1

a

Noem de top van de piramide $T$ , de projectie van de top op het grondvlak $M$ en een hoekpunt van het grondvlak $P$ .
$P M = 6 \sqrt{2}$ , de hoogte van de piramide is $M T$ .
Er geldt: $M T^{2} = T P^{2} - P M^{2} = 121 - 72 = 49$ , dus de hoogte is $7$ en de inhoud van de piramide is: $\frac{1}{3} \cdot 12^{2} \cdot 7 = 336$ .

b

We berekenen eerst het deel dat er afgehaald is. Dat is een piramide die gelijkvormig is met de oorspronkelijke piramide met vergrotingsfactor $\frac{1}{2}$ , dus met inhoud ${(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 336 = 42$ .
De afgeknotte piramide heeft dus inhoud $336 - 42 = 294$ .

2

a

De complete piramide is op halve hoogte afgeknot, want de afmetingen van het snijvlak (bovenvlak) zijn half zo groot als die van het grondvlak. De complete piramide heeft dus hoogte $4$ .

b

De complete piramide heeft inhoud $\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4 = 48$ . Het stuk dat er afgehaald is heeft inhoud ${(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 48 = 6$ . De afgeknotte piramide heeft inhoud $42$ .

3

Het stuk dat er afgehaald is, is een piramide gelijkvormig met de complete piramide. Noem de vergrotingsfactor van klein naar groot $f$ , dan $3 f = 5$ , dus $f = 1 \frac{2}{3}$ .
Noem de hoogte van de piramide die er afgehaald is $x$ , dan is de hoogt van de complete piramide $1 \frac{2}{3} x$ , dus de afgeknotte piramide heeft hoogte $\frac{2}{3} x = 2$ , dus $x = 3$ en de hoogte van de complete piramide is $5$ .
De inhoud van de complete piramide is $\frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = \frac{125}{3}$ . De inhoud van het stuk dat er afgehaald is, heeft inhoud ${(\frac{3}{5})}^{3} \cdot \frac{125}{3} = 9$ , dus de afgeknotte piramide heeft inhoud $\frac{125}{3} - 9 = 32 \frac{2}{3}$ .

4

Het stuk dat er afgehaald is, is een piramide gelijkvormig met de complete piramide. Noem de vergrotingsfactor van klein naar groot $f$ , dan $1 \cdot f^{2} = 4$ , dus $f = 2$ . De hoogte van de complete piramide is $6$ .
De inhoud van de complete piramide is $\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 6 = 8$ . De inhoud van het stuk dat er afgehaald is, heeft inhoud ${(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 8 = 1$ , dus de afgeknotte piramide heeft inhoud $7$ .

5

a

Het stuk dat er afgehaald is, is gelijkvormig met de complete kegel, de vergrotingsfactor $f$ van klein naar groot is $\frac{24}{16} = 1 \frac{1}{2}$ .
De hoogte van de top noemen we $x$ , dan is de hoogte van de complete kegel $1 \frac{1}{2} x$ en van de emmer dus $\frac{1}{2} x$ , dus de hoogte van de complete kegel is: $75$ cm.

b

De inhoud van de complete kegel is: $\frac{1}{3} π \cdot 7,5 \cdot {1,2}^{2} = 3,6 π$ dm³. De inhoud van de top is ${(\frac{2}{3})}^{3} \cdot 3,6 π$ dm³, dus de inhoud van de emmer is: $\frac{19}{27} \cdot 3,6 π$ dm³, dus ongeveer $80$ dl.

6

Ze hebben alle dezelfde inhoud. De piramide aan de voorkant bijvoorbeeld heeft een grondvlak met oppervlakte $a b$ en hoogte $\frac{1}{2} c$ , dus inhoud $\frac{1}{6} a b c$ .

7

a

De halve cirkel van de uitslag wordt de grondcirkel van de kegel, dus de omtrek van de grondcirkel van de kegel is $4 π$ . De straal van de grondcirkel is dus $\frac{4 π}{2π} = 2$ .

b

Noem de top van de kegel $T$ en het middelpunt van de grondcirkel $M$ . Neem een punt op de grondcirkel $P$ . Dan is de schuine zijde $T P$ van driehoek $T P M$ gelijk aan $4$ en de rechthoekszijde $P M = 2$ .
Dus driehoek $T P M$ is een $30$ - $60$ - $90$ -graden driehoek, dus de tophoek is $60 °$ en de hoogte van de kegel is $2 \sqrt{3}$ .

c

$\frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 2 \sqrt{3} = 2 \frac{2}{3} π \sqrt{3}$

8

a

b

Het grondvlak van zo'n piramide is een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden $1$ zijn en de hoogte $1$ .
De inhoud is dus $\frac{1}{6}$ .

c

$1 - 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

d

$\sqrt{2}$

e

$\frac{1}{2} \sqrt{2}$

f

${(\frac{1}{2} \sqrt{2})}^{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} \sqrt{2}$

9

a

$15$ , $15$

b

$10$ , $5$

10

a

Het huis bestaat uit een blok van $4$ bij $4$ bij $4,80$ waaruit vier piramides zijn weggehaald met een grondvlak van $2$ bij $2$ en hoogte $4,80$ .
De inhoud is dus $4 \cdot 4 \cdot 4,8 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4,8 = 51,2$ m³.

b

Op hoogte $1,20$ m: rood, op hoogte $2,40$ m blauw en op hoogte $3,60$ m groen.