Een vergelijking van is: .
Dit voor invullen in de vergelijking van geeft:
, dus
en dus . Het snijpunt is
.
De richtingscoëfficiënt van is
en van
. Noem hellingshoek van : α en van : β, dan
en
. Zie figuur; hierin is
een lijn evenwijdig aan de -as.
De hoek van de lijnen en is
, zie figuur.
.
Noem dat punt . Lijn heeft helling
.
De lijn door loodrecht op
heeft dus helling . Een vergelijking van is dan: .
Het snijpunt van en is .
is het snijpunt van de -as met de middelloodlijn van . Lijn heeft helling , dus de middelloodlijn heeft helling en gaat door het midden van lijnstuk . De middelloodlijn heeft dus vergelijking . Dus .
Dan moeten de lijnen evenwijdig zijn en niet samenvallen.
Ze hebben dezelfde helling als . De vergelijkingen zijn dan:
en
.
Dus en .
Dan doet niet ter zake en , dus .
Door wat lijnen op de GR te tekenen, zie je dat het gemeenschappelijke punt is. Dat dit punt op elk van de lijnen ligt, zie je door dit punt in de vergelijking van in te vullen: je vindt .
en .
Uit de omgekeerde stelling van Pythagoras volgt dat hoek recht is. De driehoek is gelijkbenig, dus de hoeken zijn , en graden.
, dus . Van naar moet je naar rechts, dus naar naar rechts en omhoog, dus .
De oppervlakte van driehoek . De oppervlakte van driehoek , dus de gevraagde oppervlakte is .
,
dus middelpunt en straal
,
dus middelpunt en straal
,
dus middelpunt en straal
Het middelpunt van de cirkel ligt op de lijn .
Vergelijking cirkel met straal en middelpunt :
; snijden met :
of
;
Twee cirkels: en
.
Het middelpunt van de cirkel ligt op de middelloodlijn van . Deze heeft vergelijking
.
De -coördinaat van het middelpunt is
. Het middelpunt is dus . De straal is dan .
Een vergelijking is dus
.
. Er is maar één gemeenschappelijk punt: .
Het middelpunt van de cirkel noemen we en het raakpunt op de -as . Dan is driehoek een -- graden driehoek, hoek , dus de andere raaklijn heeft hellingshoek , dus helling . Een vergelijking is .
Het middelpunt van de cirkel ligt op de lijn door loodrecht op . Lijn
heeft helling , dus lijn heeft helling
.
Een vergelijking van is dus: .
Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van en . Dat is
en de straal is de afstand van dit punt tot
, dus .
Loodlijn in : ;
loodlijn in : ;
Snijpunt:
en
Lijnen door : ;
cirkel: ;
Substitutie:
;
Discriminant is nul:
of ;
en
(half)cirkel: ;
lijn :
;
Snijden:
(dit is punt ) of
.
Dus ;
factor t.o.v. is ,
dus de oppervlakte is .
ligt binnen de cirkel;
formule van herschrijven:
, dus middelpunt en straal
;
, dus de afstand van tot de cirkel is
.
Loodlijn uit op :
;
Deze snijden met cirkel :
...
of ;
dus het punt op de cirkel het dichtst bij is
;
Snijden loodlijn met geeft punt
;
De gevraagde afstand is .