$P$ en $Q$ zijn de projecties van $D$ en $C$ op lijn $AB$. Dan is $AP=100-\frac{1}{2}\cdot \left(100-28\right)=36$.
De stelling van Pythagoras in driehoek $APD$ geeft: $PD=48$.
Oppervlakte rechthoek $CDPQ=100\cdot 48=4800$; oppervlakte driehoeken $APD$ en $CQB$ samen is $36\cdot 48=1728$; dus oppervlakte trapezium $=4800-1728=3072$.
(Anders: $\frac{1}{2}\cdot (28+100)\cdot 48=3072$.)

De stelling van Pythagoras in driehoek $PDB$ geeft: $DB=$$\sqrt{{48}^2+{64}^2}=80$.
In driehoek $DBC$ geldt dan: $D{B}^2+B{C}^2=D{C}^2$, dus hoek $DBC$ is recht.

Hoek $CAQ$ noemen we α, dan $\tan \left(\text{α}\right)=\frac{CQ}{AQ}=\mathrm{0,75}$, dus $\text{α}={\tan }^{\mathrm{‐}1}\left(\mathrm{0,75}\right)=\mathrm{36,86}\dots$; de gevraagde hoek is $2\cdot \text{α}=74°$.

De hoogte van de driehoek is $\sqrt{5^2-3^2}=4$. De oppervlakte is dus $12$.

Pas de stelling van Pythagoras toe in de gearceerde driehoek.

$R^2=3^2+{(4-R)}^2\iff R^2=25-8R+R^2\iff R=3\frac{1}{8}$.

Hoek $DSC=$ hoek $ASB$ (overstaande hoeken) en hoek $DCS=$ hoek $BAS$ (Z-hoeken).

$\frac{AS}{CS}=\frac{AB}{CD}=\frac{28}{100}=\frac{7}{25}$, dus $AS:CS=7:25$ en $AS=\frac{7}{32}\cdot AC=17\frac{1}{2}$.

Neem als basis van driehoek $ASB$ de zijde $AB$, dan is de hoogte $\frac{7}{32}\cdot PD=10\frac{1}{2}$ en de oppervlakte van de driehoek $\frac{1}{2}\cdot 10\frac{1}{2}\cdot 28=147$.
De oppervlakte van driehoek $DSC={\left(\frac{25}{7}\right)}^2\cdot 147=1875$. De andere twee driehoeken hebben dan oppervlakte $=\frac{1}{2}\cdot \left(3072-\left(1875+147\right)\right)=525$.

Noem die hoek β. Pas de cosinusregel in driehoek $ABC$ toe;
dit geeft $\cos \left(\text{β}\right)=\frac{5}{7}$ en $\text{β}=44°$.

Pas de cosinusregel in driehoek $ADB$ toe:
$A{M}^2=9+49-42\cdot \frac{5}{7}=28$, dus $AM=2\sqrt{7}$.

Met de sinusregel: $\frac{\sin (45°)}{AB}=\frac{\sin (75°)}{3}\iff AB=\frac{3\sin (45°)}{\sin (75°)}=\mathrm{2,2}$;
$\frac{\sin (60°)}{BC}=\frac{\sin (75°)}{3}\iff BC=\frac{3\sin (60°)}{\sin (75°)}=\mathrm{2,7}$

Met de cosinusregel: $P{C}^2=3^2+2^2-2\cdot 3\cdot 2\cdot \cos (120°)=25$, dus $PC=5$.

Neem $PA$ als basis van de driehoek, dan is de hoogte van driehoek $PAC$ hetzelfde als de hoogte van driehoek $ABC$. Die is $AC\cdot \sin \left(60°\right)=1\frac{1}{2}\sqrt{3}$. De oppervlakte van de driehoek is dan $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1\frac{1}{2}\sqrt{3}=1\frac{1}{2}\sqrt{3}$.

Noem $BD=x$ en pas de cosinusregel toe in driehoek $ABD$:
$25=x^2+16-8x\cos \left(60°\right)$ geeft: $x^2-4x-9=0$ $\to$ $x=2+\sqrt{13}$.

Hoek $ADB$ noemen we α.
De cosinusregel in driehoek $ADB$ geeft:
$16=25+{\left(2+\sqrt{13}\right)}^2-2\cdot 5\cdot \left(2+\sqrt{13}\right)\cdot \cos \left(\text{α}\right)$, dus $\cos \left(\text{α}\right)=\mathrm{0,72...}$
$\to$ $\text{α}=44°$, dus de gevraagde hoek is $136°$.

