1

Grafiek van een cosinus
In de figuur is op het interval $[0,5]$ een sinusoïde getekend.

Deze sinusoïde is te beschrijven met een vergelijking van de vorm $y = a + b \cos (c (x - d))$ .

Bepaal geschikte waarden van $a$ , $b$ , $c$ en $d$ .
Licht je werkwijze toe.

2

Op het domein $[‐ \frac{1}{2} π, π]$ is de functie $f$ gegeven door:
$f (x) = 2 - 4 \sin (2 x)$ .
De grafiek van $f$ snijdt de $x$ -as in de punten $A$ en $B$ .

a

Bereken exact de $x$ -coördinaten van de punten $A$ en $B$ .

De grafiek van $f$ snijdt de $y$ -as in punt $C$ . Punt $D$ is een top van de grafiek. De $x$ -coördinaat van $D$ ligt tussen $\frac{1}{2} π$ en $π$ .
Lijn $l$ gaat door de punten $C$ en $D$ en snijdt de $x$ -as in punt $E$ .

b

Bereken exact de $x$ -coördinaat van punt $E$ .

c

Benader met een differentiequotiënt de helling in punt $C$ afgerond op 2 decimalen. Gebruik $Δ = 0,001$ .

3

De grafiek van een sinus benaderen
Hieronder staat de grafiek van de functie $f (x) = \sin (\frac{1}{4} π x)$ . Punt $S$ is het eerste snijpunt van de grafiek van $f$ met de $x$ -as rechts van de oorsprong $O$ . Punt $T$ is de top van deze grafiek tussen $O$ en $S$ . Zie figuur 1.

We gaan deze grafiek benaderen door de lijnstukken $O T$ en $S T$ .

a

Stel een vergelijking op van lijn $O T$ . Idem voor lijn $S T$ .

Het punt $A$ beweegt over de lijnstukken $O T$ en $S T$ . Het punt $B$ beweegt over de sinusoïde zo dat lijnstuk $A B$ evenwijdig aan de $y$ -as blijft. Zie figuur 2.

b

Bereken bij welke waarde van $x$ lengte van $A B$ maximaal is. Wat is de maximale lengte?
Geef je antwoorden in twee decimalen nauwkeurig.

We gaan de grafiek nu benaderen door een parabool met dezelfde top $T$ , die ook door $O$ en $S$ gaat.

c

Stel een vergelijking op van deze parabool in de topvorm.

d

Hoe groot is (afgerond op 3 decimalen) het maximale verticale verschil tussen de parabool en de sinusoïde?

4

Grieks kruis
Een Grieks kruis heeft vier even grote 'poten'.
In de eenheidscirkel is een Grieks kruis getekend, symmetrisch ten opzichte van de $x$ -as en de $y$ -as.
Punt $P$ is een hoekpunt van het kruis. De hoek waarover punt $P$ gedraaid is ten opzicht van de $x$ -as, noemen we $t$ (in radialen). Zie figuur.
$A (t)$ is de oppervlakte van het kruis. Hierbij nemen we voor $t$ alleen waarden tussen $0$ en $\frac{1}{4} π$ .

Voor een zekere waarde van $t$ is $\sin (t) = \frac{3}{5}$ , met $0 \leq t \leq \frac{1}{4} π$ .

a

Teken een cirkel met straal $5$ cm en teken hierin nauwkeurig het Griekse kruis dat hoort bij die waarde van $t$ . Licht je tekening toe.

b

Bereken exact de oppervlakte van het Griekse kruis bij die waarde van $t$ .

Er geldt: $A (t) = 8 \cdot \sin (t) \cdot \cos (t) - 4 \cdot \sin^{2} (t)$ .

c

Toon dat aan.

Hiernaast staat de grafiek van $A (t)$ getekend. De oppervlakte van het kruis lijkt maximaal te zijn bij $t = \frac{1}{6} π$ .

d

Benader met de GR de waarde van $A' (\frac{1}{6} π)$ .
Leg hiermee uit of bij $t = \frac{1}{6} π$ de oppervlakte maximaal is.
Zo nee: is de oppervlakte maximaal bij een waarde van $t$ groter of kleiner dan $\frac{1}{6} π$ ?

e

Bereken de maximale oppervlakte van het Griekse kruis.

5

De temperatuur op een zekere plaats op aarde wordt bepaald door twee factoren:

de jaargolf: die beschrijft de gemiddelde temperatuur van dag tot dag,
het dag-nacht-ritme: dat beschrijft de gemiddelde temperatuur van uur tot uur.

Beide zijn berekend als gemiddelde van veel metingen. Hieronder staat de jaargolf.

a

Stel een formule op voor deze grafiek; $t$ is de tijd van het jaar in dagen, $T$ is de gemiddelde dagtemperatuur in graden Celsius.

Vervolgens kijken we naar de daggolf. Hierbij is als gemiddelde temperatuur $0 °$ C genomen en de hoogste temperatuur wordt bereikt om 15.00 uur (dat is op $\frac{15}{24}$ dag).

b

Stel een formule op voor de grafiek van de daggolf; $t$ loopt van $0$ tot $1$ (dag), $T$ is temperatuur in graden Celsius.

Als we deze twee golven combineren (optellen), krijgen we het volgende plaatje:

c

Hoeveel golfjes telt de grafiek?

d

Geef een formule voor deze grafiek.

6

Gegeven is de functie $f (x) = \frac{x}{2 + \cos (x)}$ . Hiernaast staat de grafiek getekend voor $x \geq 0$ .

a

Bereken exact de $x$ -coördinaten van de snijpunten van de grafiek van $f$ met de lijn $y = \frac{1}{2} x$ voor $0 \leq x \leq 4 π$ .

b

Doe hetzelfde voor de snijpunten met de lijn $y = \frac{2}{3} x$ .

De toppen van de grafiek van $f$ waarin een (lokaal) maximum zit, liggen steeds hoger. Ze liggen zelfs op een rechte lijn.

c

Leg uit dat deze toppen zitten bij waarden van $x$ waarvoor $\cos (x) = ‐ 1$ .

d

Bereken een vergelijking van de lijn waarop de toppen met een maximum liggen.

e

Bereken ook de vergelijking van de lijn waarop de toppen liggen waarin $f$ een minimum heeft.

Voor elke waarde van $a$ is de functie $f_{a}$ gegeven door:
$f_{a} (x) = \frac{x}{2 + a \cdot \cos (x)}$

f

Voor welke waarde van $a$ heeft de grafiek van $f_{a}$ asymptoten? Licht toe.

7

Hieronder staan de grafieken getekend van twee sinusoïden.
Er geldt:
$f (x) = a + b \cdot \cos (c (x - d))$ en $g (x) = p + q \cdot \sin (r (x - s))$ .

a

Bereken mogelijke waarden van $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $p$ , $q$ , $r$ en $s$ .

b

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van de twee snijpunten in de figuur.

c

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de grootste waarde van de verschilfunctie $v (x) = f (x) - g (x)$ .

d

Door welke transformaties, en in welke volgorde, gaat de grafiek van de functie $f$ over in de grafiek van de functie $g$ ?