In de tweede klas heb je leren werken met coördinaten in de ruimte. We herhalen even het belangrijkste.

Net als in het platte vlak kunnen we in de ruimte elk punt van coördinaten voorzien. Alleen hebben we nu drie getallenlijnen nodig, de zogenaamde assen. De assen snijden elkaar loodrecht in de oorsprong, dat is het punt met coördinaten $(0,0,0)$ .
Als je vanuit de oorsprong $4$ eenheden langs de $x$ -as (dat is naar voren) gaat, daarna $3$ eenheden evenwijdig aan de $y$ -as (dat is naar rechts) en dan nog $2$ eenheden langs de $z$ -as (dat is naar boven), dan kom je in het punt $(4,3,2)$ .

In de figuur is in zo'n assenstelsel een balk getekend waarvan de ribben $4$ , $5$ en $2$ lang zijn. $O$ is de oorsprong, $A$ en $B$ zijn hoekpunten, $C$ is het midden van $A B$ , $D$ is het midden van zijvlaksdiagonaal $O A$ en $E$ is het middelpunt van de balk.

Geef van elk van deze punten de coördinaten.

Op het werkblad is een assenstelsel getekend.

Kleur in het assenstelsel op het werkblad: rood de verzameling punten $(a,4,0)$ met $‐ 2 \leq a \leq 5$ , blauw de verzameling punten $(3, b,0)$ met $‐ 2 \leq b \leq 5$ .

We bekijken de verticale lijn door het gemeenschappelijke punt van het rode en het blauwe lijnstuk.

Teken die lijn op het werkblad.

Wat weet je van de coördinaten van een punt dat op deze verticale lijn ligt?

De ribben van de kubus in de figuur zijn $4$ .

Kleur op het werkblad binnen de kubus:
het vlakdeel waar de punten liggen met $y = 3$ ,
en met een andere kleur het vlakdeel waar de punten liggen met $z = 2$ .

Wat weet je van de punten die in beide vlakdelen liggen?

Van de piramide $T . A B C D$ is het grondvlak een vierkant met zijden $6$ en is de hoogte ook $6$ . We doorsnijden de piramide met het vlak met vergelijking $z = 2$ .

Kleur op het werkblad de doorsnede.

Bereken de inhoud van elk van de stukken waarin dit vlak de piramide verdeelt.

De ribben van de kubus in de figuur zijn $4$ . We bekijken de punten waarvoor de som van de coördinaten $4$ is.
Drie hoekpunten van de kubus hebben deze eigenschap.

Welke hoekpunten zijn dat?

De punten $(x, y, z)$ waarvoor de som van de coördinaten $4$ is, liggen in één vlak. In formule: $x + y + z = 4$ .

Kleur op het werkblad de doorsnede van dit vlak met de kubus.

Bereken de inhoud van elk van de stukken waarin het vlak de kubus verdeelt.

De punten $(x, y, z)$ waarvoor geldt: $x + y + z = 6$ liggen ook allemaal in één vlak. Onder andere de middens van zes ribben van de kubus.

Spoor die middens op en kleur op het werkblad de doorsnede van het vlak met de kubus.

Ga na dat het middelpunt van de kubus in dat vlak ligt.

Wat is de inhoud van elk van de stukken waarin dat vlak de kubus verdeelt?

Vul in: voor de punten $(x, y, z)$ in het vlak dat door $E$ , $B$ en $G$ gaat, geldt: $x + y + z =_$ .

Gegeven zijn de punten: $O (0,0,0)$ , $P (3,0,4)$ , $Q (3,5,4)$ , $A (6,0,0)$ , $B (6,5,0)$ en $C (0,5,0)$ .
Het lichaam met deze punten als hoekpunten noemen we $L$ .

Teken $L$ op het werkblad.

Kun je aan de coördinaten van de hoekpunten zien dat de ribben $A B$ , $O C$ en $P Q$ evenwijdig en even lang zijn?
Wat voor soort lichaam is $L$ dus?

Geef een formule van vlak $O A B C$ , van vlak $O A P$ en van vlak $B C Q$ .

Kleur de doorsnede van vlak $B C P$ met $L$ .

Bereken de inhoud van elk van de stukken waarin vlak $B C P$ het prisma $L$ verdeelt.

We bekijken opnieuw de piramide van opgave 59. $M$ is het midden van ribbe $C T$ , $P$ ligt op ribbe $B T$ en $Q$ ligt op ribbe $D T$ .
$P$ en $Q$ hebben derde coördinaat $2$ .

Geef de punten $P$ , $Q$ en $M$ op het werkblad aan.

Geef de coördinaten van de punten $P$ , $Q$ en $M$ .

Ga na dat de coördinaten van de punten $A$ , $P$ , $Q$ en $M$ aan de vergelijking $x - y + 3 z = 6$ voldoen.

De kubus in de figuur heeft ribben van lengte $4$ . Het punt $P$ ligt in het rechter zijvlak. De eerste coördinaat van $P$ noemen we $a$ , de derde coördinaat $c$ . $P = (a,4, c)$ .
$Q$ is het spiegelbeeld van $P$ in het vlak $y = x$ , $R$ is het
spiegelbeeld van $P$ in het vlak $y = 2$ , $S$ is het spiegelbeeld van $P$ in het middelpunt van de kubus.

Wat zijn de coördinaten van $Q$ , $R$ en $S$ (uitgedrukt in $a$ en $c$ )?

We bekijken het viervlak met hoekpunten $(6,0,0)$ , $(0,6,0)$ , $(6,6,0)$ en $(4,4,7)$ .

Teken het viervlak op het werkblad.

Het viervlak heeft een symmetrievlak.

Welke formule geldt voor de punten $(x, y, z)$ in dit symmetrievlak?

Kleur de doorsnede van het symmetrievlak met de piramide.

Bereken de inhoud van het viervlak.

In de figuur is een parallellepipedum getekend. Van drie hoekpunten zijn de coördinaten gegeven: $A (6,0,0)$ , $C (0,5,0)$ en $E (‐2,2,4)$ .

Geef de coördinaten van de andere hoekpunten.

Geef de coördinaten van het middelpunt van het parallellepipedum.

Bereken de inhoud van het parallellepipedum.