$34$ minuten

Dat is na $240$ minuten, en dus op dezelfde hoogte als bij $240-7\times 34=2$ minuten $\to$ $740-\frac{2}{15}\cdot (740-620)=724$ m hoogte.

Als $0\le t\le 15$: $h=620+\frac{120}{15}t=620+8t$;
Als $17\le t\le 32$: $h=740-\frac{120}{15}(t-17)=876-8t$;
Als $34\le t\le 49$: $h=620+8(t-34)=348+8t$;
Als $51\le t\le 66$: $h=740-8(t-51)=1148-8t$.

20:00 uur is $480$ minuten na de start, dus $\frac{480}{34}=14\frac{2}{7}$ keer de periode vanaf de start, dus in stijgend deel.
$620+8t=700$ $\to$ $t=10$, dus $10$ minuten na de start van ${14}^{\text{e}}$ periode: $14\times 34+10=486$ minuten na 12:00 uur $\to$ 20:06 uur.

Gondel 3: $1+10=11$ m; Gondel 4: $11+10\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}=11+5\sqrt{2}$ m; Gondel 8: $11-10\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}=11-5\sqrt{2}$ m.

Gondel 7: $h_7(t)=11+10\sin (\frac{2\text{π}}{20}t)=11+10\sin (\frac{\text{π}}{10}t)$;
Gondel 1: $h_1(t)=11+10\sin (\frac{2\text{π}}{20}(t-5))=11+10\sin (\frac{\text{π}}{10}(t-5))$.

Het deel binnen de haakjes van de sinus verandert van teken, dus:
Gondel 7: $h_7(t)=11+10\sin (\mathrm{‐}\frac{2\text{π}}{20}t)=11+10\sin (\mathrm{‐}\frac{\text{π}}{10}t)$;
Gondel 1: $h_1(t)=11+10\sin (\mathrm{‐}\frac{2\text{π}}{20}(t-5))=11+10\sin (\mathrm{‐}\frac{\text{π}}{10}(t-5))$.

snelheid = $\frac{\text{omtrek}}{\text{omlooptijd}}=\frac{20\text{π}}{20}\approx \mathrm{3,14}$ m/s, dus $\mathrm{11,3}$ km/u.

Er zijn telkens meerdere mogelijkheden.
A: $y=\mathrm{‐}1+2\sin (\text{π}x)$
B: $y=\mathrm{‐}10-50\sin (4x)$
C: $y=\mathrm{‐}1+5\sin (\frac{\text{π}}{60}(x-30))$
D: $y=9+6\cos (\frac{8}{3}x)$ of $y=9+6\sin (\frac{8}{3}(x-\frac{9}{16}\text{π}))$

A: $y=\sin (x)$ $\to$ ${\text{V}}_{y\text{-as},\frac{1}{\text{π}}}$ $\to$ $y=\sin (\text{π}x)$ $\to$ ${\text{V}}_{x\text{-as},2}$ $\to$ $y=2\sin (\text{π}x)$
$\to$ Translatie $(\mathrm{0,}\mathrm{‐}1)$ $\to$ $y=\mathrm{‐}1+2\sin (\text{π}x)$
B: $y=\sin (x)$ $\to$ ${\text{V}}_{y\text{-as},\frac{1}{4}}$ $\to$ $y=\sin (4x)$ $\to$ ${\text{V}}_{x\text{-as},50}$ $\to$ $y=50\sin (4x)$
$\to$ Translatie $(\frac{1}{4}\text{π},\mathrm{‐}10)$ $\to$ $y=\mathrm{‐}10+50\sin (4(x-\frac{1}{4}\text{π}))=\mathrm{‐}10+50\sin (4x-\text{π})$
C: $y=\sin (x)$ $\to$ ${\text{V}}_{y\text{-as},\frac{60}{\text{π}}}$ $\to$ $y=\sin (\frac{\text{π}}{60}x)$ $\to$ ${\text{V}}_{x\text{-as},5}$ $\to$ $y=5\sin (\frac{\text{π}}{60}x)$
$\to$ Translatie $(\mathrm{30,}\mathrm{‐}1)$ $\to$ $y=\mathrm{‐}1+5\sin (\frac{\text{π}}{60}(x-30))$
D: $y=\sin (x)$ $\to$ ${\text{V}}_{y\text{-as},\frac{3}{8}}$ $\to$ $y=\sin (\frac{8}{3}x)$ $\to$ ${\text{V}}_{x\text{-as},6}$ $\to$ $y=6\sin (\frac{8}{3}x)$
$\to$ Translatie $(\frac{9}{16}\text{π}\mathrm{,9})$ $\to$ $y=9+6\sin (\frac{8}{3}(x-\frac{9}{16}\text{π}))=9+6\sin (\frac{8}{3}x-\frac{3}{2}\text{π})$

