1.6  De bierviltjes-methode >
1

Anneke speelt met bierviltjes. Zij heeft drie torens gemaakt, elk 40 bierviltjes hoog. Uiteraard hebben de torens dezelfde inhoud. Als de viltjes maar dun genoeg zijn, benaderen de torens 'gladde cilinders' (figuur 2).

De bierviltjes van Anneke hebben een diameter van 10,6 cm en zijn 2,5 mm dik.

a

Bereken de inhoud van de drie cilinders.

In de onderstaande figuur staan vier 'piramides' met een zelfde grondvlak en gelijke hoogte. De doorsnede op halve hoogte is bij alle vier aangegeven.

b

Hoe kun je met behulp van bierviltjes uitleggen dat de eerste twee piramides even grote inhoud hebben?

De opstaande 'ribben' van de derde en vierde piramide zijn gekromd.

c

Waarom kan de derde piramide wel een even grote inhoud hebben als de eerste twee, en de vierde niet?

We bekijken twee lichamen. Veronderstel dat op elke hoogte de doorsnede van het ene lichaam even groot is als de doorsnede van het andere lichaam. Dan hebben de lichamen even grote inhoud.
Dat is goed te begrijpen door beide lichamen horizontaal in plakjes (bierviltjes) te snijden.
We noemen dat de bierviltjesmethode.

Monument van Cavalieri
Milaan

De bierviltjesmethode staat in de wiskunde ook bekend als de methode van Cavalieri. Bonaventura Cavalieri (1598 of eerder - Bologna, 1647) was een Italiaans wiskundige, natuurkundige, sterrenkundige en astroloog. Hij werd bekend om zijn nieuwe methoden ter berekening van inhouden en oppervlakken, zoals de methode van Cavalieri.

2

Een scheefgetrokken 'balk' heeft hoogte 4 . Het vierkante grondvlak meet 3 bij 3 . Het vreemde lichaam daarnaast heeft een cirkelvormig bovenvlak en een vierkant grondvlak. Daartussen zitten allerlei overgangsvormen als horizontale doorsneden. Gegeven is dat op elke hoogte de doorsnede oppervlakte 9 heeft. De hoogte van het lichaam is 4 .

a

Bereken van beide lichamen de inhoud.

Een gedraaid prisma heeft hoogte 4 . Op elke hoogte is de doorsnede een rechthoekige driehoek met zijden 3 , 3 en 3 2 .
Het lichaam daarnaast is een scheef soort cilinder met een ongewoon grondvlak van oppervlakte 2 . Alle horizontale doorsneden zijn congruent met het grondvlak. De hoogte van het lichaam is 4 .

b

Bereken van beide lichamen de inhoud.

3

In een rooster van kubussen met ribbe 1 is een parallellepipedum getekend.

a

Hoe lang zijn de ribben van het parallellepipedum?

b

Hoe lang zijn de vier lichaamsdiagonalen van het parallellepipedum?

c

Bereken de inhoud van het parallellepipedum.

Op het werkblad is een begin gemaakt met een uitslag van het parallellepipedum. Er ontbreken nog twee grensvlakken.

d

Teken die erbij, grenzend aan de gestippelde ribben.

4

In een zelfde kubussenrooster is een tweede parallellepipedum getekend.

a

Hoe lang zijn de ribben?

We nemen zijvlak 1 als grondvlak.

b

Wat is de oppervlakte van zijvlak 1?
Wat is de bijbehorende hoogte?
Wat is dus de inhoud?

We nemen zijvlak 2 als grondvlak.

c

Wat is de oppervlakte van zijvlak 2?
Wat is de bijbehorende hoogte?
Wat is dus de inhoud?