Gemiddelde helling

Van een functie wordt de gemiddelde helling op het $x$ -interval $[a, b]$ (of de gemiddelde verandering) berekend door het differentiequotiënt $\frac{Δ y}{Δ x}$ op dat interval uit te rekenen.
(Differentiequotiënt betekent letterlijk "uitkomst van deling van verschillen".)
De gemiddelde helling is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van het verbindingslijnstuk tussen de twee punten op de grafiek bij $x = a$ en $x = b$ .

In praktische situaties wordt dit de gemiddelde groei op het interval genoemd. Als op de horizontale as de tijd staat, dan is de gemiddelde helling gelijk aan de gemiddelde groeisnelheid per tijdseenheid (van de grootheid op de verticale as).

Gegeven is de functie $f (x) = x^{2} - 2 x$ .

Bereken de gemiddelde helling van $f$ op het interval $[‐ 1,1]$ .

Bereken exact voor welke waarde van $a$ de gemiddelde helling van $f$ op het interval $[‐ 1, a]$ gelijk is aan $1$ .

Bewijs dat de gemiddelde helling op het interval $[1 - c,1 + c]$ gelijk is aan nul, voor elke waarde van $c$ .
Wat betekent dit voor de grafiek van $f$ ?

De gemiddelde helling van $f$ op het interval $[p, q]$ is $p + q - 2$ .

Bewijs dit.

(hint)

Gebruik: $q^{2} - p^{2} = (q - p) (q + p)$ .

De punten $A$ en $B$ liggen op de grafiek van $f$ . De eerste coördinaat van $B$ is $10$ groter dan de eerste coördinaat van $A$ .
De lijn door $A$ en $B$ heeft richtingscoëfficiënt $‐ 4$ .

Bereken exact de coördinaten van $A$ en $B$ .

Voor de bevolking in Nederland geldt vanaf het jaar 2000 bij benadering de volgende formule: $N = 15.864 \cdot {1,00423}^{t}$
met $N$ in duizenden en $t$ in jaren sinds 2000.

Bereken de gemiddelde groeisnelheid per jaar van het aantal inwoners in Nederland over de periode 2010-2015.
Geef je antwoord in honderden nauwkeurig.

Gegeven is de functie $f (x) = ‐ \frac{1}{2} x^{2} + 4 x$ .
Het differentiequotiënt van $f$ op het interval $[2, a]$ is $‐ \frac{1}{2} (a - 6)$ .

Toon dit aan.

Bereken $a$ in het geval de gemiddelde helling gelijk is aan $‐ 4$ .

Bij een functie kun je een grafiek tekenen met daarin de toenames bij een bepaalde stapgrootte $Δ x$ : het toenamediagram.

Hieronder zie je hoe bij de functie in de linker grafiek het bijbehorende toenamediagram in de rechter grafiek gemaakt wordt. Bij dit voorbeeld geldt $Δ x = 1$ .

Hiernaast staat het toenamediagram getekend bij een functie $f$ . De grafiek van $f$ gaat door het punt $(3, ‐ 2)$ .

Bereken $f (0)$ .

Teken een mogelijke grafiek van de functie.

De grafiek van de bijbehorende functie heeft een minimum.

Is het mogelijk dat het minimum zit bij $x = 3$ ? Of bij $x < 3$ ? Of bij $x > 3$ ?

Van een grafiek van een functie staat hieronder het toenamediagram.

Wat is de gemiddelde toename van $y$ op $[3,11]$ ?

Bereken het differentiequotiënt op $[0,16]$ .

Zoek een interval waarop $\frac{Δ y}{Δ x}$ gelijk aan $0$ is.

Helling in een punt

De helling in een punt van een grafiek kun je bepalen met het tekenen van de raaklijn in dat punt van de grafiek.
De helling is dan de richtingscoëfficiënt van die raaklijn.

De helling in punt

P (a, b)

van de grafiek van een functie

f

kan berekend worden door de gemiddelde helling

\frac{Δ y}{Δ x}

te berekenen op een steeds kleiner wordend

x

-interval

[a, a + Δ x]

.
De waarde van de uitkomst

\frac{Δ y}{Δ x}

als

Δ x

naar nul gaat, wordt soms genoteerd als

\frac{d y}{d x}

, of als

y'

.

Als op de horizontale as de tijd staat, is de betekenis van de helling de groeisnelheid per tijdseenheid (van de grootheid op de verticale as).

Opmerking:

Ook met de GR kun je de helling in een punt uitrekenen.
Daarvoor moet je eerst de grafiek van de functie tekenen op je GR en de window goed instellen.
Ook kan de GR een raaklijn in een bepaald punt van de grafiek tekenen en berekenen.
Zoek uit hoe het werkt op jouw GR.

