12.8  Gemengde opgaven (1) >
1

In sommige gebouwen zijn boven een raam of een deur bakstenen gemetseld in de vorm van een cirkelboog. Om deze bakstenen tijdens de bouw op de juiste wijze te kunnen plaatsen, wordt gebruikgemaakt van een houten mal, een zogenoemde metselboog. Hieronder is het vooraanzicht van de metselboog met de genoemde maten weergegeven.

De bovenrand van de metselboog is een deel van een cirkel. Om de metselboog te kunnen maken, moet de timmerman de straal van deze cirkel berekenen.

Bereken algebraïsch deze straal. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm.

2

In de figuur is een ruit (een vierhoek met vier even lange zijden) getekend, met hoeken van 60 en 120 graden.
Een cirkel gaat door drie van de vier hoekpunten van de ruit, zie figuur.
Neem aan dat de zijden van de ruit 6 zijn.

a

Bereken de straal van de cirkel exact.

b

Bereken exact de oppervlakte van het deel van de ruit dat binnen de cirkel zit.

c

Toon aan dat twee zijden van de ruit de cirkel raken.

3

In de figuur hiernaast staat een cirkel en een vierkant. De zijden van het vierkant zijn 2 .
De cirkel raakt twee zijden en gaat door een hoekpunt van het vierkant.

Bereken langs algebraïsche weg de straal van de cirkel. Rond je antwoord af op één decimaal.

4

Gegeven zijn de cirkels C r : ( x 5 ) 2 + ( y 8 ) 2 = r 2 , voor alle mogelijke postieve waarden van r .

a

Bereken voor welke waarden van r het punt A ( 2,0 ) binnen de cirkel ligt.

b

Bereken voor welke waarde van r de cirkel precies één punt gemeen heeft met de lijn m met vergelijking y = x .

5

Een regelmatige zeshoek wordt over de x -as gewenteld. We volgen de baan van het hoekpunt P , dat zich in het begin in de oorsprong O bevindt. De zijden van de zeshoek zijn 1 .

a

Teken op het werkblad de baan van P tot zover, dat P zo hoog mogelijk gekomen is.
Beschrijf dat stuk van de baan.

b

Bereken de exacte lengte van het stuk dat je moest tekenen.

De baan die P beschrijft is de grafiek van een periodieke functie.

c

Wat is de periode van die functie?

6

Hiernaast is de cirkel met middelpunt M ( 5,0 ) en straal 6 getekend. De lijn met vergelijking y = 1 2 x snijdt de cirkel in de punten A en B .

Bereken de lengte van lijnstuk A B exact.

7

Twee cirkels, één met straal 2 en de ander met straal 3 raken elkaar. De twee gemeenschappelijke raaklijnen snijden elkaar in een punt dat (vanwege symmetrie) op de verbindinsglijn van de middelpunten van de cirkels ligt.

Bereken de afstand x van dat snijpunt tot de cirkel met straal 2 exact.

(hint)

Gebruik gelijkvormigheid.

8

Een cirkel heeft vergelijking x 2 + y 2 2 x 3 = 0 . Op de lijn met vergelijking x + 3 y = 6 liggen twee punten die afstand 3 tot de cirkel hebben.

Bereken de coödinaten van deze punten exact.

9

Gegeven is de functie f met f ( x ) = 2 x . Een cirkel met middelpunt M op de y -as raakt de grafiek van f in het punt A ( 2,2 ) .
Dat wil zeggen dat de raaklijn aan de cirkel in A hetzelfde is als de raaklijn aan de grafiek van f in A .

Bereken de coördinaten van M exact.

10

Hiernaast zijn de cirkels met vergelijking x 2 + y 2 = 1 en
x 2 + y 2 6 x + 5 = 0 getekend. Een derde cirkel heeft zijn middelpunt op de y -as en raakt de andere twee cirkels.

Stel een vergelijking van die derde cirkel op.

(hint)
Bereken eerst de straal van die cirkel.
11

Een piloot vertrekt met zijn sportvliegtuig van vliegveld T en vliegt 3 uur met een constante snelheid van 140 km/h in de koers 30 ° ten opzichte van het Noorden.
Daarna verandert hij zijn koers in 170 ° en de snelheid in 120 km/h. Na 1,5 uur moet hij een noodlanding maken.

a

Maak van deze vlucht een tekening op schaal.

