Het linker randpunt krijg je voor , want bestaat niet voor ; , dus het linker randpunt is .
Het linker randpunt van de grafiek van is . Elk van deze punten voldoet aan de vergelijking . (Vul maar in.)
Dan , dus , dus , dus of . Alleen de eerste waarde voldoet. Dus .
; Er moet gelden .
De periode van is , dus .
Lijn met maxima: ;
Lijn met minima: .
want maxima op dat interval zijn , ..., en minima op dat interval zijn , ..., .
geeft
, dus de maxima in de buurt zijn
en
; zie figuur.
Lijn door en :
;
.
Zie figuur 1 hieronder. Completeer de driehoek met drie rechthoekige driehoeken
tot een rechthoek.
De oppervlakte van de rechthoek is . De oppervlakten van de rechthoekige driehoeken
zijn ,
en
.
Dus de opp. van is
.
De richtingscoëfficiënten van de lijnen en zijn: en , dus de hellingshoeken zijn en .
Zie figuur 1. Uit het vorige onderdeel volgt: en , dus de gevraagde hoek .
Zie figuur 2.
De driehoeken en zijn gelijkvormig, want en zijn evenwijdig. en , dus .
De zijden van de rechthoek evenwijdig aan de -as hebben lengte en die evenwijdig aan de -as hebben lengte . Dus . Haakjes wegwerken levert het gewenste resultaat.
Teken de grafiek op de GR. Je ziet: de maximale waarde krijg je die waarvoor . , want .
Noem , dan , dus in het punt .
Vanwege symmetrie maken de raaklijnen hoeken van
met de
-as, dus één van die raaklijnen heeft helling
.
, dus die raaklijn gaat door
.
Omdat die raaklijn helling
heeft gaat hij ook door het punt
.
Een formule is van de vorm . Het punt ligt op de beeldparabool, dus , dus en een formule voor de beeldparabool is .
Noem de projectie van op de
-as .
De stelling van Pythagoras in driehoek geeft:
.
Haakjes wegwerken levert het gewenste resultaat.
en , dus .
, dus als ; de minimale waarde is .
De projectie van op de
-as noemen we .
Dan volgt uit gelijkvormigheid: , dus
, dus
.
Dus
.
; de afgeleide van
vind je met de
kettingregel: . Dus
en
.
Met een tekening van op de GR zie je dat
minimaal is als
;
.
De grafiek schuift omhoog.
In de grafiek zie je dat . Dit invullen in geeft: , dus op de stippellijn staat , dus , dus , , en .
Asfalt sneller, want de grafiek bereikt eerder %.
Als groter wordt, dan wordt de exponent kleiner. Omdat de functie stijgend is, wordt dus kleiner, dus groter.
Als , dan , dus , dus , dus , dus afgerond: .
.
Voor de punten van de beeldparabool geldt: .
En , dus
of
.
Dus de wortelfunctie 'boven' de lijn heeft
formule en die eronder
.
Dat zijn de snijpunten met de lijn .
.
De snijpunten zijn: en
.
jaar, dus maanden.
dus afname van per jaar.
Er is na tijd nog procent, dus , ofwel .
De projectie van op de -as noemen we . De oppervlakte van driehoek is en de oppervlakte van driehoek is , dus de oppervlakte van driehoek is .
ligt op de lijn door evenwijdig aan . Deze heeft vergelijking . De vergelijking moet opgelost worden. Je vindt: of . Dus .
In het raakpunt moet de helling van de verschoven grafiek zijn. In het oorspronkelijke punt van de grafiek is de helling ook .
en
, dus
.
; het punt
moet zover omhoog schuiven dat het
op de lijn komt, dus omhoog.
Uit de stelling van Pythagoras volgt dat .
De driehoeken ,
en
zijn gelijkvormig:
ze hebben alle een rechte hoek en een hoek gemeenschappelijk.
, dus
en
.
, dus
.