Deze mogelijkheden van je GR mag je niet gebruiken als gevraagd wordt om iets exact of algebraïsch te berekenen.

Je kunt dan deze opties juist wel goed gebruiken om je antwoorden te controleren.

De hellingshoek van de grafiek in een punt op de grafiek wordt bepaald door de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt.
Voor de hellingshoek α geldt: $tan(α) = richtingscoëfficiënt$ .

Gegeven is de functie $f (x) = \sqrt{x^{2} + x + 4}$ .

Bereken de gemiddelde helling van $f$ op het interval $[3; 3,01]$ afgerond op 4 decimalen.
Evenzo op het interval $[3; 3,001]$ .
Wat is de helling in het punt op de grafiek van $f$ bij $x = 3$ , afgerond op 3 decimalen?

Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder de grafiek van $f$ de $y$ -as snijdt.

Gegeven is de functie $g (x) = x^{2} - x$ .

Toon aan dat de gemiddelde helling van $g$ op het interval $[p, p + 0,01]$ gelijk is aan $2 p - 0,99$ .
Bereken ook de gemiddelde helling op het interval $[p, p + 0,001]$ uitgedrukt in $p$ .
Hoe groot is de helling bij $x = p$ ?

Gegeven is de functie $h (x) = {}^{2} \log (x^{2} - 4)$ .

Benader met je rekenmachine de helling in het punt $(6, h (6))$ . Rond je antwoord af op 2 decimalen.

Bereken de eerste coördinaat van het punt op de grafiek van $h$ waarin de raaklijn evenwijdig is aan de lijn $y = x$ . Rond je antwoord af op 2 decimalen.

Voor de bevolking in Nederland geldt vanaf het jaar 2000 bij benadering de volgende formule: $N = 15.864 \cdot {1,00423}^{t}$
met $N$ in duizenden en $t$ in jaren sinds 2000.

Bereken met hoeveel inwoners de bevolking in Nederland volgens dit model per dag groeit in het jaar 2020.

Gegeven is de formule $s = \frac{t}{1 + \sqrt{t}}$ . Hierin is $s$ de afgelegde afstand in meters na $t$ seconden.

Benader in m/s de snelheid op tijdstip $t = 4$ .
Neem $Δ t = 0,01$ en rond af op twee decimalen.

Door in elk punt van de grafiek van een functie $f$ de helling te berekenen, krijg je de hellingfunctie van $f$ , genoteerd met $f'$ .
De helling van de grafiek van de functie $f$ bij $x = a$ , noteren we met $f' (a)$ .
Een andere naam voor de hellingfunctie is de afgeleide functie.
Met de afgeleide functie kun je de helling (richtingscoëfficiënt van de raaklijn) uitrekenen in een gegeven punt van de grafiek.
Het berekenen van de afgeleide functie van een gegeven functie wordt differentiëren genoemd.

Bijvoorbeeld voor machtsfuncties:
als $f (x) = x^{p}$ , dan $f' (x) = p \cdot x^{p - 1}$ .
In het bijzonder:

als $f (x) = \sqrt{x}$ , dan $f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ;
als $f (x) = \frac{1}{x}$ , dan $f^{'} (x) = ‐ \frac{1}{x^{2}}$ .

De grafiek hiernaast gaat over het verloop van de temperatuur op een dag in maart.

Op welk tijdsinterval is de grafiek toenemend stijgend?

Bepaal de maximale groeisnelheid van de temperatuur op deze dag.

Schets de hellinggrafiek van $T$ .

Techniek van differentiëren

Regels voor differentiëren
$f$ en $g$ zijn functies, $c$ is een getal.

Constanteregel
Als je de grafiek van een functie verticaal verschuift, verandert de helling van de grafiek niet.
Als $g (x) = f (x) + c$ , dan $g^{'} (x) = f^{'} (x)$ .
Veelvoudregel
Als je de grafiek van een functie verticaal vermenigvuldigt, wordt de afgeleide met dezelfde factor vermenigvuldigd.
Als $v (x) = c \cdot f (x)$ , dan $v^{'} (x) = c \cdot f^{'} (x)$ .
Somregel
Als $s (x) = f (x) + g (x)$ , dan $s^{'} (x) = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ .
Kettingregel
Voor de ketting $x \to u \to y$ , geldt: $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ .
Ofwel: $\frac{d}{d x} f (g (x)) = f' (g (x)) \cdot g' (x)$ .
Productregel (geen examenstof)
Als $p (x) = f (x) \cdot g (x)$ , dan $p^{'} (x) = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$ .
Quotiëntregel (geen examenstof)
Als $q (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ , dan $q^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - g^{'} (x) \cdot f (x)}{{g (x)}^{2}}$ .

Opmerking:

De productregel en de quotiëntregel zijn niet nodig op het Centraal Examen. Maar je mag ze eventueel wel gebruiken en dat kan soms handig zijn. We oefenen deze twee regels verder niet in dit hoofdstuk.