Over de radio geeft hij aan de verkeersleiding van vliegveld T door waar hij is geland en dat hij ernstig gewond is geraakt. Onmiddellijk wordt een helikopter gestuurd.

b

Bepaal de koers voor de helikopter.

12

Gegeven is de cirkel C : ( x 4 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 25 , de lijn k : x + y = 20 en het punt A ( 10,10 ) .

a

Bereken de exacte afstand van punt A tot cirkel C .

b

Bereken de exacte afstand van lijn k tot cirkel C .

c

Stel formules op voor de lijnen die op afstand 2 van lijn k liggen.

13

Deze opgave gaat over dozen die op een bepaalde manier uit een rechthoekig stuk karton worden gemaakt. Denk aan een pizzadoos. Zie figuur.
Neem een stuk karton met een breedte van b cm. Wil je een doos maken die x cm hoog wordt, dan moet je voor de lengte van het stuk karton 2 b x cm nemen. Op zes plaatsen worden vierkantjes van x bij x cm losgesneden en omgevouwen. De stippellijnen zijn vouwlijnen; de doorgetrokken lijnen zijn snijlijnen. Bodem en deksel zijn allebei vierkant.

Voor de inhoud I ( x ) ) van zo’n doos, in cm3, geldt de formule: I ( x ) = 4 x 3 4 b x 2 + b 2 x met 0 < x < 1 2 b .

a

Toon de juistheid van deze formule aan.

Voor elke positieve waarde van b heeft de inhoud I ( x ) een maximale waarde.
Dit maximum wordt bereikt voor x = 1 6 b .

b

Bewijs dat deze waarde van x juist is.

14

Een parabool snijdt de x -as in ( 2,0 ) en ( 8,0 ) , en de y -as in ( 0,8 ) . Punt A is het snijpunt van de parabool met de lijn x = 3 . Punt B ligt op de parabool.
Punten C en D liggen op de x -as zodat A B C D een rechthoek is. Zie figuur.

Bereken exact de oppervlakte van rechthoek A B C D .

15

Gegeven is vierkant A B C D met zijde 6 . P , Q , R en S zijn de middens van de zijden B C , C D , A D respectievelijk A B . Door de lijnen A P , B Q , C R en D S wordt een vierkant ingesloten.

(hint)
Maak een duidelijke tekening en gebruik gelijkvormigheid.

Bereken de exacte oppervlakte van dit vierkant.

16

In de figuur hiernaast staat de grafiek van de functie f met f ( x ) = x + 1 x .
Er is een punt op de grafiek van f met een horizontale raaklijn.

a

Bereken de eerste coördinaat van dit punt exact.

Een horizontale lijn snijdt y -as in A en de grafiek van f in B en C zó, dat A B = 1 3 B C .

b

Bereken de eerste coördinaat van B langs algebraïsche weg in twee decimalen nauwkeurig.

(hint)
Noem die eerste coördinaat p , dan is de eerste coördinaat van C gelijk aan 4 p .
17

Hieronder staat de grafiek van de functie f met f ( x ) = 9 x 2 . Op de x -as liggen de punten A en B en op de grafiek van f de punten C en D zó, dat A B C D een rechthoek is.
De eerste coördinaat van B noemen we x .

Er is een waarde van x waarvoor A B C D een vierkant is.

a

Bereken deze waarde van x exact.

Er is een waarde van x waarvoor de oppervlakte van rechthoek A B C D maximaal is.

b

Bereken deze waarde van x exact.

In figuur 2 is B = ( 2,0 ) en P = ( 3,0 ) . Op de grafiek van f ligt het punt Q zó, dat lijn P Q de rechthoek A B C D in twee stukken met gelijke oppervlakte verdeelt.

c

Bereken de eerste coördinaat van Q exact.

18

In de figuur hiernaast staat de grafiek van de functie f met f ( x ) = 5 x 2 + 9 .
In de snijpunten van de grafiek van f met de x -as zijn de raaklijnen getekend.
De grafiek van f heeft een symmetrie-as.

a

Toon dat aan.

b

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de twee getekende raaklijnen.

De grafiek wordt zó omhoog geschoven dat de snijpunten met de x -as afstand 12 tot elkaar hebben.

c

Bereken exact hoeveel eenheden de grafiek van f omhoog geschoven is.