1

Voor alle mogelijke waarden van $a$ bekijken we de functies $f_{a}$ met $f_{a} (x) = a + \sqrt{x + 2 a}$ .
Bijvoorbeeld $f_{2}$ is de functie met $f_{2} (x) = 2 + \sqrt{x + 4}$ .
Hiernaast is voor enkele waarden van $a$ de grafiek van de functie $f_{a}$ getekend.

Alle grafieken hebben een linker randpunt.

a

Welk punt is het randpunt van $f_{2}$ ? Licht je antwoord toe.

De linker randpunten van de grafieken van $f_{a}$ liggen op één lijn.

b

Toon dat aan en geeft een vergelijking van die lijn.

c

Bereken exact voor welke waarde van $a$ de grafiek van $f_{a}$ door $(5,15)$ gaat.

d

Bereken exact voor welke waarde van $a$ de grafiek van $f_{a}$ de $y$ -as onder een hoek van $45 °$ snijdt.

2

Hiernaast staat de grafiek van de periodieke zaagtandfunctie $f$ .

a

Bereken $f (100)$ .

b

Geef een formule van het stuk van de grafiek van $f$ op het interval $[1000,1001]$ .

De functie $g$ is gegeven door $g (x) = x + f (x)$ .
Hiernaast staat de grafiek van $g$ getekend.

c

Geef een formule voor de lijn waarop alle punten van de grafiek van $g$ liggen met een maximum. Evenzo voor de lijn waarop de punten met een minimale waarde liggen.

d

Welke waarden neemt $g$ aan op het interval $[10,20]$ ?

e

Bereken exact voor welke waarde van $x$ geldt $g (x) = 50$ .

(hint)

Teken de grafiek van $g$ rondom $y = 50$ .

3

In de figuur hiernaast is driehoek $A B C$ getekend, met $A (2,2)$ , $B (7,0)$ en $C (6,3)$ . De figuur staat ook op het werkblad.

a

Bereken de oppervlakte van driehoek $A B C$ exact.

b

Bereken de hellingshoeken van de lijnen $A C$ en $B C$ in één decimaal nauwkeurig.

c

Bereken hoek $A C B$ in graden nauwkeurig.

Driehoek $A B C$ wordt vanuit $O (0,0)$ met $\frac{1}{2}$ vermenigvuldigd.
De beelden van $A$ , $B$ en $C$ noemen we $P$ , $Q$ en $R$ .

d

Teken driehoek $P Q R$ op het werkblad.

e

Bereken de oppervlakte van driehoek $P Q R$ exact.

Het snijpunt van de lijnen $A B$ en $Q R$ noemen we $S$ .

f

Bereken $A S : S B$ exact.

4

In de figuur zijn getekend de parabool $p$ met vergelijking
$y = 6 - x^{2}$ en de lijn $k$ met vergelijking $y = 1 \frac{1}{2} x$ .
We bekijken rechthoeken met zijden evenwijdig aan de $x$ - of de $y$ -as met één hoekpunt op $k$ en twee hoekpunten op $p$ . In de figuur is een voorbeeld van zo'n rechthoek getekend. De eerste coördinaat van het hoekpunt op $k$ noemen we $x$ .
Voor de oppervlakte $O (x)$ van de rechthoek geldt:
$O (x) = 12 x - 3 x^{2} - 2 x^{3}$ .

a

Toon dat aan.

b

Bereken langs algebraïsche weg voor welke $x$ de waarde van $O (x)$ maximaal is.

c

Bereken exact in welk punt van de grafiek van $p$ de raaklijn aan de grafiek van $p$ evenwijdig met $k$ is.

Vanuit een punt op de $y$ -as worden raaklijnen aan $p$ getekend.

d

Bereken de coördinaten van dat punt exact als de raaklijnen loodrecht op elkaar staan.

De parabool wordt ten opzichte van de $y$ -as vermenigvuldigd. De punten van de beeldparabool op de lijn $y = 2$ liggen dan op afstand $6$ van elkaar.

e

Geef een formule voor de beeldparabool.

