1

a

Een vergelijking van $m$ is: $x = 11 - 2 y$ .
Dit voor $x$ invullen in de vergelijking van $m$ geeft:
$11 - 2 y - 1 \frac{1}{2} y + 3 = 0$ , dus $y = 4$ en dus $x = 3$ . Het snijpunt is $(3,4)$ .

b

c

De richtingscoëfficiënt van $k$ is $\frac{2}{3}$ en van $m$ $‐ \frac{1}{2}$ . Noem hellingshoek van $k$ : α en van $m$ : β, dan $α = \tan^{‐ 1} (\frac{2}{3}) = 33,7 °$ en $β = 180 ° - \tan^{‐ 1} (\frac{1}{2}) = 153,4 °$ . Zie figuur; hierin is $n$ een lijn evenwijdig aan de $x$ -as. De hoek van de lijnen $k$ en $m$ is $γ$ , zie figuur.
$γ = \tan^{‐ 1} (\frac{1}{2}) + \tan^{‐ 1} (\frac{2}{3}) = 60 °$ .

2

Noem dat punt $Q$ . Lijn $k$ heeft helling $‐ \frac{1}{2}$ . De lijn $m$ door $P$ loodrecht op $k$ heeft dus helling $2$ . Een vergelijking van $m$ is dan: $y = 2 x - 5$ .
Het snijpunt van $m$ en $k$ is $Q$ $(3 \frac{1}{5},1 \frac{2}{5})$ .

3

$M$ is het snijpunt van de $x$ -as met de middelloodlijn van $A B$ . Lijn $A B$ heeft helling $\frac{4}{3}$ , dus de middelloodlijn heeft helling $‐ \frac{3}{4}$ en gaat door het midden $(4,1)$ van lijnstuk $A B$ . De middelloodlijn heeft dus vergelijking $y = ‐ \frac{3}{4} x + 4$ . Dus $M = (5 \frac{1}{3},0)$ .

4

a

Dan moeten de lijnen evenwijdig zijn en niet samenvallen.
Ze hebben dezelfde helling als $p = 2 \frac{1}{2}$ . De vergelijkingen zijn dan:
$k_{2 \frac{1}{2}} : 1 \frac{1}{2} x + y = 7 \frac{1}{2}$ en $m_{q} : 3 x + 2 y = q \Leftrightarrow 1 \frac{1}{2} x + y = \frac{1}{2} q$ .
Dus $p = 2 \frac{1}{2}$ en $q \neq 15$ .

b

Dan doet $q$ niet ter zake en $‐ 1 \frac{1}{2} \cdot ‐ (p - 1) = ‐ 1$ , dus $p = \frac{1}{3}$ .

c

Door wat lijnen $k_{p}$ op de GR te tekenen, zie je dat het gemeenschappelijke punt $(3,3)$ is. Dat dit punt op elk van de lijnen $k_{p}$ ligt, zie je door dit punt in de vergelijking van $k_{p}$ in te vullen: je vindt $0 = 0$ .

5

a

$A B = B C = 2 \sqrt{10}$ en $A C = 4 \sqrt{5}$ .

b

Uit de omgekeerde stelling van Pythagoras volgt dat hoek $A B C$ recht is. De driehoek is gelijkbenig, dus de hoeken zijn $45$ , $45$ en $90$ graden.

c

$A P = \frac{3}{4} A C$ , dus $A Q = \frac{3}{4} A B$ . Van $A$ naar $B$ moet je $6$ naar rechts, dus naar $Q$ $\frac{3}{4} \cdot 6 = 4 \frac{1}{2}$ naar rechts en $\frac{3}{4} \cdot 2 = 1 \frac{1}{2}$ omhoog, dus $Q = (‐ 1 + 4 \frac{1}{2}, ‐ 2 + 1 \frac{1}{2}) = (3 \frac{1}{2}, ‐ \frac{1}{2})$ .

d

De oppervlakte van driehoek $A B C = \frac{1}{2} \cdot {(2 \sqrt{10})}^{2} = 20$ . De oppervlakte van driehoek $A P Q = {(\frac{3}{4})}^{2} \cdot 20$ , dus de gevraagde oppervlakte is $\frac{7}{16} \cdot 20 = 8 \frac{3}{4}$ .

