$3\cdot \left(6\cdot 2\cdot 8\right)-8\cdot \left(2\cdot 2\cdot 2\right)=224$

Inhoud "O" is $2\cdot 6\cdot 8-5\cdot 2\cdot 2=76$;
inhoud "C" is $76-2\cdot 2\cdot 2=68$.
De drie letters hebben samen een inhoud van $76-2\cdot 2\cdot 2=68$, dus de loze ruimte heeft een inhoud van $224-204=20$.

bovenaanzicht

vooraanzicht

Het 'grote' vierkant (bovenaanzicht) is $2$ bij $2$ cm.

Een dakvlak is een ruit. De diagonalen van de ruit zijn $4\sqrt{2}$ en $\sqrt{4^2+4^2+{12}^2}=\sqrt{176}$, dus de oppervlakte is $\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot \sqrt{176}=8\sqrt{22}$ m².

Het deel 'boven' halve hoogte is een piramide . Die kan in vieren verdeeld worden. Die vier stukken kunnen gebruikt worden om het deel 'onder' halve hoogte aan te vullen tot een blok met hoogte $6$ en en vierkant grondvlak van $8$ bij $8$, dus de inhoud is $6\cdot 8\cdot 8=384$ m³.

$8$

Rechts-achterboven ; links-voor-onder

Het stuk rechts-voor-boven.

De ruimte wordt door de drievlakken in acht stukken verdeeld.

Zie onderdeel d

$A\left(5,2,1\right)$, $B\left(\mathrm{5,6,1}\right)$, $C\left(\mathrm{1,6,1}\right)$, $D\left(\mathrm{1,2,1}\right)$, $T\left(\mathrm{1,4,7}\right)$

Zie onderdeel d.

$\sqrt{50}=\mathrm{7,07}\dots$

De driehoeken $O{S}_x{D}_x$ en $G_x{S}_x{E}_x$ zijn gelijkvormig (twee gelijke hoeken).
De vergrotingsfactor van klein naar groot is $\frac{G_x{E}_x}{O{D}_x}=2$, dus $S_x$ ligt op hoogte $\frac{1}{3}\cdot 5=1\frac{2}{3}$.

Met dezelfde gelijkvormigheid zie je in de $x$-projectie dat de $y$-coördinaat van $S$ gelijk is aan $7=2\frac{1}{3}$.
Alle punten van lijn $AG$ hebben eerste coördinaat $3\frac{1}{2}$, dus $S=\left(3\frac{1}{2}\mathrm{,2}\frac{1}{3}\mathrm{,1}\frac{2}{3}\right)$.

Noem de projectie van $T$ op het grondvlak $S$. De stelling van Pythagoras in driehoek $OTS$ geeft: $TS=\sqrt{6^2-3^2-3^2}=3\sqrt{2}$.

Die hoek is α in het drieluik. Er geldt: $\text{tan}\left(\text{α}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, dus $\text{α}\approx 55°$.

Die hoek is β in de figuur bij onderdeel c. Die hoek is exact $45°$.

${\text{sin}}^{‐1}\left(\frac{25}{150}\right)\approx \mathrm{9,6}°$

De lengte van haar weg is $\sqrt{{150}^2+{100}^2}$. De hellingshoek is dus: ${\text{sin}}^{‐1}\left(\frac{25}{\sqrt{{150}^2+{100}^2}}\right)\approx \mathrm{7,9}°$.

De lengte van Stefan's weg is $\frac{25}{\sin \left(\mathrm{3,5}°\right)}=\mathrm{409,5}\dots$. Hij maakt zo weinig mogelijk bochten als hij aan de randen van de baan keert. Stel hij doet dat $k$ keer, dan $\sqrt{{\left(k\cdot 100\right)}^2+{150}^2}=\mathrm{409,5}\dots$, dus $k\approx \mathrm{3,8}$. Hij maakt dus minstens $3$ bochten.

Zie volgend onderdeel.

