12.2  Meetkunde met coördinaten >

In deze paragraaf hebben we in het platte vlak een assenstelsel met oorsprong gekozen.

Lijnen

Vergelijking van een lijn
De lijn met vergelijking y = a x + b heeft richtingscoëfficient (of helling) a en snijdt de y -as in ( 0, b ) .

Opmerking:

Door a en b te variëren, krijg je alle mogelijke lijnen in het vlak, behalve verticale lijnen.

De hellingshoek van een lijn

In het plaatje linksboven is k een dalende lijn, de hellingshoek is stomp. In het plaatje rechtsvoven is k een stijgende lijn, de hellingshoek is scherp.
Als a de richtingscoëfficiënt van k is en α de hellingshoek, dan geldt: tan ( α ) = a .


Loodrecht snijden
Gegeven twee lijnen k en m niet evenwijdig aan de assen.
Dan
k en m staan loodrecht op elkaar het product van hun richtingscoëfficiënten is gelijk aan ‐1 .

Een ander type vergelijking voor een rechte lijn is van de vorm a x + b y + c = 0 .

Opmerking:

Door a , b en c te variëren krijg je nu wel alle mogelijke lijnen in het vlak.
Wel kun je bij verschillende keuzes van a , b en c dezelfde lijnen krijgen.
De vergelijking 2 x 3 y + 6 = 0 geeft dezelfde lijn als de vergelijking x 1 1 2 y + 3 = 0 .

Het midden van een lijnstuk
Het midden van het lijnstuk met eindpunten ( a , b ) en ( p , q ) is ( 1 2 ( a + p ) , 1 2 ( b + q ) ) .
(De x -coördinaat van het midden is het gemiddelde van de x -coördinaten van de twee punten; evenzo is de y -coördinaat het gemiddelde van de twee y -coördinaten.)

Voorbeeld:

Gegeven zijn de punten A ( 2,5 ) en B ( 6, 7 ) .
Vraag:
Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de middelloodlijn van lijnstuk A B met de coördinaatassen.

Uitwerking:
Het midden M van lijnstuk A B heeft coördinaten M ( 2, 1 ) ;
Lijn A B heeft richtingscoëfficiënt 7 5 6 2 = 12 8 = 3 2 , dus de middelloodlijn heeft richtingscoëfficiënt 2 3 ;
M ( 2, 1 ) invullen in y = 2 3 x + b geeft b = 2 1 3 , dus een vergelijking van de middelloodlijn is y = 2 3 x 2 1 3 , of ook 2 x 3 y 7 = 0 .
Snijpunt x -as: y = 0 invullen geeft x = 3 1 2 , dus ( 3 1 2 ,0 ) ;
Snijpunt y -as: x = 0 invullen geeft y = 2 1 3 , dus ( 0, 2 1 3 ) .

1

Gegeven zijn de lijnen k : x 1 1 2 y + 3 = 0 en m : x + 2 y = 11 .

a

Bereken de coördinaten van het snijpunt van k en m exact.

b

Teken de lijnen k en m in een assenstelsel.

c

Bereken de hellingshoek van k en van m in één decimaal nauwkeurig.
Bereken ook de hoek die de lijnen k en m maken in graden nauwkeurig.

2

k is de lijn met vergelijking x + 2 y = 6 en P is het punt ( 1, 3 ) .

Bereken langs algebraïsche weg de coördinaten van de loodrechte projectie van P op lijn k .

(hint)

Maak eerst een schets van de situatie.

3

Een cirkel met middelpunt M op de x -as gaat door de punten A ( 1, 3 ) en B ( 7,5 ) .

Bereken de coördinaten van M exact.

(hint)

Het middelpunt van een cirkel ligt op de middelloodlijn van twee punten op de cirkel.

De gemeenschappelijke punten van twee lijnen
Gegeven twee lijnen k : a x + b y = c en m : p x + q y = r .
Het stelsel { a x + b y = c p x + q y = r

  • heeft één oplossing k en m snijden elkaar,

  • heeft oneindig veel oplossingen k = m ,

  • heeft geen oplossingen k en m zijn evenwijdig.

4

Gegeven zijn de lijnen k p : ( p 1 ) x + y = 3 p en m q : 3 x + 2 y = q voor alle mogelijke waarden van p en q .

a

Voor welke p en q hebben de lijnen k p en m q geen gemeenschappelijke punten?

b

Voor welke p en q staan de lijnen k p en m q loodrecht op elkaar?

De lijnen k p gaan door één punt.

c

Toon dat aan.

De afstand van twee punten
De afstand van A ( a , b ) tot P ( p , q ) is: ( a p ) 2 + ( b q ) 2 .

5

Driehoek A B C heeft hoekpunten A ( 1, 2 ) , B ( 5,0 ) en C ( 3,6 ) . Op zijde A C ligt het punt P ( 2,4 ) en op zijde A B het punt Q , zó, dat B C en P Q evenwijdig zijn.

a

Bereken de lengte van de zijden van driehoek A B C exact.

b

Bereken de hoeken van driehoek A B C exact.

c

Bereken de coördinaten van Q exact.

d

Bereken de oppervlakte van vierhoek P Q B C exact.

Cirkels

De afstandsformule voor twee punten levert onmiddelijk het volgende.

Vergelijking van een cirkel
De cirkel met middelpunt M ( a , b ) en straal r heeft vergelijking ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2 .