5

Hiernaast is de grafiek van de functie $f$ getekend met
$f (x) = \frac{1}{2} x + \frac{2}{x}$ , met $x > 0$ .
Ook zijn er enkele verbindingslijnstukken van de oorsprong $O$ met punten van de grafiek getekend.
Als $P$ een punt op de grafiek is met eerste coördinaat $p$ dan is de lengte $l (p)$ van het verbindingslijnstuk $O P$ gelijk aan $\sqrt{1 \frac{1}{4} p^{2} + \frac{4}{p^{2}} + 2}$ .

a

Toon dat aan.

$l (p)$ is minimaal als $w = 1 \frac{1}{4} p^{2} + \frac{4}{p^{2}} + 2$ minimaal is.

b

Bereken langs algebraïsche weg de waarde van $p$ waarvoor $w$ minimaal is in twee decimalen.

c

Bereken de minimale waarde van $f (x)$ exact.

6

Een lijn, $k$ is draaibaar om het punt $P (1,2)$ . Het snijpunt van $k$ met de $x$ -as noemen we $R$ en met de $y$ -as $S$ .
De eerste coördinaat van $R$ noemen we $x$ . De oppervlakte van driehoek $O R S$ noemen we $O (x)$ voor $x > 1$ .

a

Toon aan: $O (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

b

Toon aan dat $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ .

c

Bereken de minimale waarde van $O (x)$ exact.

7

Voor zekere gehele waarden van $a$ , $b$ , $c$ , en $d$ is hiernaast de grafiek getekend van het verband $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ .

a

Leg uit hoe de grafiek verandert als $d$ groter wordt.

b

Bepaal de waarden van $a$ , $b$ , $c$ en $d$ die passen bij de grafiek.
Je kunt gebruik maken van het feit dat de formule voor $y$ te schrijven is als: $y = \dots \cdot x (x - 3) (x - 5)$ .

8

Wegen bevatten vuil en bij regen worden de wegen schoongespoeld.
Bij het ontwerpen van wegen gebruiken ingenieurs onder andere de volgende formule: $P = 100 \cdot (1 - {2,7}^{‐ c \cdot t})$ .
Deze formule heeft te maken met dit schoon regenen van een weg; $P$ is het percentage van de hoeveelheid vuil dat bij een regenbui van $t$ uur wordt weggespoeld van de weg. De constante $c$ is positief en afhankelijk van het materiaal van de weg.
Voor asfalt geldt dat $c$ gelijk is aan $0,25$ ; voor beton geldt dat $c = 0,05$ .

a

Leg met behulp van een schets van de grafieken uit welk van de twee soorten wegen (asfalt of beton) sneller schoongespoeld wordt door de regen.

Voor iedere keuze van $c$ geldt dat de grafiek van $P$ stijgt.

b

Leg met behulp van de formule voor $P$ uit dat de grafiek inderdaad stijgt.

Voor een zekere weg geldt dat de helft van het vuil is weggespoeld na een regenbui van $2$ uur.

c

Bereken op algebraïsche wijze de waarde van c voor deze weg en rond daarna je antwoord af op twee decimalen.

Vaak wil je weten hoeveel regentijd er (bij een gegeven weg) nodig is om een bepaald percentage vuil te laten wegspoelen. Bijvoorbeeld hoeveel regentijd is er bij een weg met $c = 0,30$ nodig om $40$ % van het vuil te laten wegspoelen. Je zou nu iedere keer een (ingewikkelde) vergelijking moeten oplossen.

d

Neem $c = 0,25$ en maak een formule voor de regentijd $t$ uitgedrukt in $P$ .

9

Gegeven is de parabool met vergelijking $y = x^{2} - 4 x + 3$ . De parabool wordt gespiegeld in de lijn $y = x$ . De beeldparabool bestaat uit de grafieken van twee wortelfuncties. Die zijn in de figuur hiernaast verschillend gekleurd.

a

Geef van elk van de twee functies een formule.

b

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de parabool met zijn beeldparabool.

10

In de NRC stond enkele jaren geleden een tabel met exponentieel groeiende verschijnselen in Nederland en hun verdubbelingstijden.

	Groeifactor (per jaar)	Verdubbelingstijd (maanden)
Echtscheidingen	$1,05$	$170$
Benzineverbruik	$1,07$	$123$
Personenauto's	$1,13$	$68$
Computergebruik	$1,50$

a

Bereken de verdubbelingstijd voor Computergebruik. Rond je antwoord af op een geheel aantal maanden.

De radioactieve stof Cesium-137 heeft een halveringstijd van $30$ jaar, dat wil zeggen dat in $30$ jaar de stralingsintensiteit met de helft afneemt.

b

Bereken met hoeveel procent de straling per jaar afneemt, afgerond op één decimaal.

Neem aan andere radioactieve stof. De tijd die nodig is om $p$ % van de straling te laten verdwijnen, noemen we $T$ .
De groeifactor van de exponentiële formule is $g$ .

c

Geef een formule waarmee $T$ wordt uitgedrukt in $g$ en $p$ .

11

In de figuur zijn getekend de punten $O (0,0)$ , $P (0,‐3)$ en $Q (‐4,‐4)$ , verder de grafiek van de functie $f$ en de lijn $k$ door de punten $O$ en $Q$ . Er geldt: $f (x) = ‐ (x - 1) (x - 3)$ .

a

Bereken de oppervlakte van driehoek $O P Q$ exact.

Op de grafiek van de functie $f$ ligt een punt $S$ zó, dat de oppervlakte van driehoeken $O P Q$ en $S O Q$ gelijk zijn.

b

Bereken de coördinaten van $S$ exact.

De grafiek van $f$ wordt zo ver omhoog geschoven totdat hij $k$ raakt.

c

Bereken exact hoe ver.

12

$A B C D$ is een rechthoek van $8$ bij $9$ . Op zijde $C D$ ligt een punt $P$ zó, dat $D P = 3$ .
De lijn door $A$ loodrecht op lijn $B P$ snijdt zijde $B C$ in $Q$ en lijn $B P$ in $S$ , zie figuur 1.

a

Bereken $A S$ , $B S$ en $B Q$ exact.

Een cirkel raakt drie van de vier zijden van rechthoek $A B C D$ . Een lijn door het midden $T$ van zijde $B C$ raakt de cirkel, zie figuur 2.

b

Bewijs dat die raaklijn evenwijdig is met lijn $B P$ .

13

Een atleet wil een bepaald trainingsschema volgen. De hoogte waarop hij gaat trainen is nog niet vastgesteld. Het verband tussen de hoogte en het percentage van zijn maximale zuurstofopname ( $V O_{2}$ max) dat hij nodig heeft voor dit trainingsschema wordt gegeven door de formule $P = \frac{6000}{115 - 0,01 h}$ . Hierin is $h$ de hoogte in meter met $h > 1500$ en $P$ het percentage van de $V O_{2}$ max van de atleet op hoogte $h$ dat nodig is voor het trainingsschema.

a

Bereken op algebraïsche wijze op welke hoogte het percentage $P$ gelijk is aan $80$ %.

Voor een atleet is het interessant om te weten op welke hoogte hij moet gaan trainen om een bepaald percentage van zijn $V O_{2}$ max te behalen. Hiervoor is het handig om $h$ te schrijven als functie van $P$ .

b

Schrijf met behulp van bovenstaande formule $h$ als functie van $P$ .

14

Hieronder zie je de gemiddelde getijkromme te Vlissingen en IJmuiden (naar het boekje Getijtafels voor Nederland 1985). De waterstand is vermeld in cm boven NAP, de tijd in uren ( $6.29$ uur $= 6$ uur en $29$ minuten).
Beide krommen zijn grafieken van periodieke functies.

a

Wat is de periode?

b

Noem een paar verschillen tussen de twee getijkrommen.

De grafieken "golven" regelmatig om de gemiddelde zeestand. Toch hebben de golven iets onregelmatigs.

c

Noem een onregelmatigheid.

Op 7 februari 1985 was het om precies $3.00$ uur 's ochtends hoogwater te Vlissingen.

d

Hoe laat zal het hoogwater geweest zijn te Vlissingen op 8 februari 1985?