De kubus heeft ribbelengte $3\sqrt{2}$. De inhoud van bijvoorbeeld viervlak $BCDG=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$.
De inhoud van viervlak $BDEG$ is dus ${\left(3\sqrt{2}\right)}^3-4\cdot 9\sqrt{2}=18\sqrt{2}$.

De oppervlakte van het grondvlak van het viervlak is $3\cdot 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$; noem de hoogte van het viervlak $h$, dan $\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot h=18\sqrt{2}$, dus $h=2\sqrt{6}$.

Noem die hoek α, dan $\sin \left(\text{α}\right)=\frac{h}{6}=\frac{1}{3}\sqrt{6}$, dus $\text{α}\approx 55°$.

$CD$

Voor de figuur, zie onderdeel c.
$D_x$ vind je door $C_x{D}_x=6$ te nemen.

Teken een 'hulplijnstuk', bijvoorbeeld lijnstuk $DE$, waarbij $E$ het snijpunt van ribbe $BC$ met lijn $DG$ is.

Zie figuur.

Dat is $\frac{P_z{Q}_z}{O_z{F}_z}\cdot 100\text{\%}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 100\text{\%}\approx \mathrm{70,7}\text{\%}$.

De lengte van de korte as is de diameter van de cirkel, dus $4$; de lengte van de lange as is de afstand van $G$ tot het midden van $BF$ dus $\sqrt{4^2+3^3}=5$.

De projectie van het middelpunt $M$ op $V$ noemen we $N$. $P$ is een punt op de snijcirkel met minimale $y$-coördinaat. De straal van de snijcirkel noemen we $r$. De stelling van Pythagoras in driehoek $P_x{M}_x{N}_x$ geeft: $r=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.

In de figuur zie je een dwarsdoorsnede van de lampenkap. De gevraagde hoek is α. Er geldt $\tan \left(\text{α}\right)=\frac{8}{6}$, dus $\text{α}\approx 53°$.

figuur bij opgave 12a

De lampenkap is een afgeknotte piramide. Maak die af tot een hele piramide. De hoogte van de piramide die er bovenop komt (het topje) heeft hoogte $h$, dan $\frac{h}{4}=\frac{8}{6}$, dus $h=5\frac{1}{3}$.
De inhoud van het topje is $\frac{1}{3}\cdot 5\frac{1}{3}\cdot 8^2=\frac{1024}{9}$. De inhoud van de hele piramide is
$\frac{1}{3}\cdot 13\frac{1}{3}\cdot {20}^2=\frac{16.000}{9}$, dus de inhoud van de kap is $\frac{16.000}{9}-\frac{1024}{9}=1664$.

$A$, $B$ en $C$ zijn 'hoekpunten' van het huis. $M$ is het midden van $AB$. Teken $k$ door $M$ evenwijdig aan $BC$.
$D$ is het snijpunt van het verlengde van dakrand $p$ met $k$. Teken $n$ evenwijdig aan dakrand $r$.
Het snijpunt van $n$ met de nok $m$ van de aanbouw is het gevraagde punt.
Om de tekening af te maken teken je nog een dakrand rechts en lijnstuk $SC$.

Zie figuur aan het einde van de opgave.

Het zogenaamde snijpunt heeft in de $x$-projectie $y$-coördinaat $2$ en in de $z$-projectie $y$-coördinaat $3$!

De $x$-projectie van lijn $XQ$ hangt niet van de positie van $x$ op lijn $BC$ af, want $B_x=C_x$. Dus $S_x=\left(\mathrm{0,2,4}\right)$ en $S=\left(x\mathrm{,2,4}\right)$, voor zekere $x$. Omdat $S_z$ op $A_z{C}_z$ ligt, is $x=4$, dus $S=\left(\mathrm{4,2,4}\right)$.
Het snijpunt van $Q_z{S}_z$ met $B_z{C}_z$ is $X_z$, dus $X=B$.

Ja

Ja

Nee

Ja

Ja