Exponentiële groei

Als je de hoeveelheid één tijdseenheid later (of één lengte-eenheid dieper of ...) krijgt door de hoeveelheid nú (of op deze hoogte of ...) met een vaste factor te vermenigvuldigen, spreken we van exponentiële groei.
De factor waar je per tijdseenheid (of lengte-eenheid of ...) mee vermenigvuldigt, noemen we de groeifactor.

Een hoeveelheid $H$ groeit met groeifactor $g$ per uur.
Als je met hoeveelheid $b$ begint, dan is de hoeveelheid $H$ na $t$ uur: $H = b \cdot g^{t}$ .
Als $g > 1$ is $H$ stijgend.
Als $0 < g < 1$ , dan is $H$ dalend.
De grafiek gaat door het punt $(0, b)$ .

Als een hoeveelheid met $2$ % per uur afneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor $0,98$ per uur.
Als een hoeveelheid met $2$ % per uur toeneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor $1,02$ per uur.

Stel: een hoeveelheid groeit exponentieel en wordt in $6$ uur tijd $5$ keer zo groot. Dan geldt voor de groeifactor $g$ per uur: $g^{6} = 5$ . Dus $g = \sqrt[6]{5}$ $= 5^{\frac{1}{6}}$ .

Veronderstel dat een hoeveelheid van een stof exponentieel af- of toeneemt. De tijd waarin die hoeveelheid halveert, is de halfwaardetijd of halveringstijd van die stof.
De tijd waarin die hoeveelheid verdubbelt, is de verdubbelingstijd van die stof.

Van een exponentieel groeiproces waarvan de tijd $t$ gemeten wordt in uren en de functiewaarde $V$ gemeten wordt in m³ is gegeven dat $V (2) = 200$ m³ is. Verder is $V (5) = 3125$ m³.

Stel de formule op van $V$ als functie van $t$ .

Bereken het groeipercentage per kwartier. Rond je antwoord af op 1 decimaal.

Bereken het tijdstip $t$ waarop $V = 10 000$ m³. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

Bereken de verdubbelingstijd van dit proces. Geef je antwoord in minuten en met één decimaal.

Jodium-125
Kankergezwellen in de prostaat kunnen worden bestreden met radiotherapie. Er worden dan titanium staafjes zo groot als een rijstkorrel aangebracht rondom het gezwel. In deze staafjes zit een kleine hoeveelheid radioactief jodium-125. Dit jodium zendt gammastraling uit die de kankercellen doodt. Na ongeveer een jaar worden de staafjes weer verwijderd.
Jodium-125 heeft een halveringstijd van $60$ dagen, d.w.z. dat de stralingssterkte van een bepaalde hoeveelheid jodium-125 elke $60$ dagen gehalveerd wordt.
Neem in deze opgave aan dat elke maand $30$ dagen telt en elk jaar $360$ dagen.

Toon met een berekening aan dat de radioactiviteit elke maand met $29,3 %$ afneemt.

Bereken hoeveel procent van de radioactiviteit na een jaar, dus bij verwijdering van de staafjes, nog aanwezig is. Rond je antwoord af op één decimaal.

Ziekenhuisafval is besmet met radioactief jodium-125. Op het moment dat het in vaten wordt opgeslagen is de stralingsactiviteit $100 000$ becquerel per gram. Volgens de Nederlandse kernenergiewet is de straling ongevaarlijk als die beneden $72$ becquerel per gram is.

Bereken na hoeveel maanden dit het geval is. Rond je antwoord af op één decimaal.

Jodium-131
Bij behandeling van schildklierkanker wordt jodium-131 gebruikt. Het jodium-131 wordt vanuit de maag en darmen opgenomen in het bloed en volgt dezelfde weg als niet-radioactief jodium naar de schildklier. In de schildklier wordt het radioactieve jodium-131 vastgehouden en doet zijn werk in de vorm van bestraling ‘van binnenuit’.
De vervaltijd van jodium-131 is veel korter dan van jodium-125: na $60$ dagen is nog maar $0,56 %$ van de straling aanwezig.

Bereken de halveringstijd van jodium-131 in dagen nauwkeurig.

Schrijf de onderstaande formules met de rekenregels voor machten in de vorm $y = b \cdot g^{x}$ en vind zo de beginwaarde $b$ en de groeifactor $g$ .