Differentiëer de volgende functies en vereenvoudig je antwoord:

$f_{1} (x) = (x^{2} + 2 x + 9) (x - 1)$	$f_{2} (x) = x^{2} + 3 x \sqrt{x}$
$f_{3} (x) = \frac{2 x^{2} + x}{\sqrt{x}}$	$f_{4} (x) = 2 - \frac{x^{3} - 1}{x \sqrt{x}}$
$f_{5} (x) = (x^{2} + 3) \sqrt{x}$	$f_{6} (x) = \sqrt{10 x^{3}}$
$f_{7} (x) = {(10 - 2 x)}^{5}$	$f_{8} (x) = \sqrt{10 - 25 x}$
$f_{9} (x) = 2 x + \sqrt{2 x - 1}$	$f_{10} (x) = {(2 + \sqrt{1 - x})}^{2}$

Toepassingen van de afgeleide

In de toppen van de grafiek van een functie $f$ geldt $f' (x) = 0$ .
De grafiek is stijgend als $f' (x) > 0$ .
De grafiek is dalend als $f' (x) < 0$ .

De kleinste $y$ -waarde die een functie $f$ (op een $x$ -interval) aanneemt, is het minimum van $f$ (op dat interval).
De grootste $y$ -waarde die een functie $f$ (op een $x$ -interval) aanneemt, is het maximum van $f$ (op dat interval).

Als gevraagd wordt om de extreme waarde(n) van een functie uit te rekenen, dan moet je op zoek naar de maximale of minimale $y$ -waarde(n) van de functie. Dat kan dus in een top van de grafiek zijn, óf in een beginpunt van de grafiek (zoals bij een wortelgrafiek).

Gegeven is $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ . Hiernaast staat een schets van de grafiek van $f$ .
De grafiek van $f$ heeft voor $x$ tussen $1$ en $2$ een minimum.

Bereken met differentiëren de exacte waarde van deze $x$ .

Ga bij de functies $f_{1}$ t/m $f_{10}$ uit opgave 88 na of er een extreme waarde is.
Zo ja, geef dan aan of het een minimum of maximum is en bereken exact de uiterste waarde.

Gegeven is de functie $g (x) = ‐ 0,01 x^{3} + 0,1 x^{2} + x$ .
De raaklijn in de oorsprong aan de grafiek van $g$ gaat door een top van de grafiek van $g$ .

Bewijs dit.

Bereken exact de coördinaten van het punt $P$ op de grafiek van $g$ waar de raaklijn evenwijdig is aan de raaklijn in de oorsprong.

Uit onderzoek blijkt dat het aantal bacteriën van een bepaalde bacteriecultuur onder bepaalde omstandigheden gedurende de eerste vier weken benaderd kan worden door de formule
$N = ‐ 100 t^{3} + 300 t^{2} + 900 t + 1000$ ( $0 \leq t \leq 4$ ).
Hierbij is $N$ het aantal bacteriën en $t$ de tijd in weken na $t = 0$ .

Bereken met behulp van differentiëren tot welk tijdstip $t$ het aantal bacteriën stijgt.

Bereken met behulp van de afgeleide functie van $N$ op welk tijdstip het aantal bacteriën het sterkst stijgt.

De grafieken van de functies $f$ en $g$ raken elkaar als er een punt is dat op beide grafieken ligt en waarin deze grafieken dezelfde helling hebben.
Dan is er een waarde $a$ waarvoor:

$f (a) = g (a)$ én
$f' (a) = g' (a)$ .

Een vergelijking van de gemeenschappelijke raaklijn is dan
$y = f' (a) (x - a) + f (a)$ of $y = g' (a) (x - a) + g (a)$ .

Gegeven zijn de functies $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 4$ en
$g (x) = 0,25 x^{2} + 4 x + 9$ . Zie figuur.
De grafieken lijken elkaar te raken.

Toon langs algebraïsche weg aan dat de grafieken van $f$ en $g$ elkaar inderdaad raken.

Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van de gemeenschappelijke raaklijn in het raakpunt.

De functie $f$ is gegeven door $f (x) = \sqrt{4 x - 5}$ .
De lijn $k$ heeft als vergelijking $y = 4 x + b$ .

Voor een bepaalde waarde van $b$ raakt de lijn $k$ de grafiek van $f$ . In de figuur zijn deze lijn $k$ en de grafiek van $f$ te zien.

Bereken met behulp van differentiëren deze waarde van $b$ .

Bereken exact in welk punt op de grafiek van $y = \sqrt{x}$ de raaklijn evenwijdig is met de lijn $x - 3 y = 2$ .