In figuur 1 wordt de hoogste waterstand van $198$ cm boven NAP bereikt om $0.00$ en de eerstvolgende (ongeveer) $12 \frac{1}{2}$ uur later. De laagste stand in de tussentijd is $‐ 182$ .
$h (t)$ is de hoogte boven NAP in cm $t$ uur na $0.00$ uur. We benaderen $h (t)$ met een sinusoïde die maximle waarde $198$ , minimale waarde $‐ 182$ en periode $12 \frac{1}{2}$ heeft.

e

Geef een formule voor $h (t)$ met behulp van de sinusfunctie.

15

Eb en vloed
De staatsuitgeverij publiceert elk jaar de Getijtafels voor Nederland. Daarin worden voor een aantal kustplaatsen zowel de dagelijkse tijdstippen voor hoogwater en laagwater als de verwachte hoogten (in centimeters) ten opzichte van Normaal Amsterdams Peil (NAP) vermeld. De tabel hieronder is ontleend aan zo'n Getijtafel. Hierin kan bijvoorbeeld worden afgelezen dat hoogwater te Harlingen op 1 juli 1989 verwacht werd op zowel het tijdstip $7$ uur en $24$ minuten ('s ochtends) als het tijdstip $20$ uur en $4$ minuten ('s avonds).

Door de gegevens over zeer lange tijd te middelen, krijgt men voor Harlingen de gemiddelde getijkromme die is weergegeven in de figuur hieronder.

Uit de tabel kan voor zes gevallen de tijdsduur worden berekend die verstrijkt van laagwater tot het eerstvolgende hoogwater.

a

Onderzoek met een berekening of het gemiddelde van die tijdsduren meer dan twee minuten afwijkt van de bij de grafiek vermelde gemiddelde duur van $4$ uur en $55$ minuten.

De vorm van de grafiek laat duidelijk zien dat een model voor de gemiddelde getijdebeweging dat uitgaat van één enkele sinusoïde niet erg realistisch is. Beter is het om het stijgende deel $A B$ en het dalende deel $B C$ elk met een afzonderlijke sinusoïde te beschrijven. Omdat de tijdsduur $4$ uur en 55 minuten ongeveer overeenkomt met $4,92$ uur, geldt voor de waterhoogte ( $h$ ) voor waarden van $t$ tussen $0$ en $4,92$ bij benadering:
$h = 100,5 \cdot \sin (0,64 (t - 2,46)) + 2,5$ .

b

Verklaar de getallen in de formule.

c

Bereken, uitgaande van dit model, voor welke waarde van $t$ de waterhoogte $50$ cm boven NAP is. Rond je antwoord af op 1 decimaal.

Voor het dalende deel BC geldt bij benadering:
$h = 100,5 \cdot \sin (a (t - b)) + 2,5$ , voor zekere getallen $a$ en $b$ .

d

Bereken $a$ en $b$ in twee decimalen nauwkeurig.

In de praktijk gebruikt men in combinatie met de Getijtafels voor het benaderen van de waterstand soms de twaalfdelenregel.
Bij opkomend getij let men op de stijging ( $S$ ) van de waterhoogte gerekend vanaf de laagwaterstand tot de eerstvolgende hoogwaterstand. De periode van opkomend getij wordt verdeeld in zes even grote tijdvakken en men veronderstelt:

in het eerste en het zesde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met $\frac{1}{12}$ deel van $S$ toe;
in het tweede en het vijfde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met $\frac{2}{12}$ deel van $S$ toe;
in het derde en het vierde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met $\frac{3}{12}$ deel van $S$ toe.

e

Benader met de twaalfdelenregel en de gegevens van de tabel de waterhoogte te Harlingen op 3 juli 1989 omstreeks $8$ uur 's ochtends.

16

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ .
Er zijn twee raaklijn aan de grafiek van $f$ die door de oorsprong gaan.

a

Bereken van beide de exacte helling.

De snijpunten van de grafiek van $f$ met de $x$ -as hebben afstand $2$ tot elkaar.
De grafiek van $f$ wordt horizontaal met een positieve factor vermenigvuldigd (ten opzichte van de $y$ -as) zó, dat de snijpunten van de beeldparabool afstand $4$ tot elkaar hebben.

b

Geef een formule van de beeldparabool.