$y = 3^{2 x - 4}$	$y = \sqrt{4 \cdot 8^{x}}$
$y = 20 \cdot {(1,25)}^{‐ 4 x - 1}$	$y = 125^{‐ x + 1} \cdot 5^{2 x - 5}$

Exponentiële functies

$y = g^{x}$ is de standaard exponentiële functie met grondtal $g$ , met $g > 0$ en $g \neq 1$ .

De $x$ -as is horizontale asymptoot van de grafiek.
Als $g > 1$ , dan is de functie stijgend;
als $0 < g < 1$ , dan is de functie dalend.
De grafiek gaat door het punt $(0,1)$ .

Je krijgt de grafiek van $y = a \cdot g^{x} + b$ door de grafiek van $y = g^{x}$ verticaal te vermenigvuldigen t.o.v. de $x$ -as met factor $a$ en daarna $b$ eenheden omhoog te schuiven.
De lijn $y = b$ is horizontale asymptoot van de grafiek van
$y = a \cdot g^{x} + b$ .

De grafiek van $y = g^{x - a}$ krijg je uit de grafiek van $y = g^{x}$ door deze $a$ naar rechts te schuiven.
Met behulp van een rekenregel zie je: $g^{x - a} = g^{‐ a} \cdot g^{x}$ .
Dus de grafiek van $y = g^{x - a}$ ontstaat ook uit de grafiek van $y = g^{x}$ door deze verticaal t.o.v. de $x$ -as met factor $g^{‐ a}$ te vermenigvuldigen.

Je krijgt de grafiek van $y = g^{c x}$ uit de grafiek van $y = g^{x}$ door een horizontale vermenigvuldiging t.o.v. de $y$ -as met factor $\frac{1}{c}$ .
Omdat $g^{c x} = {(g^{c})}^{x}$ is het ook de grafiek van de exponentiële functie met groeifactor $g^{c}$ .

De grafiek van de functie $f$ die is gegeven door $f (x) = 2 - \frac{10}{2^{x}}$ heeft een horizontale asymptoot $y = a$ .

Beredeneer aan de hand van de formule van $f$ wat de waarde van $a$ is.

Leg uit met welke drie transformaties (en in welke volgorde) je de grafiek van $f$ kan krijgen uit de grafiek van $y = 2^{x}$ . Laat elke tussenstap duidelijk zien.

Gegeven is de functie

g (x) = \frac{1}{9} \cdot 3^{x}

.
De grafiek van

g

kun je op twee manieren uit de grafiek van

y = 3^{x}

krijgen, beide door slechts één transformatie.

Welke twee manieren zijn dat?

De grafiek van

g

wordt ten opzichte van de

y

-as vermenigvuldigd met factor

b

. Na deze vermenigvuldiging gaat de grafiek door het punt

(10, \sqrt{3})

Bereken exact de waarde van $b$ en geef een formule van de functie die hoort bij de nieuwe grafiek.

Exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden

We hebben bij machtsfuncties al gezien:
als $x^{b} = a$ , dan $x = a^{\frac{1}{b}}$ .

Bij exponentiële vergelijkingen maak je eerst de grondtallen gelijk. En daarna laat je de grondtallen weg:

$g^{a} = g^{b} \Leftrightarrow a = b$

Voorbeeld:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{3 x - 1} = 8^{2 x + 1}$ $\to$ $2^{‐ 1} \cdot 2^{3 x - 1} = {(2^{3})}^{2 x + 1}$ $\to$ $2^{3 x - 2} = 2^{6 x + 3}$
$\to$ $3 x - 2 = 6 x + 3$ $\to$ $x = ‐ \frac{5}{3}$

Bij ongelijkheden los je eerst de gelijkheid op, dan maak je (met behulp van je GR) een schets en geef je antwoord met behulp van de grafiek(en).

Voorbeeld:

Los op: $f (x) \geq g (x)$ met $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{2 x}$ en $g (x) = 4 \cdot {(\sqrt{2})}^{x}$ .
Uitwerking
Gelijkheid: ${(\frac{1}{2})}^{2 x} = 4 \cdot {(\sqrt{2})}^{x}$ $\to$ ${(2^{‐ 1})}^{2 x} = 2^{2} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{x}$ $\to$ $2^{‐ 2 x} = 2^{2 + \frac{1}{2} x}$ $\to$ $‐ 2 x = 2 + \frac{1}{2} x$ $\to$ $\frac{5}{2} x = ‐ 2$ $\to$ $x = ‐ \frac{4}{5}$
Schets maken: zie figuur hiernaast.
Dus grafiek van $f$ ligt boven de grafiek van $g$ als $x \leq ‐ \frac{4}{5}$ .

Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden in $x$ exact op.

$2^{4 x + 1} = 4 \cdot 4^{x}$	$\frac{1}{3} \cdot 3^{x - 1} = \sqrt{3^{x + 1}}$
$\sqrt{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{x} = \sqrt{6} \cdot 2^{2 x}$	$2 + \frac{3}{9^{x + 4}} = 3$
$3 \cdot \sqrt{3^{x}} < {(\frac{1}{9})}^{1 - x}$	$\frac{2}{5^{‐ x}} < 50 \cdot 5^{\sqrt{x}}$

Voorbeeld:

Los de vergelijking $3^{2 x} - 10 \cdot 3^{x} = ‐ 9$ exact op.
Uitwerking
Omdat $3^{2 x} = {(3^{x})}^{2}$ krijg je ${(3^{x})}^{2} - 10 \cdot 3^{x} = ‐ 9$
Noem $p = 3^{x}$ , dan wordt de vergelijking $p^{2} - 10 p = ‐ 9$
$p^{2} - 10 p + 9 = (p - 1) (p - 9) = 0$ $\to$ $p = 1$ of $p = 9$
$p = 3^{x}$ terugzetten: $3^{x} = 1$ of $3^{x} = 9$ $\to$ $x = 0$ of $x = 2$

Los exact op:

$2^{2 x} + 3 \cdot 2^{x} - 10 = 0$

$24 \cdot 5^{x} = 5 (1 - 5^{2 x})$

Nog meer exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden staan in de laatste paragraaf Rekentechniek.

Logaritmen

Een hoeveelheid groeit exponentieel met groeifactor $g$ .
${}^{g} \log (x)$ is de tijdsduur die nodig is om de hoeveelheid $x$ keer zo groot te laten worden.

$g^{t} = x$ is gelijkwaardig met ${}^{g} log (x) = t$ .

We nemen de getallen $g$ en $x$ positief en $g \neq 1$ .
$g$ heet het grondtal van de logaritme.
${}^{g} log (x)$ bestaat alleen als $x > 0$ en $g > 0$ en $g \neq 1$ .

$\log (...)$ betekent ${}^{10} log (...)$ .

Voorbeeld:

Een cavia krijgt een verdovingsmiddel toegediend met concentratie $2,0$ mg per liter bloed. De concentratie in het bloed neemt door afbraak door de lever en de nieren exponentieel af met een halveringstijd van $40$ minuten.
De verdoving is uitgewerkt als de concentratie minder dan $0,1$ mg/liter is.
Bereken na hoeveel minuten de verdoving is uitgewerkt.
Uitwerking
Voor de groeifactor $g$ per minuut geldt $g^{40} = \frac{1}{2}$
$\to$ $g = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{40}} \approx 0,9828...$ ;
Op te lossen de vergelijking: $2,0 \cdot {(0,9828...)}^{t} = 0,1$
$\to$ ${(0,9828...)}^{t} = 0,05$ $\to$ $t = {}^{0,9828...} \log (0,05) \approx 172,9$ , dus de verdoving is $173$ minuten werkzaam.

Een glasplaat van $1$ cm dikte neemt $20$ % van het erop vallend licht weg.

Leg uit dat door een glasplaat van $2$ cm dikte $64$ % van het licht wordt doorgelaten.

Bereken algebraïsch hoe dik je een glasplaat moet maken om slechts $40$ procent van het licht door te laten (in mm nauwkeurig).

Rekenregels voor logaritmen:

${}^{g} log (a) + {}^{g} log (b) = {}^{g} log (a \cdot b)$
Dit is de hoofdeigenschap van logaritmen.
${}^{g} \log (a) - {}^{g} \log (b) = {}^{g} \log (\frac{a}{b})$
${}^{g} \log (x^{p}) = p \cdot {}^{g} \log (x)$
$g^{{}^{g} log (x)} = x$ en ${}^{g} log (g^{x}) = x$
${}^{g} \log (x) = \frac{\log (x)}{\log (g)}$

Voorbeeld:

Gegeven het exponentiëel verband $y = 0,4 \cdot {1,5}^{x}$ .
Schrijf de formule in de vorm $\log (y) = a x + b$ . Geef de waarden van $a$ en $b$ exact en daarna afgerond op drie decimalen.
Uitwerking
Neem links en rechts de logaritme: $\log (y) = \log (0,4 \cdot {1,5}^{x})$
$\to$ $\log (y) = \log (0,4) + \log ({1,5}^{x}) = \log (0,4) + x \cdot \log (1,5)$ ,
dus $a = \log (1,5) \approx 0,76$ en $b = \log (0,4) \approx ‐ 0,398$ .
De grafiek voor het verband tussen $\log (y)$ en $x$ is dus een rechte lijn. Zie figuur.