Transformaties: ${\text{V}}_{y\text{-as},\frac{1}{2}}$, ${\text{V}}_{x\text{-as},2}$ en translatie $(\frac{1}{3}\text{π},\frac{1}{2})$; periode $=\text{π}$;
Maxima $(\frac{7}{12}\text{π}\mathrm{,2}\frac{1}{2})$, $(1\frac{7}{12}\text{π}\mathrm{,2}\frac{1}{2})$ en minima $(\frac{1}{12}\text{π},\mathrm{‐}1\frac{1}{2})$, $(1\frac{1}{12}\text{π},\mathrm{‐}1\frac{1}{2})$.

Transformaties: ${\text{V}}_{y\text{-as},\frac{1}{2}}$, ${\text{V}}_{x\text{-as},3}$ en translatie $(\mathrm{‐}\frac{1}{2}\text{π}\mathrm{,4})$; periode $=\text{π}$;
Maximum $(\frac{3}{4}\text{π}\mathrm{,7})$ en minimum $(\frac{1}{4}\text{π}\mathrm{,1})$.

Transformaties: ${\text{V}}_{y\text{-as},\frac{2}{\text{π}}}$, ${\text{V}}_{x\text{-as},\mathrm{‐}2}$ en translatie $(\mathrm{‐}\mathrm{2,5})$; periode $=4$;
Maxima: $(\mathrm{0,7})$, $(\mathrm{4,7})$ en $(\mathrm{8,7})$; minima: $(\mathrm{2,3})$, $(\mathrm{6,3})$ en $(\mathrm{10,3})$.

• $x=\mathrm{0,987}$, $x=\mathrm{2,725}$, $x=\mathrm{4,129}$ of $x=\mathrm{5,867}$

• $x=\mathrm{5,796}$

• $\sin (x)=\frac{1}{2}\sqrt{3}$ $\to$ $x=\frac{1}{3}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$   of   $x=\frac{2}{3}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$

• $2x-\frac{1}{4}\text{π}=\frac{1}{3}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$   of   $2x-\frac{1}{4}\text{π}=\mathrm{‐}\frac{1}{3}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$
  $\to$ $x=\frac{7}{24}\text{π}+k\cdot \text{π}$   of   $x=\mathrm{‐}\frac{1}{24}\text{π}+k\cdot \text{π}$

• $\cos (\frac{1}{3}\text{π}-x)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ $\to$ $\frac{1}{3}\text{π}-x=\frac{1}{4}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$   of   $\frac{1}{3}\text{π}-x=\mathrm{‐}\frac{1}{4}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$
  $\to$ $x=\frac{1}{12}\text{π}-k\cdot 2\text{π}$   of   $x=\frac{7}{12}\text{π}-k\cdot 2\text{π}$ $\to$ $x=\frac{1}{12}\text{π}$   of   $x=\frac{7}{12}\text{π}$

• $\sin (2x)=\mathrm{‐}\frac{1}{2}\sqrt{2}$   of   $\sin (2x)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
  $\to$ $2x=\mathrm{‐}\frac{1}{4}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$   of   $2x=\frac{5}{4}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$   of   $2x=\frac{1}{4}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$   of   $2x=\frac{3}{4}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$
  $\to$ $x=\mathrm{‐}\frac{1}{8}\text{π}+k\cdot \text{π}$   of   $x=\frac{5}{8}\text{π}+k\cdot \text{π}$   of   $x=\frac{1}{8}\text{π}+k\cdot \text{π}$   of   $x=\frac{3}{8}\text{π}+k\cdot \text{π}$
  $\to$ $x=\mathrm{‐}\frac{7}{8}\text{π}$, $x=\mathrm{‐}\frac{5}{8}\text{π}$, $x=\mathrm{‐}\frac{3}{8}\text{π}$, $x=\mathrm{‐}\frac{1}{8}\text{π}$, $x=\frac{1}{8}\text{π}$, $x=\frac{3}{8}\text{π}$, $x=\frac{5}{8}\text{π}$, $x=\frac{7}{8}\text{π}$

De minimale druk wordt gegeven door $c-a$ en deze is positief (want er wordt gedrukt, niet getrokken), dus $c-a\ge 0$ $\to$ $c\ge a$, ofwel $a\le c$.

De periode is $\frac{2\text{π}}{\frac{2}{3}\text{π}}=3$ seconden;
De vergelijking $40=25\sin (\frac{2}{3}\text{π}t)+28$ oplossen met de GR geeft $t\approx \mathrm{0,239}$ en $t\approx \mathrm{1,261}$, dus boven de $40$ in $\mathrm{1,022}$ van de $3$ seconden; dat is $34$%.

$\text{periode}=\frac{2\text{π}}{b}=\text{2}$ $\to$ $b=\text{π}$, dus $S=\mathrm{27,5}\sin (\text{π}t)+c$; de waarde van $c$ maakt niet uit voor de snelheid, dus je mag elke waarde ($\ge \mathrm{27,5}$) nemen.
De helling is maximaal voor $t=0(+k\cdot 2)$, dus met de GR de helling bepalen van $S=\mathrm{27,5}\sin (\text{π}t)$ bij $t=0$ geeft $S{\text{'}}_{\max }\approx \mathrm{86,4}$ (MPa/s), dus de snelheid waarmee de druk verandert is op bepaalde momenten groter dan $60$ MPa/s.

$\sin (x)=0$   of   $\cos (x-\frac{1}{4}\text{π})=0$;
$\sin (x)=0$ geeft $x=\mathrm{‐}\text{π}$ of $x=0$ of $x=\text{π}$;
$\cos (x-\frac{1}{4}\text{π})=0$ leidt tot $x-\frac{1}{4}\text{π}=\frac{1}{2}\text{π}$ of $x-\frac{1}{4}\text{π}=\mathrm{‐}\frac{1}{2}\text{π}$
$\to$ $x=\frac{3}{4}\text{π}$ of $x=\mathrm{‐}\frac{1}{4}\text{π}$;
Dus de $x$-coördinaten zijn $\mathrm{‐}\text{π},\mathrm{‐}\frac{1}{4}\text{π},\mathrm{0,}\frac{3}{4}\text{π}$ en $\text{π}$.

Met de GR bepalen: maximum is (ongeveer) $\mathrm{0,854}$ en het minimum is (ongeveer) $\mathrm{‐}\mathrm{0,146}$, dus $a\approx \frac{\mathrm{0,854}+\mathrm{0,146}}{2}=\mathrm{0,500}$, dus $a\approx \mathrm{0,50}$;
$d\approx \mathrm{0,854}-\mathrm{0,500}$, dus $d\approx \mathrm{0,35}$;
Met de GR het punt bepalen waarvoor de grafiek van $f$ stijgend door de evenwichtswaarde $y=\mathrm{0,354}$ gaat (of het midden bepalen van twee maxima van de grafiek van $f$) geeft $x\approx \mathrm{0,393}$, dus $c\approx \mathrm{‐}\mathrm{0,39}$.

De amplitude is $3$ en de evenwichtsstand is $h=7$, dus de maximale hoogte is $7+3=10$ meter en de minimale hoogte is $7-3=4$ meter.

De vergelijking $7-3\cos \left(\frac{\text{π}}{30}x\right)=8$ oplossen: $\cos \left(\frac{\text{π}}{30}x\right)=\mathrm{‐}\frac{1}{3}$
$\to$ $\frac{\text{π}}{30}x=\mathrm{1,9106...}+k\cdot 2\text{π}$   of   $\frac{\text{π}}{30}x=\mathrm{‐}\mathrm{1,9106...}+k\cdot 2\text{π}$
$\to$ $x=\mathrm{18,245...}+k\cdot 60$   of   $x=\mathrm{‐}\mathrm{18,245...}+k\cdot 60$
Dus: $x\approx \mathrm{‐}\mathrm{41,755}$ of $x\approx \mathrm{41,755}$;
De totale lengte is (ongeveer) $\mathrm{41,755}-\mathrm{‐}\mathrm{41,755}\approx 84$ meter.