Het middelpunt van de cirkel noemen we , het raakpunt en het snijpunt van de raaklijn met zijde noemen we . De straal van de cirkel is , dus en en , dus de driehoeken en zijn gelijkvormig. Dus de hoeken en zijn even groot, maar dan ook de hoeken en (Z-hoeken), dus zijn de lijnen en evenwijdig (F-hoeken).
.
uur
Verschillende maximale hoogtes; die van Vlissingen is regelmatiger; verschillende gemiddelde zeestand.
De duur van de daling is groter dan de duur van de stijging.
Om uur en om uur.
De tijden zijn achtereenvolgens , , , , en ; gemiddeld uur en minuten, dus het wijkt minder dan twee minuten af.
De amplitude is ;
de evenwichtsstand is ;
de periode is twee keer , dus uur, ofwel uur; de constante in de formule voor de periode is
;
Stijgend door de evenwichtsstand bij
uur.
met de GR oplossen: (uur).
en (of )
Tussen hoog- en laagwater zit precies uur, ofwel minuten (dus elk tijdvak is minuten); uur 's ochtends is uur, ofwel minuten na laagwater, dus precies aan het einde van het vierde tijdvak.
Het hoogteverschil is
cm.
Het water is
cm gestegen ten opzichte van
, dus de waterhoogte is
cm (boven NAP).
Zo'n raaklijn heeft vergelijking , waarbij
de helling is.
Er geldt: de vergelijking in
heeft één oplossing, dus de vergelijking heeft dicriminant , dus
, dus
.
De factor waarmee vermenigvuldigd wordt is .
Dus de formule is:
.
Of: de nulpunten van de beeldfiguur zijn en
. De top blijft op dezelfde hoogte, dus hoogte
, dus
een formule is: en
, dus
, dus een formule is:
.
of
of
of
Dus het duurt seconden.
Het minuutvolume in rust is
;
Het minuutvolume bij maximaal in- en uit te ademen is ;
De verhouding is .
Omdat een stijgende functie is en een dalende functie. Als er een snijpunt is (en die is er altijd), dan lopen de grafieken links en rechts daarvan van elkaar weg. Als er een tweede snijpunt zou zijn, moet tenminste één van de twee functies van dalend naar stijgend of van stijgend naar dalend gaan. En dat gebeurt niet.
De grafiek van is een rechte lijn met helling . De grafiek van is de standaardhyperbool met helling van min-oneindig oplopend naar (bijna) nul. Dus de grafiek van heeft een punt waar de helling is. In dat punt is de helling van dus nul. Links daarvan is de helling van negatief en rechts daarvan positief. Dus in dat punt is minimaal.
Dan moet het deel binnen de logaritme gelijk zijn aan . Maar de teller van deze breuk is altijd één groter dan de noemer, dus is nooit gelijk aan .
Als heel groot wordt, dan gaat naar nul en ook gaat naar nul, dus de grafiek van heeft de -as als horizontale asymptoot. Bij gaat de grafiek stijgend door de -as, dus moet later ook weer dalen naar de horizontale asymptoot. Dus rechts van moet de grafiek ergens een maximum hebben.
De formule is opgebouwd uit twee delen.
De breuk wordt kleiner als toeneemt (want delen door een groter getal);
neemt toe als toeneemt, dus neemt af;
is dus het product van twee factoren die beide afnemen, dus neemt zelf ook af en is dus een dalende functie.
De noemer is een sinusfunctie met evenwichtswaarde en amplitude , dus heeft minimale waarde . De noemer kan dus nooit nul zijn, dus geen verticale asymptoot.
Twee verticale asymptoten, namelijk bij de twee nulpunten van . Ook één horizontale asymptoot, waarschijnlijk, want de lijkt steeds verder toe te nemen, zodat er een horizontale asymptoot is.
Maak zelf een schets; de afstand is .
De afstand van tot is , dus de oppervlakte is .
of
of
of
Met de GR het maximum bepalen van
geeft
.
De hoek is dan .