Volgens een theorie is er een verband tussen de oppervlakte $A$ van een eiland en het aantal soorten reptielen $S$ op dat eiland. In de grafiek hieronder is de lijn getekend die bij dit verband hoort.
Let op: langs de assen zijn niet $A$ en $S$ uitgezet, maar $\log (A)$ en $\log (S)$ .
$A$ = oppervlakte in vierkante mijlen, $S$ is aantal soorten reptielen.

Een formule bij de getekende lijn is: $\log (S) = 0,5 + 0,3 \cdot \log (A)$ .

Leg dat uit.

Het eiland Madagascar heeft een oppervlakte van $226 658$ vierkante mijlen.

Bereken hoeveel soorten reptielen er volgens dit model op Madagascar voorkomen.

In Nederland komen van nature zeven soorten reptielen voor.

Wat is de oppervlakte (in vierkante mijlen) van een eiland met slechts zeven soorten?

De formule kan herleid worden tot de vorm $S = c \cdot A^{d}$ .

Geef deze herleiding en de waarden van $c$ en $d$ afgerond op één decimaal.

Gegeven is het verband $G = 15 \cdot D^{2}$ .

Schrijf het verband in de vorm $\log (G) = a \cdot \log (D) + b$ , met de waarden van $a$ en $b$ exact.

Gegeven het verband $H = 3,52 \cdot {1,035}^{2 t}$ .

Schrijf het verband in de vorm $\log (H) = p + q \cdot t$ , met de waarden van $p$ en $q$ exact en daarna afgerond op twee decimalen.

Gegeven het verband $y = 2 \cdot 3^{x}$ .

Schrijf het verband langs algebraïsche weg in de vorm $x = c \cdot \log (y) + d$ , met $c$ en $d$ afgerond op twee decimalen.

Gegeven het verband $\log (C) = 3,5 - 4,2 \log (D)$ .

Schrijf het verband langs algebraïsche weg in de vorm $C = a \cdot D^{b}$ , met $a$ en $b$ exact en daarna afgerond op één decimaal.

Gegeven het verband $\log (P) = 1,2 Q + 0,34$ .

Toon aan dat het verband tussen $P$ en $Q$ exponentieel is. Geef de groeifactor en de beginwaarde, beide afgerond op twee decimalen.

Voorbeeld:

Gegeven is dat $\log (y)$ (recht)evenredig is met $\log (x)$ .
Bij $x = 3$ geldt $y = 6$ .
Geef een formule voor $y$ als functie van $x$ zonder logaritmen.
Uitwerking
$\log (y) = c \cdot \log (x)$ , dus $\log (6) = c \cdot \log (3)$
$\to$ $c = \frac{\log (6)}{\log (3)} \approx 1,6309$ , zodat $\log (y) = 1,6309 \cdot \log (x)$
Dus $y = 10^{1,6309 \cdot \log (x)} = {(10^{\log (x)})}^{1,6309} = x^{1,6309}$

De Amerikaanse veearts Max Kleiber deed onderzoek naar het verband tussen de lichaamsmassa van dieren en de warmteproductie van dat dier. In de tabel zie je enkele gegevens van zijn onderzoek. Ter vereenvoudiging werken we hier slechts met drie waarnemingen.

Lichaamsgewicht in kg ( $L$ )	Warmteproductie per dag in kcal ( $W$ )
$20$	$946$
$56$	$2039$
$260$	$6470$

Toon aan dat $L$ niet rechtevenredig met $W$ kan zijn.

Toon aan dat $\log (L)$ en $\log (\frac{W}{100})$ (bij benadering) wel rechtevenredig zijn. Geef de evenredigheidsconstante afgerond op twee decimalen.

(hint)

Maak een tabel met de waarden van $\log (L)$ en $\log (\frac{W}{100})$ .

Druk $W$ uit in $L$ in een formule zonder logaritmen.

Hoe presteert een lange afstandsloper op een korte afstand? En als je weet hoe snel iemand op de $100$ meter loopt, kun je dan ook voorspellen hoelang hij over de $10$ km doet? Daar gaat deze opgave over.
We nemen aan dat de atleet steeds de hele afstand met een constante snelheid ( $v$ ) loopt.
Er blijkt voor topatleten een verband te bestaan tussen de afstand $s$ (in meters) die gelopen wordt en de snelheid $v$ (in km/u) die de atleet loopt:
$v = 20 - {}^{2} \log (\frac{s}{10.000})$ .