17

Ademhaling
Tijdens het ademen verandert de hoeveelheid lucht in de longen van een mens. Bij een persoon in rust wordt per keer slechts een kleine hoeveelheid lucht in- en uitgeademd. Deze hoeveelheid wordt echter veel groter als dezelfde persoon een inspanning moet leveren. De hoeveelheid lucht die zich op het moment $t$ in de longen bevindt, noemen we $V$ ; $V$ rekenen we in cm³ en $t$ in seconden. Bij een zekere patiënt die een operatie moet ondergaan, wordt voor de operatie bij verschillende ademritmen het verloop van $V$ nagegaan. De resultaten zijn vereenvoudigd weergegeven door sinusoïden.

In de figuur hierboven is het verloop van $V$ weergegeven als de patiënt in rust is. Per periode wordt $500$ cm³ lucht in- en uitgeademd.

a

Geef een formule voor $V (t)$ .

Op het tijdsinterval $250 - 280$ seconden probeert de patiënt zo diep mogelijk in te ademen en zo veel mogelijk uit te ademen. Het verloop van $V$ wordt in dat geval gegeven door de formule:
$V (t) = 2500 \cdot \sin (\frac{2 π}{15} (t - 250)) + 4000$ .

b

Bereken langs algebraïsche weg hoelang in deze periode $V$ groter is dan $5000$ . Rond je antwoord af op 1 decimaal.

Het minuutvolume bij een bepaald ademritme wordt berekend door het aantal ademhalingen per minuut te vermenigvuldigen met de hoeveelheid lucht die per keer wordt ingeademd. Eén ademhaling bestaat uit één in- en één uitademing.

c

Bereken de verhouding van de minuutvolumes bij de ademritmen van de patiënt in rust en bij zo diep mogelijk in te ademen en zo veel mogelijk uit te ademen.

18

Redeneren met functies

a

Verklaar waarom voor iedere waarde van $a$ de vergelijking $2^{x} = a - x$ slechts één oplossing heeft.

Gegeven is de functie $f (x) = 4 x + \frac{6}{x}$ voor positieve $x$ -waarden. Deze functie is opgebouwd uit de functies $g (x) = 4 x$ en $h (x) = \frac{6}{x}$ .

b

Beredeneer aan de hand van het functievoorschrift dat de grafiek van $f$ een minimum heeft.

Gegeven is de functie $f (x) = \log (\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1})$ .

c

Beredeneer waarom de grafiek van $f$ geen nulpunten heeft.

Gegeven is de functie $g (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{x - 3}$ . De grafiek van $g$ staat hiernaast.
De grafiek van $g$ snijdt de $x$ -as in het punt $(9,0)$ .

d

Beredeneer zonder gebruik te maken van de afgeleide functie waarom de grafiek van $g$ een maximum heeft.

Gegeven is de formule $N_{max} = \frac{8289,3}{B} \cdot (1,778 - \log (B))$ met domein $[2,9]$ .

e

Leg uit hoe je uitsluitend aan de hand van de formule voor $N_{max}$ - dus zonder gebruik van de GR - kunt beredeneren dat hier sprake is van een dalende functie.

Gegeven is de grafiek van $h (x) = \frac{1}{2 \cos (x) + 3}$ .

f

Beredeneer waarom de grafiek van $h$ geen verticale asymptoot heeft.

Hiernaast staat een schets van de functie $p$ .

g

Hoeveel asymptoten heeft de grafiek van de functie $q = \frac{1}{p}$ ?

19

Een cirkel met middelpunt $M$ en straal $17$ wordt gesneden door lijn $k$ in de punten $P$ en $Q$ .

a

Bereken exact de afstand van $M$ tot lijn $k$ als $P Q = 30$ .

We noemen $P Q = x$ . Voor de oppervlakte $A$ van driehoek $M P Q$ geldt: $A = \frac{1}{4} x \sqrt{1156 - x^{2}}$ .

b

Toon dit aan.

c

Bereken exact voor welke waarde van $x$ de oppervlakte van driehoek $M P Q$ gelijk is aan $120$ .

d

Bereken (afgerond op 3 decimalen) voor welke waarde van $x$ de oppervlakte van driehoek $M P Q$ het grootst is.
Hoe groot is hoek $P M Q$ in dat geval?