.
Er geldt: (want vervalt)
De lijn
is symmetrieas van de grafiek van
.
Noem , dan ; gebruik het resultaat van vraag d: , dus en .
, dus de groeisnelheid is (ongeveer) inwoners per jaar.
Zie figuur voor twee mogelijke grafieken. Elke mogelijke grafiek door de zes aangegeven roosterpunten is correct.
In de figuur staan de twee mogelijkheden getekend met minimum bij en bij . Evenzo is een grafiek te tekenen met minimum bij .
Van tot en met een toename van , dus .
Bijvoorbeeld ; de toename is . (Meerdere mogelijkheden!)
; ;
Met de GR de helling bepalen bij geeft helling , dus de hellingshoek is ; de hoek met de -as is .
;
;
de helling is
Met de rekenmachine het punt bepalen met helling geeft .
Met de rekenmachine , dus per dag is de groeisnelheid inwoners.
De helling van de raaklijn bepalen bij (ongeveer) 11 uur: de maximale helling is (ongeveer) °C/uur.
De helling is nul bij en ; de helling is maximaal bij (ongeveer) ; etc.
( of)
: geen extreme waarde;
: minimum
in randpunt ;
: geen extreme waarde (ook geen beginpunt, want bestaat niet);
: geen extreme waarde;
en
: minimum
in randpunt ;
geeft , maar dit is geen minimum of maximum;
: minimum
in randpunt ;
: minimum
in randpunt ;
: minimum
in randpunt
.
;
, dus de raaklijn in de oorsprong heeft vergelijking
;
Snijden:
of
;
, dus de raaklijn gaat door de top
.
( of) ;
moet worden opgelost (dat mag met de GR): ( of) , dus stijgend tot tijdstip .
De waarde van waarvoor maximaal is moet bepaald worden (dat mag met de GR!): top bergparabool bij
geeft of ; , dus ze raken elkaar in het punt .
rc = , dus raaklijn .
Er moet gelden (mag ook met de GR!) , dus raakpunt ; invullen geeft .
De rc van de lijn is , dus moet gelden , dus punt .
Snijpunten:
en ;
Raaklijnen: en
, dus en
;
;
;
;
buigpunt ; rc = ;
Buigraaklijn: .
;
;
Invullen:
, dus , dus ; buigpunt .
,
dus de hellingshoek van in het snijpunt is
(of ).
,
dus
,
dus de hellingshoek van in het snijpunt is
.
De hoek tussen de twee grafieken is , dus afgerond
.
;
Er moet gelden ,
dus
Maak eerst een schets zoals hiernaast!
;
;
Oppervlakte ;
;
maximale oppervlakte =
.
Voor :
;
Voor :
,
dus
;
De hellingen zijn ongeveer gelijk.
'Terugdifferentiëren' geeft: voor zekere waarde van
;
Punt invullen geeft:
,
dus
.