1

Twee stemvorken worden in trilling gebracht. De trillingen hebben dezelfde frequentie en amplitude, maar ze verschillen in fase: de tweede stemvork loopt $1$ milliseconde achter op de eerste. De uitwijkingen worden bijvoorbeeld gegeven door:
stemvork A: $u = \sin (t)$
stemvork B: $u = \sin (t - 1)$ .

a

Teken in één window op de GR de grafieken van beide trillingen.

b

Op welke tijdsintervallen tussen $0$ en $2 π$ versterken de trillingen elkaar? (Dat is het geval als de uitwijkingen hetzelfde teken hebben.)

c

Teken op de GR de somgrafiek: $u = \sin (t) + \sin (t - 1)$ .

De somgrafiek is weer een sinusoïde.

d

Stel een formule op van deze sinusoïde in de gedaante
$u = b \cdot \sin (c (t - d))$ . Bepaal daartoe nauwkeurig met de GR de kenmerkende waarden.
Controleer je antwoord met de GR.

2

Een zuiger is via een drijfstang verbonden met een draaiende schijf. Als de schijf draait, beweegt de zuiger horizontaal heen en weer.
$M$ is het middelpunt van de schijf; $S$ is het scharnierende verbindingspunt van de drijfstang en de schijf. Bij punt $P$ is de drijfstang scharnierend met de zuiger verbonden.
$M S = 1$ , $P S = 4$ . Hoek $P M S$ noemen we $x$ (in radialen).
De afstand $P M$ noemen we $A$ .

a

Toon aan dat geldt: $A = \cos (x) + \sqrt{15 + \cos^{2} (x)}$ .

(hint)

Gebruik de cosinusregel.

b

Teken de grafiek van $A$ als functie van $x$ .

In de grafiek lijkt het minimum van $A$ gelijk aan $3$ te zijn en het maximum $5$ .

c

Leg uit dat dit klopt door de bijbehorende situaties van schijf-zuiger-drijfstang te tekenen.

Bij een rondgang zal $A$ op twee momenten gelijk zijn aan de lengte van de drijfstang $P S$ .

d

Bepaal de grootte van de hoeken $x$ waarbij zich dat voordoet (in twee decimalen nauwkeurig).

e

Leg uit dat voor elke $x$ geldt: $A \leq 4 + \cos (x)$ .

f

Onderzoek voor welke $x$ het verschil $4 + \cos (x) - A$ maximaal is en bereken dat maximale verschil in twee decimalen nauwkeurig.

3

Twee staven met lengte $4$ en $4$ dm kunnen draaien om een punt $O$ . De eindpunten $P$ en $Q$ van de staven worden verbonden door een elastiekje.

De oppervlakte van driehoek $O P Q$ is afhankelijk van de hoek $x$ tussen $O P$ en $O Q$ .

a

Voor welke hoeken $x$ is de oppervlakte van 'driehoek' $O P Q$ gelijk aan $0$ ?

b

Toon aan dat voor elke hoek $x$ de oppervlakte van driehoek $O P Q$ gelijk is aan $6 \sin (x)$ . Onderscheid twee gevallen: $x$ is scherp en $x$ is stomp.

c

Welke vorm heeft driehoek $O P Q$ in het geval de oppervlakte van de driehoek maximaal is?

(hint)

Wanneer is de uitkomst van $y = 6 \sin (x)$ maximaal?

4

Twee lange stroken papier met een breedte van $8$ cm worden over elkaar gelegd. Het gebied waar de stroken elkaar overlappen noemen we $G$ .

a

Wat voor soort vierhoek is $G$ ?

De hoek tussen de stroken noemen we $α$ (in graden).

b

Bereken exact de oppervlakte van $G$ in het geval $α = 90 °$ .

c

Bereken exact de oppervlakte van $G$ in het geval $α = 30 °$ .

d

Druk de oppervlakte van $G$ uit in $α$ .

e

Bereken voor welke $α$ de oppervlakte van $G$ gelijk is aan $1000$ cm². Rond je antwoord af op 2 decimalen.

f

Beredeneer met de formule voor de oppervlakte van $G$ voor welke hoek $α$ de oppervlakte van $G$ het kleinst is.

g

Welke asymptoot heeft de grafiek van de oppervlakte als functie van $α$ ?

