Formules van sinusoïden

De sinusoïde met vergelijking y = a + b sin ( c ( x d ) ) krijg je uit de grafiek van y = sin ( x ) door achtereenvolgens de volgende transformaties toe te passen:

  • Horizontaal vermenigvuldigen (t.o.v. de y -as) met factor 1 c

  • Horizontaal d naar rechts schuiven

  • Verticaal vermenigvuldigen (t.o.v. de x -as) met factor b

  • Verticaal a omhoog schuiven

Er zijn meerdere volgordes van deze transformaties mogelijk, maar een vermenigvuldiging en verschuiving in dezelfde richting mogen niet zomaar omgedraaid worden. (Want anders wordt de verschuiving ook vermenigvuldigd.)


Elke sinusoïde is ook te schrijven als een cosinusfunctie: y = a + b cos ( c ( x d ) ) .
Het enige verschil is het 'startpunt', in de formule weergegeven door d :

  • Als startpunt voor een sinusfunctie moet een punt gekozen worden waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat.

  • Als startpunt voor een cosinusfunctie moet een punt gekozen worden waar de grafiek maximaal is.


We zijn vier formules tegengekomen om een sinusformule te veranderen in een cosinusformule, en omgekeerd:

  • sin ( t ) = cos ( 1 2 π t ) (denk aan 'rechthoekige driehoek')

  • cos ( t ) = sin ( 1 2 π t ) (denk aan 'rechthoekige driehoek')

  • sin ( t ) = cos ( t 1 2 π ) (denk aan 'verschuiving')

  • cos ( t ) = sin ( t + 1 2 π ) (denk aan 'verschuiving')

Toppen

Bij elke sinusoïde geldt: de top zit een kwart periode rechts van het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. Zie figuur.

Bij de sinusfunctie y = a + b sin ( c ( x d ) ) , met b > 0 , zit een maximale waarde bij x = d + 1 4 2 π c = d + π 2 c en dan telkens een periode 2 π c naar links of rechts.
Een minimale waarde zit altijd een halve periode rechts of links van een maximale waarde.


Bij een cosinusfunctie is dat anders:
de grafiek van y = a + b cos ( c ( x d ) ) , met b > 0 , start juist in een maximale waarde, dus bij x = d zit een maximum.
Ook hier geldt dat een minimale waarde altijd een halve periode rechts of links van een maximale waarde zit.


In alle gevallen (met b > 0 ) geldt:
De maximale waarde is a + b en de minimale waarde is a b .


Als de waarde van b negatief is, dan gaat een sinusfunctie in het startpunt juist dalend door de evenwichtsstand en begint een cosinusfunctie in een minimum.

Kettingen en samenstellingen

Met de sinus- en cosinusfunctie kun je ook kettingen en samenstellingen maken. Van zo'n samenstelling kan je allerlei eigenschappen onderzoeken, waarbij je de eigenschappen van sinus en/of cosinus kunt gebruiken.
Enkele voorbeelden:

  • y = sin ( x ) : het domein wordt bepaald door de wortel, is dus x 0 . De grafiek is niet periodiek.

  • y = sin ( x ) : de periodieke grafiek bestaat uit allemaal losse boogjes, omdat de wortel niet bestaat als sin ( x ) negatief is.

  • y = sin 2 ( x ) : dit blijkt (verrassend) toch weer een sinusoïde te zijn.

  • y = sin ( x 2 ) : de grafiek is niet meer periodiek, maar gaat steeds sneller 'heen en weer'.

  • y = 1 sin ( x ) : de grafiek is oneindig veel verticale asymptoten, namelijk als sin ( x ) = 0 Er is een maximum als sin ( x ) minimaal is. En andersom: er is een minimum als sin ( x ) maximaal is.

  • y = sin ( x ) cos ( x ) : deze verhouding tussen sinus en cosinus is de tangens.
    De grafiek is periodiek en heeft oneindig veel verticale asymptoten, namelijk als cos ( x ) = 0 .