Voorbeeld:

Middelpunt van een cirkel bepalen
Gegeven is de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 + 4 x 2 y = 3 .
Het middelpunt en de straal van de cirkel vind je door bovenstaande vergelijking terug te schrijven in de de vorm: ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2 , de zogenaamde middelpuntsvorm.
Dat gaat met kwadraatafsplitsen.
x 2 + y 2 + 4 x 2 y = 3 ( x + 2 ) 2 4 + ( y 1 ) 2 1 = 3 ( x + 2 ) 2 + ( y 1 ) 2 = 8
Het middelpunt is ( 2,1 ) en de straal 8 = 2 2 .

6

Bereken langs algebraïsche weg het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking:

  • x 2 + y 2 + 4 x 2 y = 10

  • 2 x 2 + 2 y 2 + 4 x 2 y = 10

  • 1 2 x 2 + 1 2 y 2 + 4 x 2 y = 10

7

Een cirkel met straal 13 gaat door de punten ( 1, 1 ) en ( 1,3 ) .

a

Geef een vergelijking van de cirkel.

Een cirkel met straal 4 raakt de x -as en gaat door de punten A ( 4,2 ) en B ( 2,6 ) .

b

Geef een vergelijking van de cirkel.

Cirkels en lijnen
8

Gegeven is de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 + 4 x 3 y = 25 en de lijn met verglijking 2 x + y = 10 .

Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van de cirkel en de lijn exact.

9

Eén van de raaklijnen vanuit O ( 0,0 ) aan een cirkel met straal 2 is de x -as. Het middelpunt van de cirkel heeft positieve coördinaten en ligt op afstand 4 van O .

Geef een exacte vergelijking van de andere raaklijn vanuit O aan de cirkel.

Voorbeeld:

Raaklijn in een punt van de cirkel
Een cirkel met middelpunt M ( 1,1 ) gaat door het punt P ( 2,3 ) .
Een vergelijking van de raaklijn k in P aan de cirkel vind je als volgt.
Lijn P M heeft helling 2 , dus lijn k heeft helling 1 2 , want de lijnen P M en k staan loodrecht op elkaar. Dus k heeft vergelijking y = 1 2 x + b voor zekere b . Omdat P op k ligt, volgt dat b = 4 , dus een vergelijking van k is: y = 1 2 x + 4 .

Voorbeeld
Raaklijn met een gegeven richting
Gegeven is de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 + 2 x 2 y = 3 en de lijnen m p met vergelijking 2 x + y = p . Deze zijn voor elke waarde van p evenwijdig aan elkaar. Voor twee waarden van p is m p raaklijn aan de cirkel.
We berekenen die waarden op twee manieren.

  • Meetkundig
    Het middelpunt van de cirkel is M ( 1,1 ) . De punten waar de lijnen m p de cirkel raken, liggen op de lijn l door M loodrecht op de lijnen m p . De lijnen m p hebben helling 2 , dus l heeft helling 1 2 .
    Een vergelijking van l is: y = 1 2 x + 1 1 2 .
    De snijpunten van l met de cirkel zijn de oplossingen van het stelsel { y = 1 2 x + 1 1 2 x 2 + y 2 + 2 x 2 y = 3
    Substitutie geeft x 2 + ( 1 2 x + 1 1 2 ) 2 + 2 x 2 ( 1 2 x + 1 1 2 ) = 3 x = 3 of x = 1 . De raakpunten zijn dus ( 3,0 ) en ( 1,2 ) .
    Dus m p raakt de cirkel als p = 6 of als p = 4 .

  • Algebraïsch met een discriminant
    m p is raaklijn aan de cirkel als het stelsel
    { 2 x + y = p x 2 + y 2 + 2 x 2 y = 3 één oplossing heeft.
    De vergelijking in x die je krijgt door voor y = 2 x + p in de vergelijking x 2 + y 2 + 2 x 2 y = 3 in te vullen, moet dus discriminant 0 hebben.
    x 2 + ( 2 x + p ) 2 + 2 x 2 ( 2 x + p ) = 3
    5 x 2 + ( 4 p + 6 ) x + p 2 2 p 3 = 0 heeft dicriminant 0 als ( 4 p + 6 ) 2 20 ( p 2 2 p 3 ) = 0 . Dit geeft p = 6 of p = 4 .

10

Een cirkel met middelpunt op de lijn k met vergelijking y = x 2 raakt de lijn m met vergelijking 3 x 4 y + 16 = 0 in het punt A ( 4,1 ) .

Bereken de straal van de cirkel exact.

11

Twee lijnen door ( 0,10 ) raken een cirkel met middelpunt M in de punten ( 4,2 ) en ( 8,6 ) .

Bereken exact de coördinaten van het middelpunt M .

12

Twee lijnen door ( 0,12 ) raken een cirkel met middelpunt ( 0,3 ) en straal 3 .
Deze twee lijnen snijden de x -as in de punten A en B .

Bereken exact de coördinaten van A en B .

(hint)

Stel een vergelijking op van de cirkel; de lijnen door ( 0,12 ) hebben een formule van de vorm y = a x + 12 . Gebruik de discriminant.

13

In een rechthoek van 2 bij 2 is een halfcirkel met middelpunt O ( 0,0 ) getekend en een gelijkbenige driehoek A B C zoals in de figuur is weergegeven.
De halfcirkel snijdt de driehoek in de punten D en E .

Bereken exact de oppervlakte van driehoek C D E .

(hint)

Stel vergelijkingen op van de halfcirkel en van de lijnen van de driehoek.

14

Gegeven is de cirkel c met vergelijking x 2 + y 2 + 4 x 6 x = 32 en lijn k : 2 x + y = 24 .

a

Bereken exact de afstand van punt P ( 3,5 ) tot cirkel c .

(hint)

Maak een goede schets.

b

Bereken exact de afstand van lijn k tot cirkel c .

(hint)

Gebruik de loodlijn vanuit het middelpunt van de cirkel op k .