5

Een buis heeft een loodrechte doorsnede in de vorm van een ruit met zijden van $1$ dm.
De buis kan worden ingedrukt en samengetrokken, waardoor het vooraanzicht verandert. Zie de figuren hieronder.
De hoek van de onderste twee zijden met het grondvlak noemen we $x$ (in graden).

Daardoor verandert de oppervlakte van de doorsnede van de buis en daarmee de doorstromingscapaciteit.
Metingen hebben de tabel hiernaast voor de oppervlakte van de doorsnede opgeleverd.

a

Ga met een berekening na of de waarde in de tabel voor $x = 20 °$ klopt.

b

Druk de oppervlakte van de doorsnede uit in $x$ .

c

Bereken voor welke $x$ de oppervlakte van de doorsnede maximaal is.

6

Op de hoekpunten van een vierkant veld van $100$ bij $100$ meter staan vier uitkijktorens. Via loopbruggen kan men vanuit elke toren elke andere toren bereiken.

Hiernaast staat een bovenaanzicht.

Het netwerk bestaat uit vier even lange stukken die elk een toren met een centraal pad verbinden. De hoek die deze vier stukken met een zijde van het vierkant maken, noemen we $x$ (radialen).
De totale lengte van de loopbruggen noemen we $L$ (meter).

a

Hoe ziet het netwerk eruit als $x = \frac{1}{4} π$ ?
Hoe groot is dan de exacte totale lengte?

b

Dezelfde vragen als $x = 0$ .

c

Bewijs dat voor elke $x$ , met $0 \leq x \leq \frac{1}{4} π$ geldt:
$L = 100 - 100 \cdot \tan (x) + \frac{200}{\cos (x)}$

d

Bereken voor welke waarde van $x$ , afgerond op 2 decimalen, de totale lengte $L$ minimaal is.
Wat is de minimale lengte (afgerond op hele meters)?

7

Schijngestalten van de maan
Van de maan is ook bij een wolkeloze hemel niet altijd een even groot gedeelte zichtbaar. Het percentage van de maan dat zichtbaar is, verloopt bij benadering periodiek. Voor het jaar 2017 is dit percentage in Nederland te benaderen met de formule:
$P = 50 + 50 \sin (0,212769 t - 1,042563)$
Hierin is $P$ het percentage van de maan dat zichtbaar is en $t$ de tijd in dagen met $t = 0$ op 1 januari 2017 om 0:00 uur.

a

Bereken de periode van $P$ in hele minuten nauwkeurig.

De vorm van het zichtbare gedeelte van de maan wordt de schijngestalte van de maan genoemd. Vier speciale schijngestalten zijn nieuwe maan, eerste kwartier, volle maan en laatste kwartier. Zie de figuur, waarin ze op volgorde staan afgebeeld, elk met het bijbehorende percentage van de maan dat zichtbaar is.

De volgorde waarin deze schijngestalten voorkomen, is dus altijd: eerst nieuwe maan, dan eerste kwartier, dan volle maan en daarna laatste kwartier. Daarna volgt opnieuw nieuwe maan, enzovoort.

b

Bereken met behulp van de formule voor $P$ op welke datum in 2017 het voor het eerst nieuwe maan zal zijn.

c

Onderzoek met behulp van de formule voor $P$ tussen welke twee opeenvolgende schijngestalten de maan zich op 22 februari 2017 zal bevinden.

8

Cellenstructuur
Voor het kweken van plantjes gebruikt een tuinder een cellenstructuur zoals op de foto.

Iedere afzonderlijke cel heeft zijden van $3$ cm. Door de hele structuur naar opzij uit te rekken, verandert de vorm van de cellen. De hoek $D A B$ verandert dan, terwijl de zijden $E F$ en $C B$ evenwijdig blijven.
Hoek $D A B$ noemen we $x$ (in radialen).

a

Bereken $x$ in twee decimalen, in het geval $B F$ $4$ cm is.

Hiernaast zie je een dergelijke structuur aangebracht in een rechthoekige plantenbak. De binnenbreedte van de plantenbak is $22$ cm.

b

Bereken de binnenlengte van de plantenbak in mm nauwkeurig.

De oppervlakte van één cel noemen we $S$ (in cm²).

c

Toon aan dat voor elke $x$ geldt:
$S = 18 \sin (x) + 18 \sin (x) \cos (x)$ .

d

Bereken voor welke waarde van $x$ de oppervlakte van de cel maximaal is.
Wat is de vorm van de cel in dat geval?