Bereken de tijd waarin de atleet de $10$ km loopt.

Laat zien dat je deze formule om kunt schrijven naar
$v = 33,3 - {}^{2} \log (s)$ .

Kies in het vervolg van deze opgave de tweede formule.

Onderzoek hoe de snelheid verandert als de atleet een vier keer zo lange afstand loopt. Geef een algemeen bewijs, geen getallenvoorbeelden.

Maak een formule voor $s$ uitgedrukt in $v$ (ofwel: maak een formule voor de inverse).

Gegeven is het verband $G = 10 \cdot \log (\frac{B}{10^{‐ 12}})$ .

De formule voor $G$ is ook te schrijven als $G = 10 \cdot \log (B) + p$ .

Bereken $p$ op algebraïsche wijze.

Bewijs dat $G$ met een constante waarde toeneemt als $B$ steeds $100$ keer zo groot wordt. Wat is die constante waarde?

(hint)

Gebruik de formule van onderdeel a.

Schrijf $B$ als functie van $G$ .

Logaritmische vergelijkingen

Met behulp van de rekenregels kun je veel vergelijkingen met logaritmen terugbrengen tot drie basisvormen.

Breng de vergelijking terug tot één logaritme en gebruik de definitie van de logaritme ${}^{g} \log (x) = t \Leftrightarrow g^{t} = x$ om de log weg te werken.
Voorbeeld
${}^{2} \log (x) = 3 - {}^{2} \log (x + 2)$ $\to$ ${}^{2} \log (x) + {}^{2} \log (x + 2) = 3$
$\to$ ${}^{2} \log (x (x + 2)) = 3$ $\to$ $x (x + 2) = 2^{3} = 8$
$\to$ $(x + 4) (x - 2) = 0$ $\to$ $x = ‐ 4$ (voldoet niet) dus $x = 2$
Breng de vergelijking met de rekenregels terug tot één logaritme links en één logaritme rechts van het gelijkteken (beide met hetzelfde grondtal!) en laat dan beide logaritmen weg.
Voorbeeld
${}^{2} \log (x) + {}^{2} \log (3) = {}^{2} \log (12) - {}^{2} \log (x)$
$\to$ ${}^{2} \log (3 x) = {}^{2} \log (\frac{12}{x})$ $\to$ $3 x = \frac{12}{x}$
$\to$ $3 x^{2} = 12$ $\to$ $x = ‐ 2$ (voldoet niet) dus $x = 2$
Pas een substitutie toe, bijvoorbeeld $p = \log (x)$ , zodat je een vergelijking krijgt in $p$ zonder logaritme die je kan oplossen. Vervang daarna $p$ weer terug door de uitdrukking met $x$ en los die verder op.
Voorbeeld
$\log (x^{2}) + 3 = \frac{5}{\log (x)}$ $\to$ $2 \log (x) + 3 = \frac{5}{\log (x)}$
Noem $p = \log (x)$ $\to$ $2 p + 3 = \frac{5}{p}$ $\to$ $2 p^{2} + 3 p - 5 = 0$
$\to$ $p = 1$ of $p = ‐ 2 \frac{1}{2}$ $\to$ $\log (x) = 1$ of $\log (x) = ‐ 2 \frac{1}{2}$
$\to$ $x = 10^{0} = 1$ of $x = 10^{‐ 2 \frac{1}{2}} \approx 0,00316$

Opmerking:

Controleer altijd je oplossingen!
Omdat de logaritme niet bestaat van een negatief getal, vind je vaak een oplossing die niet voldoet.

Bereken exact voor welke $x$ geldt:

$3 \cdot {}^{2} \log (2 x) = {}^{2} \log (16 x)$

${}^{3} \log (2 x + 1) - 1 = {}^{3} \log (7)$

$\log (x^{2} - 1) + 1 = \log (‐ 15 x)$

$\log (x + 2) - \log (3) = \frac{1}{2} \log (x)$

$\sqrt{{}^{2} \log (x)} = {}^{2} \log (x) - 6$

Nog meer logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden staan in de laatste paragraaf Rekentechniek.

Logaritmische functies

$y = {}^{g} \log (x)$ is de standaard logaritmische functie met grondtal $g$ (met $g > 0$ en $g \neq 1$ ).