6

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = 10 \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 15$ ,
dus middelpunt $(‐ 2,1)$ en straal $\sqrt{15}$
$2 x^{2} + 2 y^{2} + 4 x - 2 y = 10 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 6 \frac{1}{4}$ ,
dus middelpunt $(‐ 1, \frac{1}{2})$ en straal $2 \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + 4 x - 2 y = 10 \Leftrightarrow {(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 40$ ,
dus middelpunt $(‐ 4,2)$ en straal $2 \sqrt{10}$

7

a

Het middelpunt van de cirkel ligt op de lijn $y = 1$ .
Vergelijking cirkel met straal $\sqrt{13}$ en middelpunt $(1,3)$ : ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 13$ ; snijden met $y = 1$ : ${(x - 1)}^{2} + {(1 - 3)}^{2} = 13$ $\to$ ${(x - 1)}^{2} = 9$ $\to$ $x = 4$ of $x = ‐ 2$ ;
Twee cirkels: ${(x - 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 13$ en ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 13$ .

b

Het middelpunt van de cirkel ligt op de middelloodlijn van $A B$ . Deze heeft vergelijking $3 x + 2 y = 11$ . De $y$ -coördinaat van het middelpunt is $4$ . Het middelpunt is dus $(1,4)$ . De straal is dan $\sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13}$ .
Een vergelijking is dus ${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 13$ .

8

${\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 4 x - 3 y = 25 \\ 2 x + y = 10 \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} x^{2} + {(10 - 2 x)}^{2} + 4 x - 3 (10 - 2 x) = 25 \\ y = 10 - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{array}{l} x^{2} - 6 x + 9 = 0 \\ y = 10 - 2 x \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} {(x - 3)}^{2} = 0 \\ y = 10 - 2 x \end{array}$ . Er is maar één gemeenschappelijk punt: $(3,4)$ .

9

Het middelpunt van de cirkel noemen we $M$ en het raakpunt op de $x$ -as $R$ . Dan is driehoek $R O M$ een $30$ - $60$ - $90$ graden driehoek, hoek $R O M = 30 °$ , dus de andere raaklijn heeft hellingshoek $60 °$ , dus helling $\sqrt{3}$ . Een vergelijking is $y = \sqrt{3} \cdot x$ .

10

Het middelpunt van de cirkel ligt op de lijn $s$ door $A$ loodrecht op $m$ . Lijn $m$ heeft helling $\frac{3}{4}$ , dus lijn $s$ heeft helling $‐ \frac{4}{3}$ . Een vergelijking van $s$ is dus: $y = ‐ \frac{4}{3} x - \frac{13}{3}$ .
Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van $s$ en $k$ . Dat is $(‐ 1, ‐ 3)$ en de straal is de afstand van dit punt tot $A$ , dus $5$ .

11

Loodlijn in $(4,2)$ : $y = \frac{1}{2} x$ ; loodlijn in $(8,6)$ : $y = 2 x - 10$ ;
Snijpunt: $2 x - 10 = \frac{1}{2} x$ $\to$ $x = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3}$ en $y = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ $\to$ $M (6 \frac{2}{3},3 \frac{1}{3})$

12

Lijnen door $(0,12)$ : $y = a x + 12$ ; cirkel: $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$ ;
Substitutie: $x^{2} + {(a x + 9)}^{2} = 9$ $\to$ $(1 + a^{2}) x^{2} + 18 a x + 72 = 0$ ;
Discriminant is nul: ${(18 a)}^{2} - 4 \cdot 72 \cdot (1 + a^{2}) = 0$ $\to$ $a = ‐ \sqrt{8} = ‐ 2 \sqrt{2}$ of $a = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ ;
$A (‐ 3 \sqrt{2}, 0)$ en $B (3 \sqrt{2}, 0)$

13

(half)cirkel: $x^{2} + y^{2} = 1$ ; lijn $B C$ : $y = \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot x = \sqrt{2} \cdot (1 - x)$ ;
Snijden: $x^{2} + {(\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot x)}^{2} = 1$ $\to$ $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ $\to$ $x = 1$ (dit is punt $B$ ) of $x = \frac{1}{3}$ .
Dus $E (\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \sqrt{2})$ ; factor t.o.v. $Δ A B C$ is $\frac{1}{3}$ , dus de oppervlakte is ${(\frac{1}{3})}^{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{9} \sqrt{2}$ .

14

a

$P$ ligt binnen de cirkel; formule van $c$ herschrijven: ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 45$ , dus middelpunt $M (‐ 2,3)$ en straal $\sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ ;
$P M = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$ , dus de afstand van $P$ tot de cirkel is $3 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$ .

b

Loodlijn uit $(‐ 2,3)$ op $k$ : $y = \frac{1}{2} x + 4$ ;
Deze snijden met cirkel $c$ : ${(x + 2)}^{2} + {(\frac{1}{2} x + 1)}^{2} = 45$ $\to$ ... $\to$ $x = ‐ 8$ of $x = 4$ ; dus het punt op de cirkel het dichtst bij $k$ is $A (4,6)$ ;
Snijden loodlijn met $k$ geeft punt $B (8,8)$ ;
De gevraagde afstand is $A B = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ .