1.7  De inhoud van een piramide >
1

We bekijken drie piramides met hoogte 6 . Van de eerste piramide is het grondvlak een vierkant van 6 bij 6 en ligt de top recht boven een van de hoekpunten.
Van de tweede piramide is het grondvlak een rechthoek van 9 bij 4 en ligt de top recht boven het middelpunt. Van de derde piramide is het grondvlak een driehoek met basis 9 en hoogte 8 ; de top ligt recht boven het midden van de basis.

a

Kleur op het werkblad de horizontale doorsneden van deze drie piramides op de hoogten 1 , 3 en 5 .

b

Bereken de oppervlakte van elk van die doorsneden.

c

Leg uit dat de oppervlakte van de horizontale doorsnede op hoogte h gelijk is aan 36 ( 6 h ) 2 h 2 .

Met behulp van opgave 34 kun je de inhoud van de eerste piramide geven.

d

Hoe groot is die inhoud?

e

Leg met behulp van de bierviltjesmethode uit dat de drie piramides dezelfde inhoud hebben.

f

Doet de plaats van de top er eigenlijk wel toe?
Wat moet je precies weten om de inhoud van een piramide uit te kunnen rekenen?

De inhoud van de piramide van opgave 40 was het eenderde deel van de inhoud van de balk met hetzelfde grondvlak en gelijke hoogte. In opgave 45 bewijzen we dat dat voor elke vierzijdige piramide het geval is.

Inhoud van een piramide = 1 3 oppervlakte grondvlak hoogte.

Deze formule geldt voor alle piramideachtige lichamen, dat zijn lichamen met een grondvlak en een top, waartussen rechte lijnen lopen. Met de bierviltjesmethode is duidelijk dat de vorm van het grondvlak er niet toe doet.
In het bijzonder geldt deze formule als het grondvlak een cirkel is; dan is het lichaam een kegel.

2

Een kegel heeft hoogte 4 . De straal van de grondcirkel is 4 .

a

Bereken de inhoud van de kegel. Geef het antwoord exact en in twee decimalen nauwkeurig.

Een kegel heeft hoogte h . De straal van de grondcirkel is r .

b

Wat is de inhoud van de kegel? Laat π gewoon in je antwoord staan.

3

Een kegel en een cilinder passen precies in een kubus met ribbe 1 .

Bereken van beide de exacte inhoud.

4

Een kegel en een cilinder zijn even hoog en hebben een even grote inhoud. De diameter van de grondcirkel van de kegel is 6 .

Bereken de diameter van de grondcirkel van de cilinder.

5

Een driezijdige piramide heeft hoogte 4 . Het grondvlak is een driehoek met zijden 5 , 5 en 6 , zie de figuur hiernaast.

Bereken de inhoud van de piramide.

6

Het bewijs
Een vierzijdige piramide heeft hoogte h ; de oppervlakte van het grondvlak is A . De inhoud van de piramide noemen we V .
We gaan in deze opgave afleiden dat geldt: V = 1 3 A h .
Om een overzichtelijk plaatje te krijgen kiezen we een parallellogram als grondvlak; de afleiding kan echter bij elk vierhoekig grondvlak gehouden worden.
Vanuit de middens van de ribben verdelen we de piramide in vijf stukken: twee kleinere piramides, twee prisma's en één parallellepipedum.

a

Druk de inhoud van het parallellepipedum uit in A en h .
Druk de inhoud van de (scheve) prisma's uit in A en h .

De bovenste kleine piramide ontstaat uit de hele piramide door deze vanuit een zeker centrum met een zekere factor te vermenigvuldigen.

b

Welk centrum en welke factor?
Dezelfde vraag voor de andere kleine piramide.

c

Wat is dus de inhoud van deze piramides, uitgedrukt in V ?

V is de som van de inhouden van de vijf stukken.

d

Ga na dat dit de volgende vergelijking levert voor V :
V = 1 4 V + 1 4 A h .

e

Laat zien dat uit de vergelijking volgt: V = 1 3 h A .