Spiegel driehoek $APQ$ in de bissectrice van hoek $A$, dan ontstaat de gespiegelde driehoek uit driehoek $ABC$ door vanuit $A$ met $\frac{1}{2}$ te vermenigvuldigen.

De oppervlakte van driehoek $APQ$ is ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ van de oppervlakte van driehoek $ABC$. De stukken verhouden zich dus als $1:3$.

De cosinusregel in driehoek $APQ$ geeft: $P{Q}^2=9+4-6\cdot 2\cdot \cos \left(60°\right)=7$.

$2\sqrt{7}$

Hoek $ABC$ noemen we β. Pas de sinusregel in driehoek $ABC$ toe.
$\frac{\sin \left(\text{α}\right)}{a}=\frac{\sin \left(\text{β}\right)}{b}\iff \frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sin \left(\text{β}\right)}{4}$, dus $\sin \left(\text{β}\right)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$, dus $\text{β}=41°$.

Uit de gelijkvormigheid volgt: hoek $AQP=41°$, dus hoek $CQP=139°$.

Er geldt: $AB=3\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}=6$, $AC=3\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}=5$ en $BC=2\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}=4$.
De cosinusregel in driehoek $ABC$ geeft:
$25=36+16-2\cdot 4\cdot 6\cos \left(\text{β}\right)$, dus $\cos \left(\text{β}\right)=\mathrm{0,5625}$ en $\text{β}=\mathrm{55,77}°$.

$\frac{\mathrm{55,77}}{360}\cdot \text{π}\cdot {\left(2\frac{1}{2}\right)}^2=\mathrm{3,04}\dots$, dus $\mathrm{3,0}$.

Met de cosinusregel: $16=25+36-60\cos \left(\text{α}\right)$, dus $\cos \left(\text{α}\right)=\frac{3}{4}$.

Het midden van $AB$ noemen we $N$. Het middelpunt $M$ van de cirkel is het snijpunt van de lijn door $A$ loodrecht op lijn $AC$ en de middelloodlijn van $AB$.
Er geldt: hoek $AMN=\text{α}$. Noem de straal van de cirkel $r$, dan is $MN=\frac{3}{4}r$, dus $r^2=3^2+{\left(\frac{3}{4}r\right)}^2$ en $r=\frac{12}{7}\sqrt{7}$.

$PB=12$; $BQ=24-x$; $PQ=12+x$;
${(12+x)}^2={(24-x)}^2+{12}^2$ $\to$ $x=8$

$CQ=8$; $CR=24-y$; $QR=8+y$;
${(8+y)}^2={(24-y)}^2+8^2$ $\to$ $y=9$

Noem het middelpunt $S$; dan $RS=9+r$ en $DR=9$;
Pytagoras in $\Delta DRS$: $DS=\sqrt{{(9+r)}^2-9^2}=\sqrt{r^2+18r}$;
Evenzo in $\Delta APS$: $AS=\sqrt{{(12+r)}^2-{12}^2}=\sqrt{r^2+24r}$;
$AS+DS=24$ geeft de gevraagde formule.

Met je grafische rekenmachine de vergelijking oplossen geeft $r\approx \mathrm{5,46}$.

De lengte van de hengel boven de grond is $250$ cm, dus geldt voor de hoogte $h$ van de punt van de hengel boven de oever: $\sin (30°)=\frac{h}{250}$
$\to$ $h=250\cdot \sin (30°)=125$ cm boven de oever, dus $135$ cm boven het water.

Cosinusregel: $L^2={150}^2+{250}^2-2\cdot 150\cdot 250\cdot \cos (30°)\approx \mathrm{20.048,09...}$ $\to$ $L=\sqrt{\mathrm{20.048,09...}}\approx \mathrm{141,59...}$, ofwel $142$ cm.

Sinusregel: $\frac{\mathrm{141,59...}}{\sin (30°)}=\frac{250}{\sin (\text{α})}$ $\to$ $\sin (\text{α})=250\cdot \frac{\sin (30°)}{\mathrm{141,59...}}\approx \mathrm{0,8828...}$ $\to$ $\text{α}\approx 118°$ (want de hoek is stomp, dus $\text{α}\approx 62°$ voldoet niet).