De grafiek van de functie $y = \frac{1}{x}$ snijdt de lijn $y = \frac{1}{2} x$ in de punten $P$ en $Q$ .
De raaklijnen aan de grafiek van $y = \frac{1}{x}$ in de punten $P$ en $Q$ snijden de $y$ -as in de punten $A$ en $B$ .

Bereken exact de afstand $A B$ .

In een buigpunt is de helling van de grafiek maximaal of minimaal.
Dat betekent dat de afgeleide van de hellingfunctie $f' (x)$ bij $x = p$ helling nul heeft. Ofwel: $f'' (p) = 0$ .
De functie $f'' (x)$ heet de tweede afgeleide van de functie $f (x)$ .
In de figuren hieronder staan de vier mogelijkheden voor buigpunten en of de helling daar minimaal of maximaal is.

In de grafieken hierboven is de grafiek eerst naar links gekromd en later naar rechts. Of andersom.
Het "omslagpunt" is het buigpunt.
Je kunt ook zeggen dat vóór het buigpunt de grafiek van boven gezien hol is en na het buigpunt van onderen gezien hol is. Of andersom.

Opmerking:

We kunnen de coördinaten van een buigpunt dus berekenen door de hellingfunctie $f' (x)$ nogmaals te differentiëren en gelijk aan nul te stellen.
Let op: Je moet wel in de grafiek controleren óf er inderdaad een buigpunt is.
Je mag de bewering namelijk niet omkeren, want bijvoorbeeld bij de functie $f (x) = x^{4}$ geldt wél $f'' (0) = 0$ , maar er is géén buigpunt.

De raaklijn in het buigpunt heet buigraaklijn.

Gegeven is de familie functies door $f_{a} (x) = a x^{3} - 6 x^{2} + 2 a + 2$ .

Neem $a = ‐ 2$ en bereken langs algebraïsche weg een vergelijking van de buigraaklijn.

Voor de coördinaten van het buigpunt van $f_{a}$ geldt: $(\frac{2}{a},2 a + 2 - \frac{16}{a^{2}})$ .

Toon dit aan.

Lijn $k$ heeft vergelijking $y = ‐ 6 x + 8$ .

Bereken exact voor welke waarde van $a$ lijn $k$ de buigraaklijn is van $f_{a}$ .
Wat zijn de coördinaten van het buigpunt?

De hoek waaronder twee grafieken elkaar snijden is gelijk aan de hoek die de raaklijnen in het snijpunt met elkaar maken.
Let op: de hoek tussen twee lijnen is altijd scherp! Een hellingshoek kan wél stomp zijn.

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ .
Verder is voor elke waarde van $p$ de functie $g_{p}$ gegeven met $g_{p} (x) = p (x - 1) (x + 2) + 4$ .
Zowel de grafiek van $f$ als de grafiek van $g_{p}$ gaat voor elke waarde van $p$ door het punt $(1,4)$ .
In de figuur hiernaast zijn de grafieken van $f$ en van
$g_{1} (x) = (x - 1) (x + 2) + 4$ getekend.

Bereken in hele graden nauwkeurig de hoek die de grafieken van $f$ en $g_{1}$ in het punt $(1,4)$ met elkaar maken.

Er is een waarde van $p$ waarbij de grafieken van $f$ en $g_{p}$ elkaar in het punt $(1,4)$ raken.

Bereken exact voor welke waarde van $p$ dit het geval is.

Gegeven is de functie $f (x) = ‐ \frac{1}{5} x^{2} + 15$ , met $x > 0$ .
Tussen de $y$ -as en het snijpunt van de grafiek met de $x$ -as wordt een punt $A$ op de grafiek gekozen. De projecties van $A$ op de $x$ -as en $y$ -as noemen we respectievelijk $P$ en $Q$ .

Bereken exact de maximale oppervlakte van rechthoek $O P A Q$ .

Een hartslagmeter registreert de hartfrequentie van een hardloper bij verschillende snelheden. $H$ is de hartfrequentie in slagen per minuut en $V$ is de snelheid in km per uur. Het verband tussen $V$ en $H$ wordt voor de hardloper bij benadering gegeven door de volgende twee formules:

$H = 76,8 + 6,6 V$	voor $10 \leq V \leq 17$
$H = 200 - {(0,0545 V - 0,836)}^{‐ 1}$	voor $V \geq 17$

De grafiek voor het verband tussen $V$ en $H$ bestaat uit twee delen die bij $V = 17$ op elkaar aansluiten: beide formules geven bij $V = 17$ bij benadering dezelfde waarde voor $H$ .

Onderzoek met differentiëren of de beide formules bij $V = 17$ ook ongeveer dezelfde helling geven.

De grafiek van de functie $g$ gaar door het punt $(1,2)$ .
Bovendien geldt: $g' (x) = 7 x^{6} - 15 x^{4} + 5$ .

Geef een formule voor $g$ .