Het domein is $x > 0$ .
De $y$ -as is verticale asymptoot van de grafiek.
Als $g > 1$ , dan is de functie stijgend;
als $0 < g < 1$ dan is de functie dalend.
De grafiek gaat door het punt $(1,0)$ .

De grafiek van $y = b + a \cdot {}^{g} \log (x - d)$ krijg je uit de grafiek van $y = {}^{g} \log (x)$ door deze verticaal te vermenigvuldigen t.o.v. de $x$ -as met factor $a$ , daarna $b$ omhoog en $d$ naar rechts te schuiven.
Het domein is $x > d$ en de lijn $y = d$ is verticale asymptoot van de grafiek.
De grafiek gaat door het punt $(d + 1,0)$ .

Je krijgt de grafiek van $y = {}^{g} \log (c x)$ uit de grafiek van
$y = {}^{g} \log (x)$ door deze horizontaal te vermenigvuldigen t.o.v. de $y$ -as met factor $\frac{1}{c}$ .
Omdat ${}^{g} \log (c \cdot x) = {}^{g} \log (c) + {}^{g} \log (x)$ krijg je de grafiek ook door deze met ${}^{g} \log (c)$ omhoog te schuiven.

De functie $f$ is gegeven door $f (x) = {}^{3} \log (4 x + 3)$ . De grafiek van $f$ snijdt de $x$ -as in punt $A$ en de $y$ -as in punt $B$ .
Verder is $l$ de lijn door $A$ en $B$ . Zie de figuur.

Stel op algebraïsche wijze een formule op voor $l$ .

Geef het domein van functie $f$ .

De grafiek krijg je uit de grafiek van $y = {}^{3} \log (x)$ door twee transformaties na elkaar uit te voeren.

Geef aan welke twee transformaties dit kunnen zijn en in welke volgorde ze moeten worden toegepast. Laat ook de juistheid zien.

Bereken de helling van de grafiek van $f$ in het punt met $x$ -coördinaat $1$ . Rond je antwoord af op twee decimalen.

De functie $f$ is gegeven door $f (x) = \log (4 - x^{2})$ .

Bepaal op algebraïsche wijze het domein van $f$ .

Bepaal exact de maximale waarde van $f$ .

De functie $f$ is gegeven door $f (x) = {}^{2} \log (x^{2} - x)$ .

De grafiek van $f$ heeft twee asymptoten. Zie de figuur.

Geef (met toelichting) van elk van de asymptoten een vergelijking.

De grafiek van $f$ snijdt de $x$ -as in de punten $A$ en $B$ .

Bereken exact de lengte van lijnstuk $A B$ .

De grafiek van $f$ wordt met $2$ vermenigvuldigd ten opzichte van de $x$ -as. Zo ontstaat de grafiek van een functie $g$ .

Toon op algebraïsche wijze aan dat de functie $g$ wordt gegeven door $g (x) = {}^{2} \log (x^{2} (x^{2} - 2 x + 1))$ .

De functie $h$ is gegeven door $h (x) = x^{2} - x$ .
In de tweede figuur zijn de grafieken van $f$ en $h$ beide getekend.
Door de grafiek van $h$ over een afstand $a$ naar beneden te schuiven raken de grafieken van $f$ en $h$ elkaar.

Bereken de waarde van $a$ afgerond op twee decimalen.

We bekijken de bundel functies $f_{p} (x) = 3 - {}^{3} \log (4 x - p)$ .

Hoe ontstaan de grafieken in de bundel uit elkaar?

Bereken exact voor welke waarde van $p$ de grafiek uit de bundel door het punt $(3,1)$ gaat.

Voor welke waarde van $p$ is de lijn $x = ‐ 1$ asymptoot van de grafiek?

Wat is de asymptoot van $y = 3 - {}^{3} \log (4 x - p)$ ?

De grafiek van $f_{2}$ ontstaat met een aantal transformaties uit de grafiek van $y = {}^{3} \log (x)$ .

Welke transformaties kunnen dit zijn en in welke volgorde moeten ze worden toegepast?

De functie $f$ is gegeven door $f (x) = a + b \cdot {}^{2} \log (x + c)$ , voor zekere waarden van $a$ , $b$ en $c$ .
In de figuur is de grafiek van $f$ getekend en zijn drie roosterpunten aangegeven die op de grafiek liggen. Ook is de asymptoot van de grafiek getekend.

Bepaal de waarden van $a$ , $b$ en $c$ .