Sporthal: evenwichtsstand = $6$ en amplitude = $2$;
$48$ m is $\frac{3}{4}$ periode, dus de periode $=\frac{48}{3}\cdot 4=64$;
$h=6-2\cos \left(\frac{2\text{π}}{64}x\right)$ of $h=6+2\sin \left(\frac{2\text{π}}{64}(x-16)\right)$;
Zwembad: evenwichtsstand = $8$ en amplitude = $4$;
$50$ m is $\frac{3}{4}$ periode, dus de periode $=\frac{50}{3}\cdot 4=\frac{200}{3}$;
$h=8-4\cos \left(\mathrm{‐}\frac{3\text{π}}{100}x\right)$ of $h=8+4\sin \left(\mathrm{‐}\frac{3\text{π}}{100}(x+\frac{50}{3})\right)$;
(Teken de grafiek op de GR om te controleren!)

$A(\frac{2}{3}\text{π})=\sqrt{{(1+\frac{1}{2})}^2+{(\frac{1}{2}\sqrt{3})}^2}=\sqrt{3}\approx \mathrm{1,73}$;
$A(1\frac{3}{4}\text{π})=\sqrt{{(1-\frac{1}{2}\sqrt{2})}^2+{(\frac{1}{2}\sqrt{2})}^2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx \mathrm{0,77}$

Kleinste uitkomst als $P$ in $(\mathrm{1,0})$ en grootste uitkomst in $(\mathrm{‐}\mathrm{2,0})$, dus bereik $[\mathrm{0,2}]$.

$A(t)=\sqrt{{(1-\cos (t))}^2+{\sin }^2(t)}$

Evenw.waarde $=0$, amplitude $=2$, periode $=4\text{π}$, dus $a=0$, $b=2$ en $c=\frac{1}{2}$.

$\sqrt{2-2\cos (t)}=\mathrm{0,6}$ $\to$ $2-2\cos (t)=\mathrm{0,64}$ $\to$ $\cos (t)=\mathrm{0,68}$
$\to$ $t\approx \mathrm{0,823...}+k\cdot 2\text{π}$ of $t\approx \mathrm{‐}\mathrm{0,823...}+k\cdot 2\text{π}$, dus: $t=\mathrm{0,823}$ of $t=\mathrm{5,460}$

De noemer is nooit nul (want de evenwichtswaarde is groter dan de amplitude).

Bereik: $3\le 4+\sin (x)\le 5$, dus $\frac{1}{5}\le \frac{1}{4+\sin (x)}\le \frac{1}{3}$; bereik $\left[\frac{1}{5},\frac{1}{3}\right]$.

Eerst gelijkheid oplossen: $\frac{1}{4+\sin (x)}=\frac{2}{7}$ $\to$ $8+2\sin (x)=7$ $\to$ $\sin (x)=\mathrm{‐}\frac{1}{2}$
$\to$ $x=\mathrm{‐}\frac{1}{6}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$   of   $x=\text{π}-\mathrm{‐}\frac{1}{6}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$;
Op het domein $\left[\mathrm{0,2}\text{π}\right]$ zijn de oplossingen $x=1\frac{1}{6}\text{π}$ of $x=1\frac{5}{6}\text{π}$;
Schets tekenen (GR): $f(x)>\frac{2}{7}$ als $1\frac{1}{6}\text{π}<x<1\frac{5}{6}\text{π}$.

Punt $A$: $\sin (x)=1$ $\to$ $x=\frac{1}{2}\text{π}$, dus $A(\frac{1}{2}\text{π}\text{,}\frac{1}{5})$;
Punt $B$: $\sin (x)=\mathrm{‐}1$ $\to$ $x=1\frac{1}{2}\text{π}$, dus $B(1\frac{1}{2}\text{π}\text{,}\frac{1}{3})$;

De horizontale lijn: $y=(\frac{1}{5}+\frac{1}{3})/2=\frac{4}{15}$;
Met de GR oplossen $\frac{1}{4+\sin (x)}=\frac{4}{15}$ geeft $x\approx \mathrm{3,394}$; $C(\mathrm{3,394};\mathrm{0,267})$.

Als de grafiek een sinusoïde is, dan moet $C$ het midden zijn van lijnstuk $AB$, dus moet gelden $x_C=\frac{1}{2}(x_A+x_B)=\text{π}$, maar dat is niet zo.