{4} = \sin (\frac{1}{2} π - x)$ .
Kloppen bovenstaande gelijkheden?

We hebben nu vier formules om een sinusformule te veranderen in een cosinusformule, en omgekeerd:

$\sin (t) = \cos (\frac{1}{2} π - t)$ (denk aan 'rechthoekige driehoek')
$\cos (t) = \sin (\frac{1}{2} π - t)$ (denk aan 'rechthoekige driehoek')
$\sin (t) = \cos (t - \frac{1}{2} π)$ (denk aan 'verschuiving')
$\cos (t) = \sin (t + \frac{1}{2} π)$ (denk aan 'verschuiving')

Voorbeeld:
$y = 2 + 3 \cos (2 x - π)$ .
Schrijf deze formule in de vorm $y = a + b \sin (c x + d)$ .
Oplossing:
Noem $t = 2 x - π$ en gebruik bijvoorbeeld $\cos (t) = \sin (t + \frac{1}{2} π)$ , dat geeft $\cos (2 x - π) = \sin ((2 x - π) + \frac{1}{2} π) = \sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ , dus de hele formule wordt $y = 2 + 3 \sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ .
(Dus $a = 2$ , $b = 3$ , $c = 2$ en $d = ‐ \frac{1}{2} π$ .)

Schrijf de onderstaande formules om: een cosinus naar een sinus en omgekeerd. Controleer je antwoorden door de grafieken op je GR te tekenen.

$y = 1 + \cos (π - \frac{1}{2} x)$

$y = 3 - \sin (\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} π)$

$y = 2 - 4 \cos (\frac{π}{3} (x - 1))$

$y = 1 + 3 \sin (π (x - \frac{1}{2}))$

Tegengestelde
Hieronder staan nogmaals de grafieken van sinus en cosinus.

De grafiek van $y = \cos (x)$ is symmetrisch ten opzichte van de $y$ -as.

Wat zegt deze symmetrie over het verband tussen $\cos (‐ x)$ en $\cos (x)$ ?

De grafiek van $y = \sin (x)$ is puntsymmetrisch met de oorsprong als spiegelpunt. Zie figuur.

Wat zegt deze puntsymmetrie over het verband tussen $\sin (‐ x)$ en $\sin (x)$ ?

Probeer zonder de grafiek te tekenen te zeggen hoe de grafiek van de functie $y = \cos (x) + \cos (‐ x)$ eruit ziet.
Geef een eenvoudigere formule voor deze functie.
Controleer je antwoord door de grafiek op de GR te tekenen.

Doe hetzelfde voor de functie $y = \sin (x) + \sin (‐ x)$ .

Halve periode
Hieronder staan de grafieken getekend van
$y = \sin (x)$ en $y = \sin (x + π)$ .
De tweede (rode) grafiek krijg je door de eerste (blauwe) grafiek een halve periode naar links te verschuiven.

Je kunt de rode grafiek ook krijgen uit de blauwe grafiek door een verticale vermenigvuldiging t.o.v. de $x$ -as.

Met welke factor?
Neem over en vul in: $\sin (x + π) = ... \cdot \sin (x)$ .

En als de grafiek van $y = \sin (x)$ een halve periode naar rechts wordt verschoven, welke formule krijg je dan?

Teken op je GR de grafieken van $y_{1} = \cos (x)$ en
$y_{2} = \cos (x + π)$ .
Welk verband geldt er voor $\cos (x)$ en $\cos (x + π)$ ?
En voor $\cos (x)$ en $\cos (x - π)$ ?
Kun je dit verklaren met de eenheidscirkel?

Hoeveel moet je de grafiek van $y = 3 + 2 \sin (\frac{π}{3} (x - 3))$ verschuiven om de grafiek van $y = 3 - 2 \sin (\frac{π}{3} (x - 3))$ te krijgen?

Toppen
We bekijken de grafiek van de functie $f (x) = 1 + 3 \sin (π (x - \frac{1}{2}))$ .

Wat is de evenwichtswaarde en de amplitude?
Wat is de periode en voor welke waarde van $x$ gaat de grafiek van $f$ voor het eerst stijgend door de evenwichtsstand (dus wat is het randpunt)?

Bij de grafiek van $y = \sin (x)$ zit de eerste top (maximale waarde) rechts van de $y$ -as bij $x = \frac{1}{2} π$ , dus een kwart periode vanaf het 'randpunt' en heeft dus coördinaten $(\frac{1}{2} π,1)$ .
Dat is bij elke sinusfunctie zo: de top zit een kwart periode rechts van het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. Zie figuur.

Met behulp van het antwoord van vraag a kun je direct zeggen waar de eerste top van de grafiek van $f$ zich bevindt.

Bij welke waarde van $x$ is dat? Wat zijn de coördinaten van de eerste top?
En wat zijn de coördinaten van de volgende maximale waarde?

Geef ook de coördinaten van de eerste twee minimale waarden van de grafiek van $f$ rechts van de $y$ -as.
Controleer je antwoorden met de grafiek van $f$ op de GR.

De grafiek van een cosinusfunctie ziet er iets anders uit: de grafiek van $y = \cos (x)$ start juist in een top.

Bepaal de coördinaten van de eerste twee toppen en dalen van de grafiek van $g (x) = 2 - \cos (\frac{1}{2} (x - \frac{1}{3} π))$ .
Controleer je antwoorden met de grafiek van $g$ op je GR.

(hint)

Let op: het is een

‐ \cos

, dus het randpunt is een minimum.

Bij de sinusfunctie $y = a + b \sin (c (x - d))$ , met $b > 0$ , zit een maximale waarde bij $x = d + \frac{1}{4} \cdot \frac{2 π}{c} = d + \frac{π}{2 c}$ en dan telkens een periode $\frac{2 π}{c}$ naar links of rechts.
Een minimale waarde zit altijd een halve periode rechts of links van een maximale waarde.

Bij een cosinusfunctie is dat anders:
de grafiek van $y = a + b \cos (c (x - d))$ , met $b > 0$ , start juist in een maximale waarde, dus bij $x = d$ zit een maximum.
Ook hier geldt dat een minimale waarde altijd een halve periode rechts of links van een maximale waarde zit.

In alle gevallen (met $b > 0$ ) geldt:
De maximale waarde is $a + b$ en de minimale waarde is $a - b$ .

Opmerking:

Als de waarde van $b$ negatief is, dan gaat een sinusfunctie in het randpunt juist dalend door de evenwichtsstand en begint een cosinusfunctie in een minimum.

Schrijf bij de onderstaande formules de coördinaten op van de eerste twee punten rechts van de $y$ -as waarin de grafiek een maximale waarde heeft en van de eerste twee punten waarin de grafiek een minimale waarde heeft.
Controleer je antwoorden door de grafiek op je GR te tekenen.

$y = 2 - 4 \cos (\frac{π}{3} (x - 1))$

$y = 3 + 4 \sin (2 x + \frac{1}{3} π)$

$y = 1 + \cos (\frac{1}{2} x - \frac{1}{6} π)$

$y = 11 - 3 \sin (π (x - \frac{1}{2}))$