$2-4\sin (2x)=0$ $\to$ $\sin (2x)=\frac{1}{2}$ $\to$ $2x=\frac{1}{6}\text{π}$ of $2x=\frac{5}{6}\text{π}$ $\to$ $x=\frac{1}{12}\text{π}$ of $x=\frac{5}{12}\text{π}$
(plus of min periode $\text{π}$ levert geen verdere oplossingen)

De sinusoïde gaat in $C$ door de evenwichtsstand dus de top $D$ zit op driekwart van de periode $(=\text{π})$ vanaf $C$: $x_D=\frac{3}{4}\text{π}$;
$f(0)=2$, dus $C(\mathrm{0,2})$; $f(\frac{3}{4}\text{π})=6$, dus $D(\frac{3}{4}\text{π}\mathrm{,6})$;
$\text{rc}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{\frac{3}{4}\text{π}}=\frac{16}{3\text{π}}$, dus een vergelijking van $l$ is $y=\frac{16}{3\text{π}}x+2$;
$\frac{16}{3\text{π}}x+2=0$ geeft $x_E=\mathrm{‐}\frac{3}{8}\text{π}$

$\text{helling}=\frac{f(\mathrm{0,001})-f(0)}{\mathrm{0,001}}=\frac{\mathrm{1,992...}-2}{\mathrm{0,001}}\approx \mathrm{‐}\mathrm{8,00}$

De grafiek is een halve periode en de periode is $\frac{2\text{π}}{\frac{1}{4}\text{π}}=8$, dus $S(\mathrm{4,0})$ en $T(\mathrm{2,1})$;
$OT$: $y=\frac{1}{2}x$; $ST$: $y=2-\frac{1}{2}x$.

Op stuk $OT$: $AB=\sin (\frac{1}{4}\text{π}x)-\frac{1}{2}x$;
Met de GR het maximum bepalen: $AB\approx \mathrm{0,21}$ bij $x\approx \mathrm{1,12}$;
Vanwege de symmetrie is de maximale waarde van $AB$ op stuk $ST$ ook $\mathrm{0,21}$ bij $x\approx 4-\mathrm{1,12}=\mathrm{2,88}$.

Topvorm: $y=c{(x-2)}^2+1$; punt $O(\mathrm{0,0})$ invullen geeft $c=\mathrm{‐}\frac{1}{4}$;
$y=\mathrm{‐}\frac{1}{4}{(x-2)}^2+1$

Met de GR het maximum bepalen van $AB=\mathrm{‐}\frac{1}{4}{(x-2)}^2+1-\sin (\frac{1}{4}\text{π}x)$ (want de parabool ligt nu boven de sinusoïde);
Dit geeft $AB\approx \mathrm{0,056}$ (bij $x\approx \mathrm{0,601}$ en $x\approx \mathrm{3,399}$).

De coördinaten van $P$ zijn dan $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$, dus $3$ cm boven de $x$-as en $4$ cm rechts van de $y$-as. Zie figuur voor een deel van het kruis. Daarna is met symmetrie de rest van het kruis eenvoudig te tekenen. Zie tweede figuur.

Zie tekening bij onderdeel a.
Het deel rechtsboven bestaat uit twee rechthoeken van $\frac{3}{5}$ bij $\frac{4}{5}$ met een vierkant overlapgebied, dus heeft oppervlakte $2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$.
De totale oppervlakte is $4\cdot \frac{3}{5}=\frac{12}{5}=2\frac{2}{5}$.

Het deel rechtsboven bestaat uit twee rechthoeken van $\sin (t)$ bij $\cos (t)$ met een vierkant overlapgebied van $\sin (t)$ bij $\sin (t)$, dus heeft oppervlakte $2\cdot \sin (t)\cdot \cos (t)-{\sin }^2(t)$.
De totale oppervlakte is $4\cdot (2\cdot \sin (t)\cdot \cos (t)-{\sin }^2(t))=8\cdot \sin (t)\cdot \cos (t)-4{\sin }^2(t)$.

De GR geeft $A\text{'}(\frac{1}{6}\text{π})\approx \mathrm{0,536}$; de grafiek is dus stijgend bij $t=\frac{1}{6}\text{π}$, dus is de oppervlakte maximaal bij een waarde van $t$ groter dan $\frac{1}{6}\text{π}$.

Met de GR het maximum bepalen: $A$ is maximaal $\mathrm{2,47}$ (bij $t\approx \mathrm{0,554}$).

De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bij (ongeveer) dag $135$;
$T=10+8\cdot \sin (\frac{2\text{π}}{365}(t-135))$

$T=4\cdot \cos (2\text{π}(t-\frac{15}{24}))$

Elke dag een periode, dus $365$

$T=10+8\cdot \sin (\frac{2\text{π}}{365}(t-135))+4\cdot \cos (2\text{π}(t-\frac{15}{24}))$

$\frac{x}{2+\cos (x)}=\frac{1}{2}x$ $\to$ $x=\frac{1}{2}x\cdot (2+\cos (x))$ $\to$ $\frac{1}{2}x\cdot \cos (x)=0$
$\to$ $x=0$ of $\cos (x)=0$, dus $x=0$, $x=\frac{1}{2}\text{π}$, $x=1\frac{1}{2}\text{π}$, $x=2\frac{1}{2}\text{π}$ en $x=3\frac{1}{2}\text{π}$.

$\frac{x}{2+\cos (x)}=\frac{2}{3}x=\frac{2x}{3}$ $\to$ $3x=2x\cdot (2+\cos (x))$ $\to$ $x+2x\cdot \cos (x)=0$
$\to$ $x(1+2\cos (x))=0$ $\to$ $x=0$ of $\cos (x)=\mathrm{‐}\frac{1}{2}$,
dus $x=0$, $x=\frac{2}{3}\text{π}$, $x=1\frac{1}{3}\text{π}$, $x=2\frac{2}{3}\text{π}$ en $x=3\frac{1}{3}\text{π}$.

De breuk is maximaal als de noemer minimaal is, dus als $\cos (x)=\mathrm{‐}1$.

In de punten met $\cos (x)=\mathrm{‐}1$ is $f(x)=\frac{x}{2-1}=x$, dus de lijn is $y=x$.

De breuk is minimaal als de noemer maximaal is, dus als $\cos (x)=1$; in die punten is $f(x)=\frac{x}{2+1}=\frac{1}{3}x$, dus de lijn is $y=\frac{1}{3}x$

Voor $a\le \mathrm{‐}2$ of $a\ge 2$, want dan wordt de noemer nul voor waarden van $x$.

Bijv.: $f(x)=3+2\cos (\frac{2\text{π}}{6}(x-3))$, dus $a=3$, $b=2$, $c=\frac{2\text{π}}{6}=\frac{\text{π}}{3}$ en $d=3$;
Bijv.: $f(x)=3+3\sin (\frac{2\text{π}}{12}(x-3))$, dus $a=3$, $b=3$, $c=\frac{2\text{π}}{12}=\frac{\text{π}}{6}$ en $d=3$;

Met de GR: $(\mathrm{3,84};\mathrm{4,28})$ en $(\mathrm{8,16};\mathrm{4,28})$

Met de GR het maximum bepalen van $f(x)-g(x)$: $\mathrm{2,56}$.

Verticaal $1$ naar beneden schuiven;
Verticaal vermenigvuldigen (t.o.v. de $x$-as) met factor $1\frac{1}{2}$;
Horizontaal vermenigvuldigen (t.o.v. de $y$-as) met factor $2$