Domein:
De eerste top van is bij
, dus geldt nu
.
;
Er moet gelden:
, dus
.
(Controle: , dus klopt.)
De wortel bestaat niet als de uitkomst van de sinus negatief is.
Domein: , met geheel.
Wat onder de wortel staat moet maximaal zijn, dus als maximale waarde is .
of , dus , , , , , en .
, dus de grafiek is getekend op het interval .
Voor de halve cirkel geldt
, dus
;
Op de GR: en invoeren en dan het maximum bepalen van :
maximaal verschil is afgerond .
De maximale waarde is , als of ; bij .
De minimale waarde is , als ; bij .
of
of
of
of
of
of
of
of
Bijvoorbeeld:
Bijvoorbeeld: of
of
of
of
of
Minimale waarde: heeft minimale waarde , dus het minimum is ;
Maximale waarde: heeft maximale waarde , dus het maximum is .
Minimale waarde als
, dus
en
;
Maximale waarde als
, dus
en
Het interval wordt door het kwadrateren het interval , dus gevraagd is het aantal nulpunten van op het interval : per periode van zitten twee nulpunten (en eentje extra); , dus nulpunten.
Er is een verticale asymptoot als de noemer nul is, dus als
( geheel)
Minimum: als , dus
;
Maximum: als , dus
Formule lijn: , dus de coördinaten zijn
;
Anders: tussen de toppen naar rechts en naar beneden; dus naar links geeft omhoog
.
of , dus
Verschuiving naar links; asymptoten: ( geheel).
Minimum als maximaal is, dus bij ; Maximum als minimaal is, dus bij .
Toppen van
zijn en
;
Dus: top (minimum) in en ;
top (maximum) in
positief:
;
negatief:
;
De minimale waarde is in beide gevallen
Nee, want de uitkomst van de breuk kan nooit nul zijn.
Voor of , want dan wordt de noemer nul voor waarden van .
Voor punten op de eenheidscirkel geldt
en ,
dus
wordt dan
.
of ;
coördinaten: en
;
, maar deze voldoet niet ( klopt niet), dus
Eenheidscirkel snijden met de lijn geeft
, dus
;
coördinaten en
;
en
noemer nul: ( geheel)
( geheel)
Dan moet op de eenheidscirkel de - en
-coördinaat gelijk zijn, dus snijpunt van de eenheidscirkel
met de lijn
.
, dus
;
geeft ;
geeft
geeft ;
geeft
, en
α | |||||||||
sin(α) | |||||||||
cos(α) | |||||||||
tan(α) |
Horizontale vermenigvuldiging (t.o.v. de -as) met factor (ofwel spiegelen in de -as) en dan naar rechts schuiven.
, dus de vergelijking
moet worden opgelost
,
en
. Dus .
en , dus
, dus of of ; dus , en ;
( vervalt of)
Op interval zijn de oplossingen
, en
De coördinaten zijn ,
en
Het differentiequotiënt is
of
;
Dit geeft de oplossingen ,
en
Met de GR een minimum en maximum bepalen: en
;
De evenwichtswaarde
en de amplitude ;
De periode is twee keer het verschil van de -waarden van de twee toppen, dus periode ;
Of exacte aanpak:
De top ligt midden tussen de nulpunten en ;
, dus
en ;
Uit de nulpunten volgt dat de periode is, dus
, dus , en
en , dus raaklijn
Er moet gelden ;
met de GR geeft dit en ;
, dus
;
, dus
(begin) mei (zie 'Annual Cycle' in kader)
tot ppmv (lijkt de laatste jaren iets groter te zijn geworden)
Twee waarden aflezen: in 1970 () geldt en
in 2008 () geldt ;
invullen geeft twee vergelijkingen
en
en
(andere afgelezen waarden geven andere waarden)
De trendlijn is de standaard sinusoïde: ;
De fluctuatie heeft periode en amplitude van (ongeveer) :
Dus: