In deze paragraaf hebben we in het platte vlak een assenstelsel met oorsprong gekozen.

Lijnen

Vergelijking van een lijn
De lijn met vergelijking $y = a x + b$ heeft richtingscoëfficient (of helling) $a$ en snijdt de $y$ -as in $(0, b)$ .

Opmerking:

Door $a$ en $b$ te variëren, krijg je alle mogelijke lijnen in het vlak, behalve verticale lijnen.

De hellingshoek van een lijn

In het plaatje linksboven is $k$ een dalende lijn, de hellingshoek is stomp. In het plaatje rechtsboven is $k$ een stijgende lijn, de hellingshoek is scherp.
Als $a$ de richtingscoëfficiënt van $k$ is en $α$ de hellingshoek, dan geldt: $\tan (α) = a$ .

Loodrecht snijden
Gegeven twee lijnen $k$ en $m$ niet evenwijdig aan de assen.
Dan
$k$ en $m$ staan loodrecht op elkaar $\Leftrightarrow$ het product van hun richtingscoëfficiënten is gelijk aan $‐1$ .

Een ander type vergelijking voor een rechte lijn is van de vorm $a x + b y + c = 0$ .

Opmerking:

Door $a$ , $b$ en $c$ te variëren krijg je nu wel alle mogelijke lijnen in het vlak.
Wel kun je bij verschillende keuzes van $a$ , $b$ en $c$ dezelfde lijnen krijgen.
De vergelijking $2 x - 3 y + 6 = 0$ geeft dezelfde lijn als de vergelijking $x - 1 \frac{1}{2} y + 3 = 0$ .

Het midden van een lijnstuk
Het midden van het lijnstuk met eindpunten $(a, b)$ en $(p, q)$ is $(\frac{1}{2} (a + p), \frac{1}{2} (b + q))$ .
(De $x$ -coördinaat van het midden is het gemiddelde van de $x$ -coördinaten van de twee punten; evenzo is de $y$ -coördinaat het gemiddelde van de twee $y$ -coördinaten.)

Voorbeeld:

Gegeven zijn de punten $A (‐ 2,5)$ en $B (6, ‐ 7)$ .
Vraag:
Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de middelloodlijn van lijnstuk $A B$ met de coördinaatassen.

Uitwerking:
Het midden $M$ van lijnstuk $A B$ heeft coördinaten $M (2, ‐ 1)$ ;
Lijn $A B$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{‐ 7 - 5}{6 - ‐ 2} = \frac{‐ 12}{8} = ‐ \frac{3}{2}$ , dus de middelloodlijn heeft richtingscoëfficiënt $\frac{2}{3}$ ;
$M (2, ‐ 1)$ invullen in $y = \frac{2}{3} x + b$ geeft $b = ‐ 2 \frac{1}{3}$ , dus een vergelijking van de middelloodlijn is $y = \frac{2}{3} x - 2 \frac{1}{3}$ , of ook $2 x - 3 y - 7 = 0$ .
Snijpunt $x$ -as: $y = 0$ invullen geeft $x = 3 \frac{1}{2}$ , dus $(3 \frac{1}{2},0)$ ;
Snijpunt $y$ -as: $x = 0$ invullen geeft $y = ‐ 2 \frac{1}{3}$ , dus $(0, ‐ 2 \frac{1}{3})$ .

Gegeven zijn de lijnen $k : x - 1 \frac{1}{2} y + 3 = 0$ en $m : x + 2 y = 11$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt van $k$ en $m$ exact.

Teken de lijnen $k$ en $m$ in een assenstelsel.

Bereken de hellingshoek van $k$ en van $m$ in één decimaal nauwkeurig.
Bereken ook de hoek die de lijnen $k$ en $m$ maken in graden nauwkeurig.

$k$ is de lijn met vergelijking $x + 2 y = 6$ en $P$ is het punt $(1, ‐ 3)$ .

Bereken langs algebraïsche weg de coördinaten van de loodrechte projectie van $P$ op lijn $k$ .

(hint)

Maak eerst een schets van de situatie.

Een cirkel met middelpunt $M$ op de $x$ -as gaat door de punten $A (1, ‐ 3)$ en $B (7,5)$ .

Bereken de coördinaten van $M$ exact.

(hint)

Het middelpunt van een cirkel ligt op de middelloodlijn van twee punten op de cirkel.

De gemeenschappelijke punten van twee lijnen
Gegeven twee lijnen $k : a x + b y = c$ en $m : p x + q y = r$ .
Het stelsel ${\begin{cases} a x + b y = c \\ p x + q y = r \end{cases}$

heeft één oplossing $\Leftrightarrow$ $k$ en $m$ snijden elkaar,
heeft oneindig veel oplossingen $\Leftrightarrow$ $k = m$ ,
heeft geen oplossingen $\Leftrightarrow$ $k$ en $m$ zijn evenwijdig.

Gegeven zijn de lijnen $k_{p} : (p - 1) x + y = 3 p$ en $m_{q} : 3 x + 2 y = q$ voor alle mogelijke waarden van $p$ en $q$ .

Voor welke $p$ en $q$ hebben de lijnen $k_{p}$ en $m_{q}$ geen gemeenschappelijke punten?

Voor welke $p$ en $q$ staan de lijnen $k_{p}$ en $m_{q}$ loodrecht op elkaar?

De lijnen $k_{p}$ gaan door één punt.

Toon dat aan.

De afstand van twee punten
De afstand van $A (a, b)$ tot $P (p, q)$ is: $\sqrt{{(a - p)}^{2} + {(b - q)}^{2}}$ .

Driehoek $A B C$ heeft hoekpunten $A (‐ 1, ‐ 2)$ , $B (5,0)$ en $C (3,6)$ . Op zijde $A C$ ligt het punt $P (2,4)$ en op zijde $A B$ het punt $Q$ , zó, dat $B C$ en $P Q$ evenwijdig zijn.

Bereken de lengte van de zijden van driehoek $A B C$ exact.

Bereken de hoeken van driehoek $A B C$ exact.

Bereken de coördinaten van $Q$ exact.

Bereken de oppervlakte van vierhoek $P Q B C$ exact.

Cirkels

De afstandsformule voor twee punten levert onmiddelijk het volgende.

Vergelijking van een cirkel
De cirkel met middelpunt $M (a, b)$ en straal $r$ heeft vergelijking ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .

Voorbeeld:

Middelpunt van een cirkel bepalen
Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = 3$ .
Het middelpunt en de straal van de cirkel vind je door bovenstaande vergelijking terug te schrijven in de de vorm: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , de zogenaamde middelpuntsvorm.
Dat gaat met kwadraatafsplitsen.
$x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = 3$ $\Leftrightarrow$ ${(x + 2)}^{2} - 4 + {(y - 1)}^{2} - 1 = 3$ $\Leftrightarrow$ ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$
Het middelpunt is $(2,1)$ en de straal $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

Bereken langs algebraïsche weg het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking:

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = 10$
$2 x^{2} + 2 y^{2} + 4 x - 2 y = 10$
$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + 4 x - 2 y = 10$

Een cirkel met straal $\sqrt{13}$ gaat door de punten $(1, ‐ 1)$ en $(1,3)$ .

Geef een vergelijking van de cirkel.

Een cirkel met het middelpunt op de lijn $y = 4$ gaat door de punten $A (4,2)$ en $B (‐ 2,6)$ .

Geef een vergelijking van de cirkel.

Cirkels en lijnen

Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 4 x - 3 y = 25$ en de lijn met verglijking $2 x + y = 10$ .

Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van de cirkel en de lijn exact.

Eén van de raaklijnen vanuit $O (0,0)$ aan een cirkel met straal $2$ is de $x$ -as. Het middelpunt van de cirkel heeft positieve coördinaten en ligt op afstand $4$ van $O$ .

Geef een exacte vergelijking van de andere raaklijn vanuit $O$ aan de cirkel.

Voorbeeld:

Raaklijn in een punt van de cirkel
Een cirkel met middelpunt $M (‐ 1,1)$ gaat door het punt $P (‐ 2,3)$ .
Een vergelijking van de raaklijn $k$ in $P$ aan de cirkel vind je als volgt.
Lijn $P M$ heeft helling $‐ 2$ , dus lijn $k$ heeft helling $\frac{1}{2}$ , want de lijnen $P M$ en $k$ staan loodrecht op elkaar. Dus $k$ heeft vergelijking $y = \frac{1}{2} x + b$ voor zekere $b$ . Omdat $P$ op $k$ ligt, volgt dat $b = 4$ , dus een vergelijking van $k$ is: $y = \frac{1}{2} x + 4$ .

Voorbeeld
Raaklijn met een gegeven richting
Gegeven is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y = 3$ en de lijnen $m_{p}$ met vergelijking $2 x + y = p$ . Deze zijn voor elke waarde van $p$ evenwijdig aan elkaar. Voor twee waarden van $p$ is $m_{p}$ raaklijn aan de cirkel.
We berekenen die waarden op twee manieren.

Meetkundig
Het middelpunt van de cirkel is $M (‐ 1,1)$ . De punten waar de lijnen $m_{p}$ de cirkel raken, liggen op de lijn $l$ door $M$ loodrecht op de lijnen $m_{p}$ . De lijnen $m_{p}$ hebben helling $‐ 2$ , dus $l$ heeft helling $\frac{1}{2}$ .
Een vergelijking van $l$ is: $y = \frac{1}{2} x + 1 \frac{1}{2}$ .
De snijpunten van $l$ met de cirkel zijn de oplossingen van het stelsel ${\begin{cases} y = \frac{1}{2} x + 1 \frac{1}{2} \\ x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y = 3 \end{cases}$
Substitutie geeft $x^{2} + {(\frac{1}{2} x + 1 \frac{1}{2})}^{2} + 2 x - 2 (\frac{1}{2} x + 1 \frac{1}{2}) = 3$ $\Leftrightarrow$ $x = ‐ 3$ of $x = 1$ . De raakpunten zijn dus $(‐ 3,0)$ en $(1,2)$ .
Dus $m_{p}$ raakt de cirkel als $p = ‐ 6$ of als $p = 4$ .
Algebraïsch met een discriminant
$m_{p}$ is raaklijn aan de cirkel als het stelsel
${\begin{cases} 2 x + y = p \\ x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y = 3 \end{cases}$ één oplossing heeft.
De vergelijking in $x$ die je krijgt door voor $y = ‐ 2 x + p$ in de vergelijking $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y = 3$ in te vullen, moet dus discriminant $0$ hebben.
$x^{2} + {(‐ 2 x + p)}^{2} + 2 x - 2 (‐ 2 x + p) = 3$
$\Leftrightarrow 5 x^{2} + (‐ 4 p + 6) x + p^{2} - 2 p - 3 = 0$ heeft dicriminant $0$ als ${(‐ 4 p + 6)}^{2} - 20 (p^{2} - 2 p - 3) = 0$ . Dit geeft $p = ‐ 6$ of $p = 4$ .

Een cirkel met middelpunt op de lijn $k$ met vergelijking $y = x - 2$ raakt de lijn $m$ met vergelijking $3 x - 4 y + 16 = 0$ in het punt $A (‐ 4,1)$ .

Bereken de straal van de cirkel exact.

Twee lijnen door $(0,10)$ raken een cirkel met middelpunt $M$ in de punten $(4,2)$ en $(8,6)$ .

Bereken exact de coördinaten van het middelpunt $M$ .

Twee lijnen door $(0,12)$ raken een cirkel met middelpunt $(0,3)$ en straal $3$ .
Deze twee lijnen snijden de $x$ -as in de punten $A$ en $B$ .

Bereken exact de coördinaten van $A$ en $B$ .

(hint)

Stel een vergelijking op van de cirkel; de lijnen door $(0,12)$ hebben een formule van de vorm $y = a x + 12$ . Gebruik de discriminant.

In een rechthoek van $2$ bij $\sqrt{2}$ is een halfcirkel met middelpunt $O (0,0)$ getekend en een gelijkbenige driehoek $A B C$ zoals in de figuur is weergegeven.
De halfcirkel snijdt de driehoek in de punten $D$ en $E$ .

Bereken exact de oppervlakte van driehoek $C D E$ .

(hint)

Stel vergelijkingen op van de halfcirkel en van de lijnen van de driehoek.

Gegeven is de cirkel $c$ met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y = 32$ en lijn $k$ : $2 x + y = 24$ .

Bereken exact de afstand van punt $P (‐ 3,5)$ tot cirkel $c$ .

(hint)

Maak een goede schets.

Bereken exact de afstand van lijn $k$ tot cirkel $c$ .

(hint)

Gebruik de loodlijn vanuit het middelpunt van de cirkel op $k$ .